Programme colle math Semaine 8 du 18/11/19 au 23/11/19 MPSI B Hoche
Nombres réels et suites numériques (fin)
e) Suites monotones
Théorème de la limite monotone : toute suite monotone Toute suite croissante majorée converge, toute suite crois-
possède une limite. sante non majorée tend vers +∞.
Théorème des suites adjacentes.
f) Suites extraites
Suite extraite
Si une suite possède une limite, toutes ses suites ex- Utiisation pour montrer la divergence d’une suite. Si traites possèdent la même limite. (u
2n) et (u
2n+1) tendent vers l alors (u
n) tend vers l.
Théorème de Bolzano-Weierstrass. Les étudiants doivent connaître le principe de démons- tration par dichotomie, mais la formalisation précise n’est pas exigible.
La notion de valeur d’adhérence est hors programme.
g) Traduction séquentielle de certaines propriétés
Partie dense de R . Une partie est dense dans R si elle rencontre tout inter- valle ouvert non vide.
Densité de l’ensemble des décimaux, des rationnels, des irrationnels.
Caractérisation séquentielle de la densité.
Si X est une partie non vide majorée (resp. non majorée) de R , il existe une suite d’éléments de X dont la limite est sup X (resp. +∞).
h) Suites complexes
Brève extension des définitions et résultats précédents. Caractérisation de la limite en termes de parties réelle Par définition, une suite complexe (z
n)
n∈Nconverge vers et imaginaire.
un nombre complexe z si et seulement si la suite réelle (|z
n− z|)
n∈Nconverge vers 0. Opérations sur les suites convergentes.
Théorème de Bolzano-Weierstrass. La démonstration n’est pas exigible par le programme de mpsi mais figure comme question de cours pour la classe.
i) Suites particulières
Suite arithmétique, géométrique. Les étudiants doivent savoir déterminer une expression Suite arithmético-géométrique. Suite récurrente linéaire du terme général de ces suites.
homogène d’ordre 2 à coefficients constants.
Exemples de suites définies par une relation de récur- Seul résultat exigible : si (u
n)
n∈Nconverge vers l et si f
rence u
n+1= f (u
n). est continue en l, alors f (l) = l.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
Rémy Nicolai S8Programme colle math Semaine 8 du 18/11/19 au 23/11/19 MPSI B Hoche
Questions de cours
Démonstration du théorème sur la convergence des suites monotones.
Principe de démonstration du théorème de Bolzano-Weierstrass pour les suites réelles.
Démonstration de la propriété : « Si X est une partie non vide majorée (resp. non majorée) de R , il existe une suite d’éléments de X dont la limite est sup X (resp. +∞). »
Preuve de la caractérisation de la convergence d’une suite complexe à l’aide des parties réelles et imaginaires. Démons- tration du théorème de Bolzano-Weierstrass pour les suites complexes.
méthodes
Savoir déterminer une expression du terme général des suites vérifiant une relation de récurrence des types particuliers figurant dans le cours.
Prochain programme Limites d’une fonction. Continuité sur un intervalle.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
