on al’inégalité de Young ab≤ ap p +bp0 p0

Master Mathématiques et Applications1^`ereannée Aix-Marseille Université Année 2015-2016

Analyse Fonctionnelle

TD 2 : Espaces de dimension finie. Espaces l^p.

Avec corrigés

Les numéros de Théorèmes, Propositions, etc ... font référence aux notes de cours.

Exercice 1

Soit1≤p≤+∞. On définit l’exposant conjugué deppar1/p+ 1/p⁰= 1, avec1/∞= 0.

1. On suppose que1< p <+∞. Démontrer que pour tousa, b∈[0,+∞[, on al’inégalité de Young

ab≤ a^p p +b^p0

p⁰ . 2. En déduire que, pour1< p <+∞, nous avons l’inégalité de Hölder

d

X

i=1

|xiyi| ≤ kxkpkykp⁰, ∀x, y∈R^d.

Vérifier que cette inégalité est encore vraie pour(p, p⁰) = (1,+∞)et(p, p⁰) = (+∞,1).

3. Montrer finalement quek.kpest bien une norme surR^dpour toutp∈[1,+∞].

4. Montrer que pour0< p <1,k.kpn’est pas une norme surR^d. 5. Montrer que pour toutx∈R^d, on a

p→+∞lim kxkp=kxk_∞, ce qui justifie la notationk.k_∞.

6. Soient1≤p≤q≤+∞etθ∈[0,1]. On définitr∈[p, q]par la formule 1

r = θ

p+1−θ q . Montrer l’inégalité dited’interpolationsuivante

kxkr≤ kxk^θ_pkxk^1−θ_q , ∀x∈R^d.

Corrigé :

1. Il y a plusieurs façons de démontrer cette inégalité. La plus simple consiste à utiliser la concavité et la croissance du logarithme. Ainsi, par choix de l’exposant conjugué, on voit que le membre de droite de l’inégalité attendue est une combinaison convexe entrea^petb^p0. On a donc

log 1

pa^p+ 1 p⁰b^p0

≥ 1

plog(a^p) + 1

p⁰log(b^p0) = log(a) + log(b) = log(ab), ce qui fournit l’inégalité attendue en passant à l’exponentielle (qui est une fonction croissante).

2. Par homogénéité de l’inégalité attendue, on peut toujours supposer quekxkp =kykp⁰ = 1. On applique ensuite l’inégalité de Young pour touti

|xiyi| ≤ |xi|^p

p +|yi|^p0 p⁰ , et on somme suri= 1, ..., dpour obtenir

d

X

i=1

|xiyi| ≤ 1 p

d

X

i=1

|xi|^p

! + 1

p⁰

d

X

i=1

|yi|^p0

!

=1

pkxk^p_p+ 1

p⁰kyk^p_p⁰0 = 1, ce qui donne le résultat attendu.

Les cas limites sont clairs.

3. La seule propriété délicate à montrer est l’inégalité triangulaire. On suppose quex+y 6= 0(sinon il n’y a rien à montrer) puis on écrit

|xi+yi|^p≤ |xi||xi+yi|^p−1+|yi||xi+yi|^p−1, puis on somme suri

d

X

i=1

|x_i+y_i|^p≤

d

X

i=1

|x_i||x_i+y_i|^p−1+

d

X

i=1

|y_i||x_i+y_i|^p−1,

et on applique l’inégalité de Hölder dans chacun des deux termes du membre de droite

kx+yk^p_p≤(kxk_p+kyk_p)

d

X

i=1

|x_i+y_i|^p0(p−1)

!_p¹0

,

et on observe quep⁰(p−1) =pce qui donne

kx+yk^p_p≤(kxkp+kykp)kx+yk^p−1_p .

On termine en simplifiant parkx+yk^p−1_p , qui est bien non nul par hypothèse, pour obtenir l’inégalité souhaitée.

4. Soit0< p <1. On posex= (1,0, ...,0)ety= (0,1,0, ...,0)et on calcule kxkp=kykp = 1,

kx+ykp= 2^1/p, et commep <1, on a

kx+ykp>2 =kxkp+kykp, ce qui montre que l’inégalité triangulaire n’est pas satisfaite.

5. Soitx∈R^dnon identiquement nul. On fixe un indiceitel que|xi|=kxk_∞puis on écrit d’une part

kxk∞=|xi|=

|xi|^{p 1}_p

≤





d

X

j=1

|xj|^p





1 p

=kxkp,

et d’autre part

kxk^p_p=

d

X

j=1

|xj|^p≤

d

X

j=1

kxk^p_∞≤dkxk^p_∞.

On a donc montré

kxk_∞≤ kxkp≤d^1/pkxk_∞.

On conclut en faisant tendrepvers l’infini et en utilisant le théorème des gendarmes.

6. La définition ders’écrit aussi sous la forme

1 = rθ

p +r(1−θ) q , puis on écrit

d

X

i=1

|xi|^r=

d

X

i=1

|xi|^rθ|xi|^r(1−θ),

et on utilise l’inégalité de Hölder avec les exposants conjuguésp/rθetq/r(1−θ)d’où l’on tire kxk^r=

d

X

i=1

|xi|^r≤ kxk^rθ_p kxk^r(1−θ)_q ,

ce qui donne le résultat attendu.

Exercice 2

SoitAune matrice carrée de tailledsymétrique définie positive.

1. Montrer que l’application suivante est une norme euclidienne surR^d

x∈R^d7→ kxk_A=





d

X

i,j=1

a_ijx_ix_j





1 2

.

2. Montrer que l’on a

pλ1kxk2≤ kxkA≤p

λdkxk2, ∀x∈R^d, oùλ1etλdsont respectivement la plus petite et plus grande valeur propre deA.

Montrer que cette inégalité est optimale : il existe desx(non nuls !) pour lesquels ce sont des égalités.

Corrigé :

1. On introduit l’application bilinéaire suivante (x, y)A=

d

X

i,j=1

aijxjyi= (Ax, y), ∀x, y∈R^d,

où(., .)est le produit scalaire euclidien standard surR^d. Il s’agit de vérifier qu’il s’agit d’un produit scalaire.

— CommeAest une matrice symétrique, on a que(., .)_Aest une application symétrique. En effet, on rappelle que pour toute matriceM, nous avons par définition de la transposée(M x, y) = (x,^tM y).

— De plus,(x, x)A = (Ax, x)est bien une quantité strictement positive dès quex 6= 0, carAest supposée définie positive.

On a donc bien un produit scalaire dont la norme proposée est déduite.

2. On sait queAest diagonalisable en base orthonormée et que ses valeurs propres sont strictement positives. Il existe donc deseietλi>0tels que

0< λ1≤ · · · ≤λd, Aei=λiei, ∀i, (ei, ej) =δij, ∀i, j.

Tout élémentxdeR^ds’écrit doncx=Pd

i=1(x, ei)eiet on a (Ax, x) =

d

X

i=1

λi(x, ei)²,

de sorte que

λ₁

d

X

i=1

(x, e_i)²≤(Ax, x)≤λ_d

d

X

i=1

(x, e_i)²,

ce qui s’écrit encore

λ1kxk²≤(x, x)A≤λdkxk².

On voit que la première inégalité est une égalité quandx=e1et la deuxième quandx=ed.

Exercice 3 (Lemme de Von Neumann)

Soit|||.|||une norme d’algèbre surM_d(R). Pour toute matriceA∈ M_d(R)vérifiant|||A|||<1, on a Id−A∈GLd(R), et ( Id−A)⁻¹=X

n≥0

Aⁿ,

cette série étant convergente dansMd(R).

Corrigé :

Comme Md(R)est complet, il suffit de montrer que la série apparaissant dans le terme de droite est absolument convergente. Ceci est vrai car, par définition d’une norme d’algèbre, on a

|||Aⁿ||| ≤ |||A|||ⁿ, ∀n≥1,

et comme on a supposé que|||A|||<1, on a affaire à une série géométrie convergente. AppelonsSla somme de la série P

n≥0Aⁿ. PourNfixé, on constate que

( Id−A)

N

X

n=0

Aⁿ

!

= Id−A^N+1.

Par passage à la limite quandN tend vers l’infini, on déduit

( Id−A)S= Id, ce qui montre le résultat attendu.

On voit bien que l’hypothèse dans le résultat précédent dépend de la norme d’algèbre choisie surMd(R), ce qui n’est pas nécessairement satisfaisant vu que la conclusion de l’exercice ne dépend pas de cette norme. L’exercice suivant montre que, le choix d’une bonne norme (en fonction de la matriceAétudiée) est toujours possible en fonction des propriétés algébriques de la matrice.

Exercice 4 (Rayon spectral et normes)

1. SiN désigne l’ensemble des normes subordonnées surMd(R), i.e. toutes celles obtenues à partir d’une normek.ksurR^dpar la formule

|||M|||= sup

x6=0

kM.xk

kxk , ∀M ∈ Md(R), alors on a

ρ(A) = inf

N∈NN(A).

2. Montrer que pour toute norme surMd(R), on a

ρ(A) = lim

k→∞kA^kk^1k. 3. On a l’équivalence

ρ(A)<1⇐⇒(Aⁿ)_ntend vers0.

De plus, siρ(A)<1, alors la série de terme généralAⁿest convergente dansM_d(R)et on a ( Id−A)⁻¹=X

n≥0

Aⁿ.

Corrigé :

1. SoitN ∈ N est une norme matricielle subordonnée (ou induite) associée à une normek.ksurR^d. Soitxest un vecteur propre pour une valeur propreλde module maximal, on a

λx=Ax, et en prenant la norme, on trouve

ρ(A)kxk ≤N(A)kxk, et donc

ρ(A)≤N(A). (1)

Ceci étant vrai pour toutN ∈ N, on a montré

ρ(A)≤ inf

N∈NN(A).

En conséquence, pour montrer le résultat demandé dans l’exercice, il nous suffit donc de trouver une “bonne” norme subordonnée surMd(R)telle queN(A)soit aussi proche deρ(A)que l’on veut. (Noter qu’il n’est pas possible en général de trouver une norme telle queρ(A) =N(A)... voyez-vous pourquoi ?).

On utilise le fait que toute matriceAest triagonalisable dans C(mais pas dansR!), ce qui signifie qu’il existe P ∈GLd(C)telle queP⁻¹AP est triangulaire supérieure (et avec les valeurs propres deAsur la diagonale, que l’on suppose classées dans l’ordre décroissant). On introduit alors la matrice diagonaleD_ε = diag(1, ε, ..., ε^d−1) et on définit la norme suivante

Nε(M) =|||D⁻¹_ε P⁻¹M P Dε|||_∞, ∀M ∈ Md(C).

Noter (et vérifier !) que cette norme est bien subordonée à la norme surCⁿdéfinie par kxkε=kD_ε⁻¹P⁻¹xk∞, ∀x∈ Cⁿ.

On a donc bien N_ε ∈ N et de plus, un simple calcul montre que la matrice D⁻¹_ε P⁻¹AP D_ε est une matrice triangulaire ayant la même diagonale queP⁻¹AP et dont tous les coefficients sur-diagonaux sont obtenus à partir de ceux deP⁻¹APpar multiplication avec une certaine puissance (positive) deε. AinsiD⁻¹_ε P⁻¹AP Dεconverge vers une matrice diagonale (contenant les valeurs propres deA) quandε→0et donc, nous avons

Nε(A)−−−→

ε→0 ρ(A), ce qui conclut la preuve.

2. On commence par montrer que la limite dans le membre de droite, si elle existe, ne dépend pas de la norme choisie.

SoitN₁une norme pour laquelle la limite existe etN₂n’importe quelle autre norme. D’après le théorèmeI.54, les normesN₁etN₂sont équivalentes et donc on a

αN1≤N2≤βN1, d’où, pour toutk≥1, l’inégalité suivante

α^k1N1(A^k)^k1 ≤N2(A^k)^k1 ≤β^1kN1(A^k)^1k.

Comme on alim_k→+∞α^k1 = lim_k→+∞β^1k = 1, on voit bien par le théorème des gendarmes que la limite de N₂(A^k)^1k existe et coincide avec la limite de la même quantité calculée avec la normeN₁. En réalité, on a même le résultat plus fort suivant

lim inf

k→∞ N1(A^k)^1k = lim inf

k→∞ N2(A^k)^1k, lim sup

k→∞

N₁(A^k)^1k = lim sup

k→∞

N₂(A^k)^1k,

pour toutes normesN1 etN2 surMd(R). On note L₋ etL+ la valeur commune de ces deux limites et on va montrer queL₋=L+=ρ(A).

Pour toute norme subordonnéeN ∈ N, on applique (1) à la matriceA^kpour obtenir ρ(A)^k=ρ(A^k)≤N(A^k),

et donc

ρ(A)≤N(A^k)^1/k. Par ailleurs, nous avons (propriété de norme d’algèbre)

N(A^k)≤(N(A))^k, et donc, pour toute norme subordonnéeN ∈ N, on a

ρ(A)≤N(A^k)^1/k ≤N(A), et ainsi

ρ(A)≤lim inf

k→∞ N(A^k)^1/k≤lim sup

k→∞

N(A^k)^1/k ≤N(A), En prenant les limites inférieures et supérieures dans cette inégalité, on arrive à

ρ(A)≤L₋≤L₊≤N(A).

Comme cette inégalité est vraie pour toute norme subordonnéeN, on peut prendre l’infimum par rapport àN ρ(A)≤L₋≤L+≤ inf

N∈NN(A).

D’après la question précédente, l’infimum de droite n’est autre que le rayon spectralρ(A)et on a donc bien montré l’égalitéL₋=L₊=ρ(A).

3. Supposons queρ(A)<1. D’après la question précédente, il existe une normeN ∈ N telle queN(A)<1. Pour une telle norme, nous avons

N(A^k)≤N(A)^k−−−−→

k→∞ 0,

et donc(A^k)_ktend bien vers0et on peut appliquer le lemme de Von Neumann (Exercice3).

Réciproquement, supposons que(A^k)_ktende vers0et soitλune valeur propre (éventuellement complexe) deAde module maximal etxun vecteur propre associé.

Nous écrivons

λ^kx=A^kx, d’où

|λ|^k ≤ kA^kk −−−−→

k→∞ 0, ce qui prouve bien queρ(A) =|λ|<1.

Exercice 5 (Continuité du rayon spectral)

Pour toute matriceA∈ M_d(C), on note

ρ(A) = max{|λ|, λ∈Sp(A)}, le rayon spectral deA.

Le but de l’exercice est de démontrer que l’applicationA∈ Md(C)7→ρ(A)est continue.

1. Montrer que si(Tk)k est une suite de matrices triangulaires supérieures qui converge vers une matriceT, alors on a

ρ(Tk)−−−−−→

k→+∞ ρ(T).

2. SoitAune matrice quelconque et(Ak)kune suite de matrices qui converge versA. On rappelle que, pour toutk, on peut utiliserla décomposition de Schurde la matriceAk, qui s’écrit

Ak =Q⁻¹_k TkQk, oùT_kest triangulaire supérieure etQ_kest unitaire.

(a) Montrer que la suite de nombres réels(ρ(Ak))kest bornée.

(b) Montrer queρ(Ak) =ρ(Tk)pour toutk.

(c) Soit(A_ϕ(k))kune sous-suite telle que la suite(ρ(A_ϕ(k)))ksoit convergente. Montrer que la limite de cette suite est nécessairement égale àρ(A). Indication : on pourra utiliser la compacité deUd(C).

(d) Conclure.

Corrigé :

1. Pour les matrices triangulaires, le rayon spectral n’est rien d’autre que le plus grand module des éléments diago- naux. Comme on a convergence des éléments diagonaux deTkvers les éléments diagonaux de la limiteT (qui est nécessairement triangulaire ...) on a bien convergence du rayon spectral.

2. (a) On a déjà vu que, pour tout norme d’algèbre on aρ(Ak)≤ kAkket comme la suite(Ak)k converge elle est bornée, ce qui montre le résultat.

(b) La décomposition de Schur montre queAketTksont semblables et donc ont les mêmes valeurs propres et en particulier le même rayon spectral.

(c) Par compacité de Ud(C), on peut extraire une nouvelle sous-suite telle que(Qϕ(ψ(k)))k converge vers une certaine matriceQ∈U_d(C). On déduit de cela que

T_ϕ(ψ(k))=Q_ϕ(ψ(k))A_ϕ(ψ(k))Q⁻¹_ϕ(ψ(k))−−−−→

k→∞ QAQ⁻¹,

ce qui montre que la suite de matrices triangulaires(T_ϕ(ψ(k)))k est convergente et donc d’après la première question, on a

ρ(A_ϕ(ψ(k))) =ρ(T_ϕ(ψ(k)))−−−−−→

k→+∞ ρ(QAQ⁻¹) =ρ(A).

D’où le résultat.

(d) La suite(ρ(Ak))kest contenue dans un compact (car bornée dansR) et possède une unique valeur d’adhérence qui estρ(A). D’après la PropositionI.22, on a bien établi la convergence de toute la suite(ρ(Ak))kversρ(A) et de ce fait la continuité deρ.

Exercice 6 (Dualité pour(R^d,k.kp))

Soit1≤p≤+∞. On notep⁰∈[1,+∞]l’exposant conjugué depdéfini par la relation

1 = 1 p+ 1

p⁰, (avec la convention1/∞= 0).

On considère l’espaceE=R^dmuni de la normek.kE =k.kpet on noteE⁰son espace dual muni de la norme duale définie comme on l’a vu par

kLkE⁰ = sup

x6=0

|L(x)|

kxkp

, ∀L∈E⁰.

On note(ei)_1≤i≤dla base canonique deE. On définitF =R^dpuis l’applicationΦ :E⁰ →Fpar Φ(L) = L(ei)

1≤i≤d,

qui à toute forme linéaire surEassocie l’ensemble de ses valeurs sur la base canonique.

1. Montrer queΦest linéaire bijective et que son inverse est l’application

Ψ :y∈F 7→Ψ(y) = x∈E 7→

d

X

i=1

xiyi

!

∈E⁰.

On notera que ceci montre en particulierEetE⁰sont de même dimension. Bien que la structure euclidienne deR^dne soit pas utilisée explicitement dans cet exercice, on notera que(Ψ(y))(x)n’est autre que le produit scalaire dexet dey

(x, y) =

d

X

i=1

xiyi.

2. Montrer que, si on munit l’espace F de la norme k.kp⁰ alors Φ est une isométrie de (E⁰,k.kE⁰) sur (F,k.kp⁰).

Cet exercice montre donc que le dual topologique de(R^d,k.kp)n’est autre que(R^d,k.kp⁰).

Corrigé :

1. La linéarité deΦne fait aucun doute de même que son injectivité (une application linéaire qui s’annule sur tous les éléments d’une base est identiquement nulle).

Par définition, nous avons

Φ(Ψ(y)) =

[Ψ(y)](ei)

1≤i≤d

= ((y, ei))_1≤i≤d= (yi)_1≤i≤d=y.

De même, pour toutx∈E, on a

[Ψ(Φ(L))].(x) =

d

X

i=1

x_iL(e_i) =L

d

X

i=1

x_ie_i

!

=L(x),

et donc

Ψ(Φ(L)) =L.

ΦetΨsont donc bien réciproques l’une de l’autre, ce qui conclut la preuve.

2. Pour toutx∈R^d, on a par définition

L(x) = (Φ(L), x) =

d

X

i=1

(Φ(L))ixi,

et donc par l’inégalité de Hölder on a

|L(x)| ≤ kΦ(L)kp⁰kxkp, et ainsi on a prouvé que

kLk_E⁰ ≤ kΦ(L)k_p⁰. Montrons l’inégalité inverse, pour toutL∈E⁰. On pose

xi =|(Φ(L))i|^p0−2(Φ(L))i, ce qui donne

d

X

i=1

|(Φ(L))i|^p0 =L(x)≤ kLkE⁰kxkp,

Par définition dex, et commep(p⁰−1) =p⁰, nous avons kxk^p_p=

d

X

i=1

|x_i|^p=

d

X

i=1

|(Φ(L))_i|^(p0−1)p=kΦ(L)k^p_p⁰0.

On a donc montré

kΦ(L)k^p_p⁰0 ≤ kLkE⁰kϕ(L)k^p_p⁰0^/p, ou encore

kΦ(L)k^p_p⁰0^(p−1)/p≤ kLkE⁰, ce qui donne le résultat attendu carp⁰(p−1) =p.

Exercice 7 (Cube de Hilbert)

Soitc= (c_n)_nun élément del². On définit l’ensemble

C={x∈l², ∀n,|x_n| ≤ |c_n|}.

1. Montrer queCest fermé dansl².

2. Montrer que, sur l’ensembleC, la topologie del²est exactement la topologie de la convergence simple, c’est-à-dire que si(x^k)_kest une suite d’éléments deCalors on a

(x^k)kconverge dansl²⇐⇒Pour toutn≥0, la suite(x^k_n)kconverge dansR.

3. Montrer que la propriété précédente est fausse si la suitec6∈l², par exemple en prenant pourc, la suite constante égale à1.

4. Montrer que l’ensembleCest un compact del².

Corrigé :

1. Il suffit de remarquer que la convergence dansl²implique la convergence simple (i.e. terme à terme). Autrement dit, on a l’implication

x^k −−−−→

k→∞ x, dansl²=⇒ ∀n∈N, x^k_n −−−−→

k→∞ x_n, qui provient juste de l’inégalité

|x^k_n−xn| ≤ kx^k−xk2, ∀n≥0,∀k≥0.

Ainsi si la suite(x^k)_k est contenue dans Cet converge dansl²vers un certainx, on peut passer à la limite (par rapport àk) dans l’inégalité|x^k_n| ≤c_net ainsi obtenir que|x_n| ≤c_n, i.e.x∈C.

2. On a déjà vu dans la question précédente que la convergence dansl²implique la convergence simple. Il s’agit de voir que la récirpoque est vraie dansC.

Soit donc(x^k)kune suite d’éléments deCqui converge simplement vers une suitex∈R^N. Il est clair tout d’abord quex∈C, il s’agit de voir que la convergence a lieu au sens de la normel². On se donne unε >0et on utilise le fait que la suite(cn)nest dansl²(cette hypothèse n’avait pas servi jusqu’à présent !) de sorte qu’on peut trouver un N tel que

∞

X

n=N+1

|c_n|²≤ε.

On considère maintenant la quantité

IN,k

def=

N

X

n=0

|x^k_n−xn|².

Il s’agit,N étant fixé, d’une somme finie de termes qui tendent vers0quandk→ ∞par hypothèse. On peut donc trouver unk0(dépendant deεetN) tel que

IN,k≤ε, ∀k≥k0.

Pourk≥k₀, on peut donc découper la somme qui définit la normel²et obtenir kx^k−xk²₂=

+∞

X

n=0

|x^k_n−x_n|²=I_N,k+

+∞

X

n=N+1

|x^k_n−x_n|².

Puis on utilise le fait que tous lesx^ketxsont des éléments deCpour majorer le second terme ci-dessus kx^k−xk²₂≤IN,k+ 4

+∞

X

n=N+1

|cn|²,

et donc par choix deN, puis dek₀, on a finalement

kx^k−xk²₂≤5ε, ∀k≥k0. Le résultat est démontré.

3. Comme suggéré dans l’énoncé on prend pourcla suite constante égale à1. Pour toutk, on considèrex^k la suite constituée de zéros à l’exception du terme de rangkqui vaut1. Ce sont bien des éléments deC. De plus, on voit clairement que cette suite converge simplement vers la suite nulle qui est bien aussi dansC. Par contre nous avons

kx^k−0k2=kx^kk2= 1, et donc nous n’avons pas la convergence en normel²vers0.

4. Nous allons utiliser la caractérisation séquentielle de la compacité. On considère une suite(x^k)kd’éléments deC et on veut trouver une sous-suite qui converge dansl². D’après la question 2 il suffit de trouver une sous-suite qui converge simplement. On va utiliser ici le procédé diagonal de Cantor.

— On commence par s’intéresser à la suite de nombres réels(x^k₀)k. Par hypothèse c’est une suite bornée (par

|c0|) et on peut donc trouver une sous-suite(x^ϕ₀^0(k))kqui converge.

— On regarde maintenant la suite(x^ϕ₁^0(k))_k. Il s’agit également d’une suite bornée (par|c₁|cette fois) et on peut donc en trouver une sous-suite(x^ϕ₁^0◦ϕ1(k))_kqui converge.

— On continue se procédé par récurrence en construisant une famille de fonctions strictement croissantesϕn : N→Ntelles que, pournfixé on ait

(x^ϕ_n^{0◦ϕ1◦···◦ϕn(k)})_k est convergente.

— On considère alors la suite définie par

(x^{ϕ0◦ϕ1◦···◦ϕk(k)})_k.

On vérifie d’abord qu’il s’agit bien d’une suite extraite en montrant que l’application ψ:k∈N7→ψ(k) =ϕ0◦ϕ1◦ · · · ◦ϕk(k)∈N est strictement croissante. En effet, commeϕ_k+1est strictement croissante on a

ϕk+1(k+ 1)≥k+ 1> k,

et de plus la composée de fonctions strictement croissantes ϕ₀◦ ψ₁ ◦ · · · ◦ϕ_k est elle-même strictement croissante ce qui donne

ψ(k+ 1) =ϕ0◦ψ1◦ · · · ◦ϕk(ϕk+1(k+ 1))> ϕ0◦ψ1◦ · · · ◦ϕk(k) =ψ(k).

Ensuite, on vérifie que cette suite(x^ψ(k))k est bien simplement convergente. Pour cela, on fixe unnet on observe que

(x^ψ(k)_n )k, est une suite extraite de la suite(x^{ϕ0◦···◦ϕn(k)})k, cette dernière suite étant convergente par construction, on a bien le résultat attendu.

Exercice 8 (Premier contact avec la convergence faible)

Soit1≤p <+∞. Montrer que si(x^k)k ⊂l^pest une suite bornée dansl^pest telle qu’il existe un élémentx∈l^∞ vérifiant

x^k −−−−→

k→∞ x, dansl^∞, alors on a

1. x∈l^p. 2. x^k−−−−→

k→∞ x, dansl^q, ∀q > p, 3. Sip >1, montrer que l’on a

(x^k, y)−−−−→

k→∞ (x, y), pour touty∈l^p0. (2) Indication : On pourra utiliser la densité decf dansl^p0(carp⁰ <+∞ici !).

4. Trouver un exemple de la situation précédente montrant qu’en général la convergence forte de(x^k)kvers xdansl^pn’est pas vraie.

5. Sip= 1montrer que

(x^k, y)−−−−→

k→∞ (x, y), pour touty∈c0.

Trouver un exemple montrant que cette convergence peut tomber en défaut si on suppose seulementy∈l^∞. Ces dernières propriétés sont appeléesconvergences faibles dans l^p. Nous les retrouverons plus tard dans le cours.

Corrigé :

SoitM une borne de(kx^kk_p)_k. 1. On prendN fixé et on écrit

N

X

n=0

|x^k_n|^p≤ kx^kk^p_p≤M^p.

Comme(x^k)kconverge versxdansl^∞, on a en particulier la convergence simple et on peut donc passer à la limite quandk→ ∞dans cette inégalité. Il vient

N

X

n=0

|xn|^p≤M^p.

Ceci étant valable pour toutN, on a bien établi quex∈l^pet même quekxkp≤M. 2. On utilise l’inégalité d’interpolation donnée dans la PropositionI.60et qui donne

kx^k−xkq≤ kx^k−xk^θ_pkx^k−xk^1−θ_∞ ≤(2M)^θkx^k−xk^1−θ_∞ , oùθest tel que

1 q = θ

p+1−θ

∞ = θ p.

En particulier, commeq > p, on a0≤θ <1et donc le terme de droite de l’inégalité ci-dessus converge bien vers 0, ce qui montre le résultat attendu.

3. On poseTk(y) = (x^k, y)pour toutketT(y) = (x, y), il s’agit de montrer queTk(y)converge versT(y)pour tout y ∈l^p0. On va procéder de façon très classique et qu’il faut bien connaître et maîtriser : d’abord on va montrer des estimations uniformes surTk−T dans des bonnes normes, puis on va trouver un ensemble dense de valeurs dey pour lesquels la convergence est facile à démontrer, puis on concluera en utilisant la densité.

• Etape 1 : D’après l’inégalité de Hölder, nous avons

|Tk(y)| ≤ kx^kkpkykp⁰ ≤Mkykp⁰,

|T(y)| ≤ kxkpkykp⁰ ≤Mkykp⁰. et on voit que ces bornes ne dépendent pas dek.