une suite ( )un est convergente et converge vers un réel l

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Lycée Desfontaines – MELLE 1/1

Comment montrer qu

’

une suite ( )

^uⁿ

est convergente et converge vers un réel l

?

Définitions :

On dit qu’une suite

( )

^uⁿ est convergente et converge vers l lorsque tout intervalle ouvert centré en l contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

• Méthode 1

En utilisant les opérations sur les limites des suites (voir les opérations sur les limites de fonctions)

• Méthode 2

En utilisant le théorème des gendarmes : On considère trois suites

( )

^uⁿ ^,

( )

^vⁿ ^et

( )

^wⁿ ^.

- Lorsqu’à partir d’un certain rang vnÂunÂwn

- et lorsque

( )

^vⁿ ^et

( )

^wⁿ sont convergentes et que lim

n↔+õvn= lim

n↔+õwn=l

Alors le théorème des gendarmes permet de conclure que

( )

^uⁿ converge et lim

n↔+õun=l

• Méthode 3

Lorsque un=f(n), en montrant que lim

x↔+õf(x)=l

• Méthode 4 Lorsque un+1=f

( )

^uⁿ ^:

- En montrant que (u_n)est convergente*en utilisant souvent la méthode 5

. - En montrant que f est continue en l.

- l est alors solution de l’équation f(x)=x

• Méthode 5

En montrant que la suite est croissante et majorée, ou décroissante et minorée.

Remarque : cette méthode ne permet pas de déterminer la limite de la suite.