Problème : Équation de Fermat Polynomiale
Soitn un entier supérieur ou égal à 3.
Le but de ce problème est de trouver tous les triplets (P, Q, R) d’éléments de C[X]vérifiant Pn+Qn=Rn.
1. Dans cette question, on démontre le théorème de Gauss pour trois polynômes : On suppose donnésP1, P2 etP3∈C[X]premiers entre-eux deux à deux divisantQ∈C[X]et l’on cherche à prouver queP1P2P3 diviseQ.
(a) Montrer que P1P2,P2P3 etP1P3 sont premiers entre-eux dans leur ensemble.
(b) Conclure en utilisant le théorème de Bézout.
2. Dans cette question, on suppose donnésP,Q etR∈C[X]trois polynômes premiers entre-eux deux à deux et non constants vérifiantP +Q+R= 0.
(a) Soient p, qetr le nombre de racinesdistinctes de P,Q etR.
Montrer que p= deg(P)−deg(P ∧P0).
Qu’en est-il de q etr?
(b) Montrer que P0Q−Q0P est non nul.
(c) Montrer que
P0Q−Q0P =Q0R−R0Q=R0P−P0R.
(d) Montrer que (P ∧P0)×(Q∧Q0)×(R∧R0) divise P0Q−Q0P. (e) En déduire que deg(R)< p+q+r.
3. Dans cet question, on suppose donnés P,Q etR ∈C[X]trois polynômes, premiers entre-eux dans leur ensemble et non constants vérifiantPn+Qn=Rn.
(a) Montrer que P, QetR sont premiers entre-eux deux à deux.
(b) Soient p, qetr le nombre de racinesdistinctes de P,Q etR. Montrer que
ndeg(R)< p+q+r.
(c) En déduire une absurdité.
4. Résoudre l’équation polynomiale de Fermat.
5. Le résultat précédent perdure-t-il si n= 2?
* * * FIN DU SUJET * * *
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