MP∗-2019 Exercices d’oral Suites et fonctions
Exercice 1. CCP (Combes, Dijon)
1) Soit (gn) une suite de fonctions de X dans C, X désignant un ensemble non vide quelconque. On suppose que les fonctions gn sont toutes bornées et que la suite converge uniformément vers une fonctong. Montrer quegest bornée.
2) Soitfn définie sur Rparfn(x) =n2xsi|x|61/n etfn(x) = 1/xsi |x|>1/n. Prouver que la suite (fn) converge simplement surR. Y-a-t-il convergence uniforme ?
Exercice 2. ENS (Beaufort, Dijon)
Pour x∈R, on note [x] sa partie entière et{x}=x−[x] sa partie fractionnaire. Pour (xn)∈RN, on dit que (xn) estéquirépartie modulo 1si pour tous a, bavec 06a6b61, on a
n→∞lim 1
ncardn
k∈[[1, n]] tq{xk} ∈[a, b]o
=b−a.
On admet le critère suivant : (xn) est équirépartie modulo 1 si et seulement si
∀p∈N∗, lim
n→∞
1 n
n
X
k=1
e2ipπxk
= 0.
1) Soitαun nombre irrationnel et (xk) définie parxk=kα. Montrer que (xk) est équirépartie modulo 1.
2) Montrer que log10(2) est irrationnel.
3) Soientn∈N,j∈[[1,9]],Xune variable aléatoire discrète suivant la loi uniforme sur [[1, n]]. Étudier le comportement deP(le premier chiffre de 2Xen base 10 est j) lorsquentend vers l’infini.
Exercice 3. CCP (Mlle Robelin, Dijon)
1) Énoncer le théorème des accroissements finis.
2) Soitf: [a, b]→Ret soitx0 ∈]a, b[. On suppose quef est continue sur [a, b] et que f est dérivable sur ]a, x0[ et sur ]x0, b[. Démontrer que, sif0 admet une limite finie en x0, alorsfest dérivable enx0
etf0(x0) = limx→x0f0(x).
3) Prouver que limplication : ( f est dérivable en x0) ⇒ (f0 admet une limite finie en x0) est fausse.
Indication : on pourra considérer la fonctiongdéfinie par : g(x) =x2sin(1/x).
Espaces vectoriels normés Exercice 4. ENS (Mulot, Dijon)
On munit l’espace vectoriel E = C0([0,1],R) de la norme infinie k k∞. Les fonctionnelles suivantes sont-elles continues ? Sinon, quels sont leurs points de discontinuité ?
1) H1 = f 7→ P
p∧q=1,06p6qf(p/q)/q3 (on somme sur tous les rationnels de [0,1] écrits sous forme irréductible).
2) H2=f7→sup(g◦f) oùg:R→Rest une fonction donnée croissante, non nécessairement continue.
Calcul différentiel Exercice 5. Centrale (Beaufort, Dijon)
On souhaite déterminer les morphismes continus deUdansGLn(C). Soitϕ un tel morphisme, on note pour t∈R: ϕ(t) =e ϕ(eit).
δ
Séries Exercice 6. Centrale (Mlle Robelin, Dijon)
SoitARl’ensemble des séries entièrePanxnde rayon de convergenceRasupérieur ou égal àR. Démontrer queARest uneR-algèbre pour les lois usuelles des fonctions.
Exercice 7. CCP (Robin, Dijon) Soitf(x) = 3x+ 7
(x+ 1)2.
1) Décomposerfen éléments simples.
2) Justifier quefest développable en série entière sur un intervalle à préciser.
3) Donner le développement limité defà l’ordre 3 en 0.
Exercice 8. Centrale (Beurville, Dijon)
Soient x > 0 et (un),(vn) les suites de fonctions définies par u0(x) =x, un+1(x) = un(x) +un(x)2, vn(x) = ln(un(x))/2n.
1) Écrire une fonction Python calculantun(x) etvn(x) pournallant de 1 à 10 etx= 0.3. Faire tracer les courbes deun etvn pour 16n610 et 0< x <1. Conjecturer.
2) Prouver la monotonie de la suite (un(x)) et sa limite.
3) Montrer l’existence d’un réel α(x) tel que α(x)−vn(x) = o(1/2n). On pourra étudier la série télescopique associée à la suite (vn(x)). En déduire un équivalent de un(x).
4) Montrer que α(x) = ln(x) +P∞ n=0
1
2n+1ln(1 + 1/un(x)). Avec Python, faire tracer la courbe de x7→ln(x) +P10
n=0
1
2n+1 ln(1 + 1/un(x)) pourx∈]0,20].
5) Montrer queαest monotone.
6) Montrer queαest continue sur ]0,+∞[.
7) Donner un équivalent en +∞de 12ln(1 + 1/u0(x))−14ln(1 + 1/u1(x)).
8) En déduire un développement asymptotique à l’ordre 2 deα(x) pourx→ ∞. On pourra remarquer queun(x)> x4 sin >1.
Exercice 9. Mines (Beurville, Dijon) Soitf(x) =P∞
n=0
(−1)n n+|x|.
1) Donner l’ensemble de définition def.
2) Trouver une relation simple entref(x) etf(x+ 1) pourx >0.
3) Chercher des équivalents def en 0 et en +∞.
4) Tracer la courbe def.
Exercice 10. Mines (Barreaux, Dijon)
Soit (fn) une suite de fonctions définies sur un ensembleXet à valeurs dansCtelle que la sérieP fn est simplement convergente.
1) Montrer qu’il y a convergence normale si et seulement s’il existe un réelMtel que pour toute suite (un) à valeurs dansX, on aP
|fn(un)|6M.
2) Donner un exemple oùP
fn converge absolument mais non normalement.
Intégration Exercice 11. Mines (Pascalet, Dijon)
Soitx∈]0,+∞[.
1) Montrer que sin(t)/t2est intégrable sur [x,+∞[.
2) Montrer queR+∞
t=x
sint
t2 dt∼ −ln(x) quandx→0+. 3) Montrer queR+∞
t=x
sint
t2 dt= cosx
x2 +O(1/x3) quand x→+∞.
Exercice 12. CCP (Pascalet, Dijon)
1) Soith(x) =xln(x) six∈]0,1] eth(0) = 0. Montrer que khk∞ existe.
2) Montrer queP∞
n=1n−n=R1
x=0x−xdx.
Exercice 13. Mines (Combes, Dijon)
Montrer l’existence et l’unicité d’un réelxtel que l’intégraleR+∞
t=0
lnt
et(1 +tx)dtsoit convergente de valeur nulle.
Exercice 14. Mines (Mulot, Dijon)
Pour 0< a < bet x∈R, on poseF(x) =R+∞
t=0
e−at−e−bt
t cos(tx) dt.
1) Montrer queFest continue et dérivable surR. 2) ExpliciterF(x).
Exercice 15. Centrale (Robin, Dijon)
Pour P, Q∈R[X] avec Q(0)6= 0, on poseI(r) =R2π θ=0
P(reιθ)
Q(reιθ)dθ. On suppose queQ admet des racines de modules distincts et on les classe de sorte que 0<|λ1|< . . . <|λq|.
1) On prendP= 1, Q=X−aaveca∈R∗.
a) Écrire un script Python calculant I(r) (un formulaire des fonctions Python, notament sur les intégrales et les complexes était fourni).
b) Faire tracerr7→ =(I(r)) pour plusieursa. Conjecturer.
c) Faire tracerr7→ <(I(r)) pour plusieursa. Que constate-t-on ?
d) Reprendre les questions précédentes avecP= 2X−3 etQ=X2−3X−4.
2) Montrer queI(r) existe pour tout réelr /∈ {|λ1|, . . . ,|λq|}et queI(r) est réel.
3) CalculerI(r) lorsqueQ= 1.
4) Montrer queI(r) est constante sur chaque intervalle [0,|λ1|[, ]|λ1|,|λ2|[, . . .,]|λq−1|,|λq|[, ]|λq|,+∞[
et préciser les constantes.
Exercice 16. Mines (Robin, Dijon) Pour x ∈ R, on pose f(x) = R+∞
t=0 ln(1 +xe−t) dt. Montrer que f est développable en série entière au voisinage de 0 et préciser ce développement.
Équations différentielles
Algèbre générale Exercice 17. Mines (Combes, Dijon)
Pour x, y∈Z, on posex∗y=x+ (−1)xy. Montrer qu’on a une loi de groupe.
Arithmétique
Algèbre linéaire Exercice 18. Mines (Pascalet, Dijon)
Soient A, B∈ Mn(C).
1) SiAest inversible, montrer queABetBA sont semblables.
2) A-t-on encore ce résultat siAn’est plus supposée inversible ?
Exercice 19. CCP (Combes, Dijon)
SoitEunK-espace vectoriel etu∈ L(E). On noteP ={P(u), P∈K[X]}etC={v∈ L(E) tqu◦v=v◦u}.
1) Montrer queP et Csont des sev deL(E) et queP ⊂ C.
2) Soitx∈E. DéterminerFx, le plus petit sev deEstable paruet contenant x.
3) Soitϕx:
L(E) −→ E v 7−→ v(x).
a) Montrer queFx=E⇔ϕx|P est surjective.
b) Montrer queFx=E⇒ P =C.
Exercice 20. Centrale (Mlle Robelin, Dijon)
1) Déterminer les morphismes d’agèbre deR[X] dansR.
2) Soitϕ:R[X]→Run morphisme d’algèbre, déterminer tous les endomorphismes de dérivation δqui sont tels que :
∀P, Q∈R[X], δ(PQ) =ϕ(P)δ(Q) +ϕ(Q)δ(P).
Exercice 21. Mines (Mlle Robelin, Dijon)
SoitE={f∈ C1(R+,R) tqf(0) = 0}etT l’application qui àfassocie la fonctionT(f) =x7→Rx t=0
f(t) t dt.
1) Prouver queT est un endomorphisme deE.
2) Déterminer les valeurs propres et les fonctions propres deT. Exercice 22. Mines (Robin, Dijon)
Soitn∈N∗ etD={M= (mij)∈ Mn(R) tqmij = 0 lorsquei6≡j(mod 2)}(matrices en damier).
1) Montrer queDest une sous-algèbre deMn(R).
2) SiM∈D∩GLn(R), montrer queM−1∈D et exprimerM−1 et fonction deM.
Exercice 23. CCP (Robin, Dijon)
SoitEunR-ev de dimensionn>1 etf∈ L(E).
On dit qu’un vecteuruest cyclique lorsqueBu= (u, f(u), . . . , fn−1(u)) est libre.
1) On supposefn = 0 etfn−16= 0. Montrer qu’il existe un vecteur cyclique.
2) On suppose qu’il existe un vecteur cycliqueu.
a) Montrer queBu est une base deE.
b) En considérant la matrice defdans la baseBu, montrer que rg(f−λid)>n−1 pour tout réelλ.
c) Montrer que sifest diagonalisable alors ses valeurs propres sont simples.
3) On suppose quefest diagonalisable à valeurs propres simples. SoitB= (e1, . . . , en) une base propre pourfet u=e1+. . .+en. Montrer queuest cyclique.
Exercice 24. Centrale (Beurville, Dijon) 1) Rappeler le théorème de Cayley-Hamilton.
2) SoitEun espace vectoriel de dimension finie non nullen, etuun endomorphisme deE. Soitx∈Enon nul etple plus grand entier tel queB= (x, u(x), . . . , up−1(x)) soit libre. On noteVx le sous-espace engendré par B et ux la restriction de u à Vx. Donner la matrice dans B de ux ; démontrer que χux(ux) = 0 puis en déduire le théorème de Cayley-Hamilton.
3) SoientA, B∈ Mn(C) n’ayant aucune valeur propre en commun. Montrer l’existence d’une matriceM telle queAM−MB=In.
Exercice 25. Mines (Barreaux, Dijon)
Soit M∈ Mn(C) telle que M2 est diagonalisabe. Montrer que Mest diagonalisabe si et seulement si ker(M) = ker(M2).
Exercice 26. Mines (Barreaux, Dijon)
Soient A, B∈ Mn(C). Montrer que sp(A)∩sp(B)6=∅⇔ ∃P∈ Mn(C)\ {0}tqAP=PB.
Exercice 27. CCP (Barreaux, Dijon) Soient n>3 etA, B∈ Mn(C).
1) On suppose rg(A) =n−1 et rg(B) = 1.
a) Montrer qu’il existeU, V∈ Mn,1(C) tels queB=UtV.
b) Montrer queAB= 0⇒ker(A) = vect(U).
2) On supposeB=tcom(A).
a) Démontrer les équivalences suivantes :
rg(A) =n⇔rg(B) =n; rg(A) =n−1⇔rg(B) = 1 ; rg(A)6n−2⇔rg(B) = 0.
b) Montrer que tout vecteur propre pourAl’est aussi pourB. Étudier la réciproque.
c) Exprimer sp(B) en fonction de sp(A).
d) ExprimerχB en fonction deχA.
Algèbre bilinéaire Exercice 28. CCP (Pascalet, Dijon)
On munit M2(R) du produit scalaire défini par (A|B) = tr(tA B) (il est admis que c’est un produit scalaire). SoientF ={ a b
−b a
tqa, b∈R}et J=1 1
1 1
. 1) Démontrer queF est un sous-espace vectoriel deM2(R).
2) Déterminer une base deF⊥.
3) Déterminer le projeté orthogonal deJsur F⊥. 4) Calculer la distance deJà F.
Exercice 29. Mines (Mulot, Dijon) Soient x1, . . . , xn ∈Rtels quePn
i=1x2i = 1. On considère la matriceA= (xixj)∈ Mn(R).
1) Montrer que 2A−In est une matrice orthogonale.
2) Quelle est la nature de l’endomorphisme deRn canoniquement associé à 2A−In ?
Exercice 30. Centrale (Mlle Robelin, Dijon)
Soit G un sous-groupe de On(R). On note tr(G) ={tr(A), A∈G}. On dit que G est d’exposant fini s’il existe un entierm∈N∗tel queAm=In pour toutA∈G. Le but de cet exercice est de prouver que l’on a :
(Gest fini )⇔(tr(G) est fini )⇔(G est d’exposant fini).
1) Icin= 2 et on noteRθla matrice de la rotation d’angleθ∈R. a) Écrire une fonction Python donnantRθ.
b) Écrire une fonction Python prenant en argument deux matrices A, B et renvoyant la liste des matrices appartenant au groupe engendré parAetB.
Indications :
- Pour éviter les boucles infinies, on effectuera les boucles sur une copie de la liste.
- On considérera que deux matrices sont égales si chacun de leurs coefficients sont distants d’au plus 10−6 (instruction Python pour le vérifier donnée).
- On s’arrêtera à 100 éléments dans la liste si le groupe en contient davantage.
c) Vérifier que le groupe engendré parRπ/3 etRπ/5 est fini de cardinal 30.
d) Conjecturer le cardinal du groupe engendré parRπ/n etRπ/m lorsquemet nsont premiers entre eux et le démontrer.
2) SoitG un sous-groupe deOn(R). Montrer que si G est fini, alors tr(G) est fini et G est d’exposant fini.
3) SoitA∈On(R) etul’endomorphisme deRn canoniquement associé.
a) Montrer qu’il existe des sous-espaces de dimension 1 ou 2 stables par u (étudier le polynôme minimal deu).
b) Montrer qu’il existeF1, ..., Fr des sous-espaces stables par uorthogonaux, de dimensions 1 ou 2, tels queRn =⊕ri=1Fi.
c) SoitGun sous-groupe deOn(R) d’exposant fini. Montrer que tr(G) est fini.
4) SoitG un sous-groupe infini deOn(R).
a) Montrer qu’il existe une suite (Ak) d’éléments deG tous distincts et convergente.
b) En considérant la suite (tr(A−1k Ak+1)), montrer que tr(G) est infini.
5) Prouver les équivalences indiquées en début d’énoncé.
Probabilités Exercice 31. CCP (Mlle Robelin, Dijon)
SoitXune variable aléatoire à valeurs dansN. 1) Démontrer queE(X) =P∞
j=1P(x>j).
Soit (Xn)n∈N∗ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes, de même loi queXet soit Mn= max{X1, . . . , Xn}.
2) ExprimerP(Mn6k) en fonction deP(X6k).
3) Supposons que les (Xn) suivent une loi uniforme surNK={1,2, . . . , K}oùK >1. CalculerE(Mn) et limn→∞E(Mn).
4) Supposons que les (Xn) suivent une loi géométrique de paramètrep∈]0,1[. Calculer E(Mn).
5) Soitmn= min{X1, . . . , Xn}. Donner la loi de mn. Exercice 32. Mines (Mlle Robelin, Dijon)
SoitXune variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p∈]0,1[. Justifier l’existence et calculer l’espérance deY = 1
2X+ 1.
Géométrie
Informatique
Divers Exercice 33. Mines (Beurville, Dijon)
Soitσ∈Sn etf:
Sn −→ R s 7−→ Pn
k=1s(k)σ(k).
Prouver l’existence des maximum et minimum defet les calculer.
solutions
Exercice 1.
1) Pourx∈X,n∈Non a|g(x)−gn(x)|6kg−gnk∞6cste car la suite (kg−gnk∞) converge vers 0.
On en déduit|g(x)|6|g0(x)|+ cste6kg0k∞+ cste.
2) La limlite simple estfdéfinie par f(x) = 1/xsi x6= 0 etf(0) = 0. Il n’y a pas convergence uniforme car ni la continuité, ni le caractère borné ne sont conservés.
Exercice 2.
1) Pn
k=1e2ipπxk =e2ipπα−e2ipπα(n+1)
1−e2ipπα =O(1).
2) Si log10(2) =p/qalors 10p= 2qce qui est impossible avec p, qentiers non tous deux nuls.
3) Le premier chiffre de 2xest égal àjsi et seulement s’il existek∈Ntel quej×10k62x<(j+ 1)×10k, donc si et seulement si log10(j) 6 {xlog10(2)} < log10(j+ 1). Par irrationnalité de log10(2) et équirépartition modulo 1, le nombre d’entiersx∈[[1, n]] vérifiant ceci est équivalent ànlog10(1 + 1/j) et donc la probabilité à étudier tend vers log10(1 + 1/j) quandn→ ∞.
Exercice 4.
1) Aqfixé, le nombre d’entiers ptels que 06p6qet p∧q= 1 est au plus égal àq donc la famille (f(p/q)/q3)p,q est dominée par la famille (kfk∞/q2)q qui est sommable. On en déduit que H1(f) existe et|H1(f)|6kfk∞ζ(2). Étant manifestement linéaire, H1 est continue.
2) Étant croissante,gest majorée sur tout intervalle non vide et majoré, doncH2(f) est bien défini.
Sig est discontinue à gauche en un pointa alors pour toute fonction f telle que sup(f) = a, on a H2(f−1/n)6g(a−1/n)6g(a−)< g(a) =H2(f) pourn∈N∗, donc H2 est discontinue enf. De même sigest discontinue à droite ena.
Sigest continue en un pointa et sup(f) =aalors pour toute suite (fn) convergeant uniformément versf on a sup(fn)→sup(f) =apuis par continuité deg,H2(fn)→H2(f) etH2 est continue enf.
En conclusion,H2est continue en fsi et seulement sigl’est en supf.
Exercice 5.
1) Continuité deϕe en 0.
2) Cf. cours sur les morphismes continus deRdansA∗oùAest une algèbre normée de dimension finie.
3) On doit avoir exp(2πA) =In, ce qui amène une discussion sur les valeurs propres complexes de A.
Cette condition étant remplie, il vientϕ(z) = exp(tA) pour tout réelttel quez=eit. Exercice 7.
1) f(x) = 4
(x+ 1)2 + 3 x+ 1. 2) ∀x∈]−1,1[,f(x) =P∞
n=0(−1)n(4n+ 7)xn. Exercice 8.
3) vn+1(x)−vn(x) = 1
2n+1ln(1 + 1/un(x)) =o(1/2n+1). S’agissant de séries à termes réels positifs, on peut sommer : la série de terme généralvn+1(x)−vn(x) converge ; la suite de terme généralvn(x) converge vers un réelα(x) et toujours par sommation,α(x)−vn(x) =o(P∞
k=n1/2k+1) =o(1/2n).
On en déduitun(x)∼exp(2nα(x)).
5) En tant que fonctions dex,un puisvn sont croissantes.
6) La série donnée en4)est localement normalement convergente.
7) 1/(2x).
8) α(x) = ln(x) + 1/(2x) +O(1/x2).
Exercice 9.
1) R\ {0}.
2) f(x) +f(x+ 1) = 1/x.
3) f(x) = 1/|x|+Ox→0(1),f(x)∼1/(2x) en +∞par décroissance.
Exercice 10.
1) S’il y a convergence normale, alorsM=P
kfnk∞ convient. S’il n’y a pas convergence normale et si toutes les fonctionsfn sont bornées, alorsP
kfnk∞= +∞et on peut trouver pour chaquen>1 un élémentun∈Xtel que|fn(un)|>kfnk∞−1/n2. Avec un tel choix, on aP
|fn(un)|= +∞. Enfin, s’il existe une fonctionfn0 non bornée, on peut trouverxk∈Xtel que|fn0(xk)|>k, puis pour toute suite (un) telle queun0=xk on aP|fn(un)|>k.
2) Prendre des fonctions à valeurs réelles positives et à supports disjoints.
Exercice 11.
2) Soitϕ(t) = sint t2 −1
t pourt∈]0,1]. ϕest prolongeable par continuité en 0 doncR1
0 ϕest convergente, ce qui donneR1
t=x
sint
t2 dt=−ln(x) +O(1) et on peut rentrerR+∞
t=1
sint
t2 dt dans leO(1).
3) Intégrer deux fois par parties.
Exercice 12.
1) Fonction continue sur un compact. Par étude de fonction, on trouve khk∞ = 1/e, atteint pour x= 1/e.
2) x−x=P∞ n=0
(−h(x))n
n! et on peut intégrer terme à terme, cas réel positif.
Le calculR1
x=0(−h(x))ndx= n!
(n+ 1)n+1 se traite par intégrations par parties successives.
Exercice 13.
L’intégrale est convergente pour tout x ∈ Ret définit une fonction strictement décroissante de x (par dérivation sous le signe intégral ou par étude de variation en coupant l’intégrale àt= 1).
Par convergence monoyone par morceaux et donc dominée, l’intégrale a pour limitesR1 t=0
lnt
et dt <0 en +∞etR+∞
t=1
lnt
et dt >0 en −∞.
Exercice 14.
2) F0(x) =R+∞
t=0(e−bt−e−at) sin(tx) dt== 1
b−ix − 1 a−ix
= x
b2+x2 − x a2+x2. Il vientF(x) =12lnb2+x2
a2+x2
+ cste.
On a aussi par intégration par parties : F(x) =he−at−e−bt
t ×sin(tx) x
i+∞
t=0− Z +∞
t=0
d dt
e−at−e−bt t
×sin(tx)
x dt=O(1/x) donc la constante est nulle.
Exercice 15.
2) L’existence ne pose pas de problème. Pétant à coefficients réels, on aP(reiθ) =P(re−iθ) et de même pourQ, ce qui donne I(r) =I(r).
3) I(r) = 2πP(0).
4) Les racines deQétant simples, on a P(X)
Q(X) =E(X) +Pq k=1
αk X−λk
oùEest un polynôme (le quotient de la division euclidienne dePparQ) et lesαk des réels (αk=P(λk)/Q0(λk)).
Sir >|λ|, on a 1 =P∞ λn et il y a convergence normale par rapport à θ d’où
Exercice 16.
L’intégrale définissantf(x) n’est convergente que pourx>−1. Par interversion intégrale-série, on obtient f(x) =P∞
n=1
(−1)n+1
n2 xn pour toutx∈[−1,1].
Exercice 18.
1) BA=A−1(AB)A.
2) Non. AvecA=1 1
1 1
etB= 1 1
−1 −1
, on aAB= (0)6=BA.
Exercice 19.
2) Fx=huk(x), k∈Ni.
3) b)Si Fx = E et v ∈ C, soit P ∈ K[X] tel que v(x) = P(u)(x). Alors pour tout polynôme Q, on a v(Q(u)(x)) =Q(u)(v(x)) =Q(u)◦P(u)(x) =P(u)◦Q(u)(x), d’oùv=P(u) carQ(u)(x) décritE.
Exercice 20.
1) Sif est un tel morphisme alors c’est en particulier une forme linéaire non nulle (carf(1) = 1), donc ker(f) est un hyperplan deR[X]. C’est aussi un idéal, engendré par un polynôme unitaire P0 et le caractère hyperplan impose deg(P0) = 1, soitP0=X−apour un certaina∈R.
PourP∈R[X] on aP= (X−a)Q+P(a) (division euclidienne), d’oùf(P) =P(a)f(1) =P(a). Ainsi les seuls morphismes envisageables sont les morphismes d’évaluation, et de fait ceux-cis conviennent.
2) En notantϕ(P) =P(a), on doit avoir avecP= (X−a)pet Q= (X−a)q: δ((X−a)p+q) = 0pδ((X−a)q) + 0qδ((X−a)p) pour tousp, q∈N.
En particulier δ((X−a)n) = 0 pour tout n > 2 ainsi que pour n = 0. Si P ∈ R[X], avec la formule de Taylor : P=P
kP(k)(a)(X−a)k/k!, il vientδ(P) =P0(a)δ(X−a) pour tout polynômeP.
Réciproquement, pour tout choix d’un polynôme δ(X−a)∈ R[X], l’application P7→ P0(a)δ(X−a) convient.
Exercice 21.
1) L’intégrale est faussement généralisée.
2) sp(T) = ]0,1] etEλest la droite engendrée parx7→x1/λ. Exercice 22.
2) Cayley-Hamilton.
Exercice 23.
1) Prendreutel quefn−1(u)6= 0.
3) detB(Bu) est le déterminant de Vandermonde des valeurs propres def.
Exercice 24.
3) On sait queχA(A) = 0 et par factorisation,χA(B) est inversible.
SoientC=−χA(B)−1 etχA=Pn
k=0akXk, d’oùPn
k=0ak(AkC−CBk) =In. Or,
AkC−CBk =A(Ak−1C+Ak−2CB+. . .+CBk−1)−(Ak−1C+Ak−2CB+. . .+CBk−1)B
=AMk−MkB.
DoncM=Pn
k=0akMk convient.
Exercice 25.
Soit P le polynôme minimal de M2, à racines simples par hypothèse. Si 0 n’est pas racine de P, en écrivantP=Q(X−λ) et en choisissant pour chaqueλ une racine carréeµ, on aQ(M2−µ2In) = 0 ce qui fournit un annulateur scindé simple pourM. Dans ce cas, M2 étant inversible,Ml’est aussi et les noyaux sont égaux à{0}.
Si 0 est racine de P, en écrivantP =XQon obtient M2Q(M2) = 0 et Q(X2) est scindé simple comme précédement. Reste le facteurM2. Notons que Im(Q(M2))⊂ker(M2).
Si ker(M) = ker(M2) alors Im(Q(M2))⊂ker(M) doncMQ(M2) = 0 et on a trouvé un annulateur scindé simple ;Mest diagonalisable.
Si Mest diagonalisable alors M et M2 sont simultanément diagonalisables et on a ker(M) = ker(M2) par examen dans une base propre.
Exercice 26.
Si AP= PB alors par récurrence AkP =PBk pour toutk ∈N, puis par combinaison Q(A)P =PQ(B) pour tout polynôme Q. En particulier, 0 =χA(A)P=PχA(B). Ayant P6= 0, on en déduit queχA(B) est non inversible, puis qu’il existe λ∈sp(A) tel queB−λIn est non inversible. On a alorsλ∈sp(B).
Si λ ∈ sp(A)∩sp(B), soient X, Y deux colonnes non nulles telles que AX = λX et tBY = λY. Alors P=XtY convient.
Exercice 27.
1) a)Prendre pourUune colonne non nulle deB. Toutes les colonnes deBsont alors proportionnelles à celle-la ; placer les coefficients de proportionalité dansV.
b) Ces deux espaces ont même dimension 1 etAB= 0 donne une inclusion.
2) a)Le rang est la plus grande taille d’un déterminant extrait non nul.
b) Si rg(A)6n−2, n’importe quel vecteur non nul est vecteur propre pourB. Dans ce cas, il n’y a pas réciprocité.
Si rg(A) =n, alorsBest proportionnelle àA−1 qui a mêmes vecteurs propres queA. Dans ce cas, il y a réciprocité.
Si rg(A) = n−1 et AX = 0 avec X 6= 0, alors ABX = BAX = 0 donc BX ∈ ker(A) qui est de dimension 1, engendré parX, etXest vecteur propre pourB.
Si rg(A) = n−1 et AX =λX avec λ 6= 0 et X 6= 0, alors λBX =BAX = ABX = det(A)X = 0 doncBX= 0 etXest vecteur propre pourB. Il n’y a pas réciprocité car siX, Y sont deux vecteurs propres pour Aassociés à des valeurs propres non nulles et distinctes, alorsZ=X+Y n’est pas vecteur propre pourAmais on a quand mêmeBZ= 0.
c) Méthode MP∗: il est bien connu que lorsque deux matrices sont semblables, alors leurs transcoma- trices le sont (avec la même matrice de changement de base, mais ce fait n’est pas utile ici). Étant dansC, on peut donc supposerAtriangulaire supérieure. AlorsBl’est aussi et a pour coefficients diagonaux les produits den−1 coefficients diagonaux deA. Le spectre de Best donc l’ensemble des produits den−1 éléments pris dans la liste desnvaleurs propres deA.
Méthode conforme au programme : les cas rg(A)6n−2 et rg(A) =nsont élémentaires. Dans le cas rg(A) = n−1, on a rg(B) = 1 donc 0 est valeur propre de multiplicité au moins n−1 et la dernière valeur propre est tr(B), c’est-à-dire la somme des mineurs diagonaux deA, ou aussi, au signe près, l’avant-dernier coefficient deχA. C’est le produit des valeurs propres non nulles deA s’il y en an−1 et 0 s’il y en a moins.
d) Utiliser la méthode MP∗ de la réponse précédente.
Exercice 29.
2) A=XtX avecX=t(x1 · · · xn) donc pour Umatrice colonne, AU= (X|U)Xc’est-à-dire le projeté orthogonal deUsurhXi. Ainsi 2A−In représente la symétrie orthogonale par rapport àhXi.
Exercice 30.
1) d)Avecun+vm= 1, on aRvπ/nRπ/mu =Rπ/mn donc le groupe engendré parRπ/n etRπ/mcontient celui engendré par Rπ/mn qui est manifestement de cardinal 2mn. L’inclusion réciproque est triviale.
2) Thm de Lagrange.
3) a)SoitPun facteur irréductible de ce polynôme minimal (donc de degré 1 ou 2) etx∈ker(P(u))\{0}.
Le sous-espace engendré parx, u(x) est de dimension 1 ou 2 et est stable paru.
b) cours ou récurrence.
c) PourA∈G, la réduction précédente donne des restrictions deAà des sous-espaces de dimensions 1 ou 2 qui sont d’ordres finis. Dans le cas de la dimension 2, il s’agit de rotations dont l’angle est un multiple rationnel deπet leurs traces varient dans un ensemble fini.
4) a)Thm de Bolzano-Weierstrass.
b) tr(A−1k Ak+1) 7−→
k→∞tr(In) =net tr(A−1k Ak+1)6=ncarA−1k Ak+1∈On(R)\ {In}.
5) Fait.
Exercice 31.
3) E(Mn) =PK
k=1(1−(k−1K )n) 7−→
n→∞K.
4) E(Mn) =P∞
k=1(1−(1−(1−p)k−1)n) =Pn
i=1(−1)i+1 ni
× 1
1−(1−p)i. 5) P(mn >k) =P(X>k)n.
Exercice 32.
E(Y) =p/q×argth(q).
Exercice 33.
Sn étant non vide fini, maximum et minimum existent.
Avec l’inégalité de Cauchy-Schwarz,f(s)6pP
s2(k)pP
σ2(k) =Pk2= 16n(n+ 1)(2n+ 1) avec égalité lorsque s=σ. C’est donc le maximum def.
En ce qui concerne le minimum, considérons pours∈Snla permutations0définie pars0(k) =n+1−s(k) : on af(s0) = 12n(n+ 1)2−f(s)6 16n(n+ 1)(2n+ 1), d’oùf(s)>16n(n+ 1)(n+ 2) avec égalité sis=σ0. C’est le minimum def.
