Université de Cergy-Pontoise 2016– 2017 L3 Mathématiques, Probabilités – Statistiques
E. Löcherbach et A. Mizrahi
Examen. Mai 2017 Les documents ne sont pas autorisés. Durée de l’épreuve : 3 heures.
Question de cours
Rappeler l’énoncé de l’inégalité de Markov et en donner une preuve.
Exercice 1 Soit X une variable aléatoire réelle, définie sur un espace de probabilités(Ω,F, P),avec densité de probabilité f(x) =ax21{−1≤x≤1},où a >0 est une constante.
1. Que vaut a?
2. CalculerE(X), V ar(X) et la fonction de répartition de X.
Exercice 2 Soient X1, X2 deux variables indépendantes qui suivent une loi exponentielle de paramètre 1.
1. Déterminer la loi du couple (X1+X2, X2/X1).
2. Quelle est la loi de X1+X2?
3. Est-ce que X1+X2 etX2/X1 sont indépendantes ?
Exercice 3 Soient λ >0 etX1, . . . , Xn, . . . ,des variables aléatoires i.i.d. de loi de Poisson de paramètreλ.
1. Retrouver l’espérance et la variance de X1.
2. Montrer que X1+X2+. . .+Xn suit une loi de Poisson dont on déterminera le paramètre.
3. Déduire de la question précédente que si pour toutn,Znsuit une loi de Poisson de paramètrenλalors la suite de variables aléatoires
Zn√−nλ nλ
converge en loi vers une variable aléatoire normale centrée réduite.
4. Généralisons ce résultat, soitYn une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre λn>0 avec limλnn =a >0.
(a) Déterminer la fonction caractéristique deYn. (b) En déduire que la fonction caractéristique de
Yn√−λn
na
est définie part7→exph
−it√λn
na−λn+λne√itnai . (c) En déduire que
Yn√−λn
na
converge en loi vers une variable aléatoire normale centrée réduite.
Exercice 4. Soient X1, . . . , Xn indépendantes de loi normale de paramètres (ϑ,1),où ϑ∈R est un paramètre inconnu, et f(1,ϑ), f(2,ϑ), ..., f(n,ϑ) les densités deX1, . . . , Xn.
1. Calculer la vraisemblanceh(ϑ, x1, . . . , xn) =f(1,ϑ)(x1)f(2,ϑ)(x2). . . f(n,ϑ)(xn).
2. En déduire l’estimateur du maximum de vraisemblance ϑˆn.1
3. Dire rapidement sans preuve pourquoi cet estimateur est un “bon” estimateur (comportement lorsque n→ ∞?) .
Exercice 5. Soit P une probabilité sur un espace mesurable(Ω,F).Montrer que pour tous A, B∈ F,
|P(A∩B)−P(A)P(B)| ≤ 1 4. Indication : Montrer que
P(A)P(B) = (P(A∩B) +P(A∩Bc))P(B).
En itérant ce genre d’arguments, montrer que
P(A∩B)−P(A)P(B) =P(A∩B)P(Ac∩Bc)−P(A∩Bc)P(B∩Ac).
En déduire que
|P(A∩B)−P(A)P(B)| ≤P(B)P(Bc).
Conclure.
1. C’est la valeur deϑqui maximimise l’expressionh(ϑ, x1, . . . , xn),pourx1, . . . , xnfixés.
1
