On note la suite : (u n ) n∈N ou plus simplement (u n ).

I Généralités

I.1 Notion de suite

1. Notations et vocabulaire

Définition 1 Une suite est une fonction de N dans R , qui associe à tout entier naturel un unique réel.

On note la suite : (u n ) n∈N ou plus simplement (u n ).

u n est le terme général de la suite ou le terme de rang n. (écrire simplifiée de la notation fonctionnelle u(n)).

Il faut distinguer (u n ) notation de la suite et u n qui est un nombre réel.

Remarque 1 Si l’on considère la suite (u n ) n>0 , le premier terme est u 0 et le n-ième terme est le terme de rang n − 1 c’est à dire u n−1 .

Certaines suites ne sont défines qu’à partir d’un rang n 0 , on note (u n ) n>n

. Ex : 1

n

n>1

, le premier terme est u 1 .

2. Modes de génération d’une suite

• A partir d’une expression explicite

On peut alors calculer directement u n à partir de n. On a plus précisément u n = f (n) où f est une fonction définie sur [0; +∞[.

Exemple 1 u

= n

n + 2 . Calculer u

et u

. Exemple 2 v

= p

2n + ( − 1)

. Calculer v

et le cinquième terme de la suite.

• Avec une relation de récurrence

Ces suites sont définies par le(s) premier(s) terme(s) et par une relation dite de récurrence qui donne le procédé pour calculer un terme à partir du (ou des) précédent(s). Souvent, on associe une fonction f et la relation de récurrence est de la forme u n+1 = f (u n ).

Exemple 3

u

= − 1

u

= 2u

+ 3 ∀ n ∈ N . Calculer u

.

3. Représentation graphique des termes d’une suite

• Cas u n = f (n) : expression explicite

Reprendre l’exemple 1 : u n = n ² n + 2 , les termes (u n ) sont les images des entiers na- turels par la fonction f définie sur [0; +∞[

par f (x) = x ² x + 2

O ~i

~j

C f

• Cas u n+1 = f (u n ) : suite récurrente

Soit :

( u 0 = −1 u n+1 = 1

2 u n + 2 ∀n ∈ N On considère la fonction f définie par :

f (x) = 1 2 x + 2

et l’on a successivement u 1 = f (u 0 ), u 2 = f (u 1 ) , .... chaque image calculée doit servir à calculer la suivante donc graphiquement on doit « repor- ter » les images calculées sur l’axe des abscisses.

La droite d’équation y = x sert à cela.

O ~i

~j

y = x

y = ¹ ₂ x + 2

I.2 Sens de variation d’une suite

1. Définitions

• Une suite est dite croissante si pour pour tout n de N , u n+1 > u n .

• Une suite est dite décroissante si pour pour tout n de N , u n+1 6 u n

• Une suite est dite constante si pour pour tout n de N , u n+1 = u n

Une suite qui est soit croissante, soit décroissante, soit constante est dite monotone.

2. Techniques de détermination du sens de variation

• Différence de deux termes consécutifs

On calcule u n+1 − u n et on étudie le signe de cette différence en gardant à l’esprit que n est un entier naturel donc n > 0.

∗ ∀n ∈ N , u n+1 − u n > 0 ⇔ u n+1 > u n ⇔ (u n ) croissante

∗ ∀n ∈ N , u n+1 − u n 6 0 ⇔ u n+1 6 u n ⇔ (u n ) décroissante Exemple 4 Déterminer le sens de variation de la suite (u

) définie par :

( u

= 3

u

= u

− 1

n + 1 ∀ n ∈ N

• Cas des suites strictement positives

Lorsque la suite (u n ) est strictement positive (∀n ∈ N , u n > 0), on peut comparer le quotient u n+1

u n

à 1.

∗ ∀n ∈ N , u n+1

u n

> 1 ⇔ u n+1 > u n ⇔ (u n ) croissante

∗ ∀n ∈ N , u n+1

u n

6 1 ⇔ u n+1 6 u n ⇔ (u n ) décroissante

Exemple 5 Déterminer le sens de variation de la suite (u

)

définie par : u

= n 3

• Cas des suites du type u n = f (n)

On peut se servir du sens de variation de la fonction f sur [0; +∞[ (calcul de la dérivée de f et recherche du signe de f ^′ sur [0; +∞[).

∗ Si f est croissante sur [0; +∞[ , alors (u n ) croissante

∗ Si f est décroissante sur [0; +∞[ , alors (u n ) décroissante

Exemple 6 Déterminer le sens de variation de la suite (u

)

définie par : u

= − n + 2 2n + 5 Remarque 2 Importante : Dans le cas où (u n ) est définie par :

u 0

u n+1 = f (u n ) ∀n ∈ N , la suite (u n ) n’a pas nécessairement le même sens de variation que la fonction f .

• On utilise un raisonnement par récurrence (voir paragraphe III )

I.3 Suite majorée, minorée, bornée

1. Définitions

• Une suite est dite majorée s’il existe un réel M tel que pour tout n de N , u n 6 M . On dit que M est un majorant de la suite (u n ).

• Une suite est dite minorée s’il existe un réel m tel que pour tout n de N , u n > m . On dit que m est un minorant de la suite (u n ).

• Une suite est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

2. Techniques

En utilisant sa calculatrice, un ordinateur, son intuition, on peut conjecturer que la suite admet un majorant M ou un minorant m. On le démontre en établissant que l’on a, pour tout n de N , u n 6 M ou u n > M .

• Technique de la différence : on exprime u n − M ou u n − m puis on étudie le signe de l’expression.

Exemple 7 Démontrer que la suite (u

) par u

= n

+ n + 1

n

− n + 1 est majorée par 3.

• On utilise les règles de calcul avec les inégalités (additionner, multiplier par un nombre positif ou négatif, rangements des inverses, des carrés, des racines carrées, ... )

Exemple 8 Démontrer que la suite (u

)

par u

= 3 − 1

n est bornée.

• Dans le cas où l’on a une expression explicite de u n , l’étude de la fonction f telle que u n = f (n) peut conduire au résultat.

Reprendre l’exemple 7.

• On utilise un raisonnement par récurrence (voir paragraphe III).

• Cas particulier des suites monotones

Une suite croissante est minorée par son premier terme et une suite décroissante est majorée par son premier terme.

II Suites arithmétiques et géométriques

II.1 Suites arithmétiques

1. Définition

Définition 2 Une suite (u n ) est arithmétique lorsque l’on passe d’un terme de la suite au suivant en ajoutant toujours le même nombre r appelé raison. On a :

∀n ∈ N , u n+1 = u n + r

On démontre qu’une suite (u n ) est arithmétique en calculant u n+1 − u n et en montrant que cette différence est constante pour tout entier n.

En effet u n+1 − u n = r ⇔ u n+1 = u n + r

Exemple 9 Soit (u

) définie par : u

= 3n + 1 pour tout entier naturel n. Prouver que (u

) est arithmétique.

2. Sens de variation d’une suite arithmétique

• Si r > 0, la suite arithmétique (u n ) est strictement croissante. (u n+1 > u n )

• Si r < 0, la suite arithmétique (u n ) est strictement décroissante. (u n+1 < u n )

• Si r = 0, la suite arithmétique (u n ) est constante. (u n+1 = u n ) 3. Relations entre les termes

• Soit la suite arithmétique (u n ) de premier terme u 0 = 2 et de raison r, on a :

∀n ∈ N , u n = u 0 + nr

• Soit la suite arithmétique (u n ) de raison r, on a :

∀n, p ∈ N , u n = u p + (n − p)r Exemple 10 :

1. On considère la suite arithmétique (u

) de raison r = − 2 telle que u

= 15. Exprimer u

en fonction de n.

2. On considère la suite arithmétique (u

) telle que u

= 7 et u

= 20. Exprimer u

en fonction de n.

4. Somme de termes consécutifs

Soit (u n ) une suite arithmétique. Soit S = u p + u p+1 + ... + u n−1 + u n la somme de termes consécutifs de la suite (u n ). On a :

S = Nombre de termes de la somme × premier terme + dernier terme 2

Exemple 11 (u

) est la suite arithmétique de premier terme u

et de raison r = 1, 5. Calculer S = u

+ u

+ ... + u

II.2 Suites géométriques

1. Définition

Définition 3 Une suite (u n ) est géométrique lorsque l’on passe d’un terme de la suite au suivant en multipliant toujours par le même nombre q appelé raison. On a :

∀n ∈ N , u n+1 = u n × q

On démontre qu’une suite (u n ) est géométrique en exprimant u n+1 sous la forme constante ×u n pour tout entier n.

Exemple 12 Soit (u

) définie par : u

= 3

× 2

pour tout entier naturel n. Prouver que (u

) est géométrique.

2. Sens de variation de (q ⁿ )

• Si q > 1, la suite de terme général (q ⁿ ) est strictement croissante.

• Si 0 < q < 1, la suite de terme général (q ⁿ ) est strictement décroissante.

• Si q < 0, la suite de terme général (q ⁿ ) n’est pas monotone.

3. Relations entre les termes

• Soit la suite géométrique (u n ) de premier terme u 0 et de raison q, on a :

∀n ∈ N , u n = u 0 × q ⁿ

• Soit la suite géométrique (u n ) de raison q, on a :

∀n, p ∈ N , u n = u p × q ^n−p Exemple 13 :

1. On considère la suite géométrique (u

) de raison q = 3 telle que u

= − 27. Exprimer u

en fonction de n et étudier le sens de variation de (u

).

2. On considère la suite géométrique (u

) telle que u

= 16 et u

= 1024. Quelles valeurs peut prendre la raison q de cette suite ? Calculer u

.

4. Somme de termes consécutifs

Soit (u n ) une suite géométrique de raison q 6= 1. Soit S une somme de termes consécutifs de la suite (u n ). On a :

S = premier terme de la somme × 1 − q nombres de termes de la somme

1 − q

Exemple 14 Calculer S = 1 + q + q

+ ... + q

pour q différent de 0 et de 1 et p entier naturel non nul.

III Raisonnement par récurrence

III.1 Théorème

1. Situation propice

On souhaite démontrer, par exemple, que pour tout n appartenant à N : 2 ⁿ > n + 1 . On nomme P(n) cette propriété écrite au rang n ( P pour propriété et n pour insister sur le fait que la propriété dépend de cet entier) Réflexe : On examine la propriété pour les premières valeurs prises par l’entier n.

2 ⁿ n + 1 P (n) vraie ou fausse

n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4

On pourrait continuer ainsi l’examen de beaucoup d’entiers mais quel que soit le nombre de valeurs de n testées semblant valider la propriété, on ne peut pas considérer la propriété vraie pour tout entier naturel n de N . (Est- il nécessaire de vous rappeler que l’ensemble N est infini ? Il y a toujours un entier après celui que vous avez testé !) 2. Caractère héréditaire d’une propriété

Théorème 1 Soit P (n) une propriété dépendant d’un entier n et n 0 ∈ N . On dit que P est héréditaire à partir du rang n 0 si

pour un entier n > n 0 , P (n) vraie implique que P (n + 1) est vraie.

Exemple 15 La propriété du 1. est-elle héréditaire à partir de 0 ?

Exemple 16 Soit a un réel positif. Soit P(n) la propriété : (1 + a)

> 1 + na. P est-elle héréditaire à partir de 0 ?

3. Principe du raisonnement par récurrence (admis)

Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier n et n 0 ∈ N . Si la propriété P (n 0 ) est vraie (initialisation),

et si P est héréditaire à partir du rang n 0 ,

alors pour tout entier n > n 0 , la propriété P(n) est vraie.

Exemple 17 Les propriétes des exemples 15 et 16 sont-elles vraies pour tout n entier naturel.

EXERCICE 1 Soit la suite (u n ) définie par :

( u 0 = 3 u n+1 = 1

2 u n − 1 ∀n ∈ N . Démontrer par récurrence que (u n ) est

décroissante et minorée par −2 c’est à dire la propriété P (n) : u n > u n+1 > −2