Lycée Desfontaines – MELLE 1/1
Comment montrer qu
’une suite ( )un est convergente et converge vers un réel l
?
Définitions :
On dit qu’une suite
( )
un est convergente et converge vers l lorsque tout intervalle ouvert centré en l contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.• Méthode 1
En utilisant les opérations sur les limites des suites (voir les opérations sur les limites de fonctions)
• Méthode 2
En utilisant le théorème des gendarmes : On considère trois suites
( )
un ,( )
vn et( )
wn .- Lorsqu’à partir d’un certain rang vnÂunÂwn
- et lorsque
( )
vn et( )
wn sont convergentes et que limn↔+õvn= lim
n↔+õwn=l
Alors le théorème des gendarmes permet de conclure que
( )
un converge et limn↔+õun=l
• Méthode 3
Lorsque un=f(n), en montrant que lim
x↔+õf(x)=l
• Méthode 4 Lorsque un+1=f
( )
un :- En montrant que (u_n)est convergente*en utilisant souvent la méthode 5
. - En montrant que f est continue en l.
- l est alors solution de l’équation f(x)=x
• Méthode 5
En montrant que la suite est croissante et majorée, ou décroissante et minorée.
Remarque : cette méthode ne permet pas de déterminer la limite de la suite.