Suites, récurrence et comportement asymptotique.

L 1

Suites, récurrence et comportement asymptotique.

T.S • •

∗

∗

∗ ^•

• ^•

I Généralités

I.1 Notion de suite 1. Notations et vocabulaire

D é f i n i t i o n : Une suite est une fonction de N dans R , qui associe à tout entier naturel un unique réel.

On note la suite : (u

)

ou plus simplement (u

).

u

est le terme général de la suite ou le terme de rang n. (écrire simplifiée de la notation fonctionnelle u(n)).

Il faut distinguer (u

) notation de la suite et u

qui est un nombre réel.

Remarque 1 Si l’on considère la suite (u

)

, le premier terme est u

et le n-ième terme est le terme de rang n − 1 c’est à dire u

.

Certaines suites ne sont défines qu’à partir d’un rang n

, on note (u

)

. Ex : 1

n

n>1

, le premier terme est u

.

2. Modes de génération d’une suite

• A partir d’une expression explicite

On peut alors calculer directement u

à partir de n. On a plus précisément u

= f(n) où f est une fonction définie sur [0; + ∞ [ .

Exemple 1 u

= n

n + 2 . Calculer u

et u

.

Exemple 2 v

= p

2n + ( − 1)

. Calculer v

et le cinquième terme de la suite.

• Avec une relation de récurrence

Ces suites sont définies par le(s) premier(s) terme(s) et par une relation dite de récurrence qui donne le procédé pour calculer un terme à partir du (ou des) précédent(s). Souvent, on associe une fonction f et la relation de récurrence est de la forme u

= f (u

) (f fonction de passage).

Exemple 3

u

= − 1

u

= 2u

+ 3 ∀ n ∈ N . Calculer u

.

∗ ∗

3. Représentation graphique des termes d’une suite

• Cas u

= f (n) : expression explicite

Reprendre l’exemple 1 : u

= n

n + 2 , les termes (u

) sont les images des entiers naturels par la fonction f définie sur [0; + ∞ [ par f (x) = x

x + 2

1 2 3 4 5 6 7

− 1 1 2 3 4 5 6 7

− 1 O ~i

~j

C

• Cas u

= f (u

) : suite récurrente

Soit :







u

= − 1 u

= 1

2 u

+ 2 ∀ n ∈ N

On considère la fonction de passage f définie par :

f (x) = 1 2 x + 2

et l’on a successivement u

= f (u

), u

= f(u

) , .... chaque image calculée doit servir à calculer la suivante donc graphiquement on doit « repor- ter » les images calculées sur l’axe des abscisses.

La droite d’équation y = x sert à cela.

1 2 3 4

− 1

− 2

− 3

1 2 3 4

− 1

− 2

− 3 O ~i

~j

y = x

y =

x + 2

I.2 Sens de variation d’une suite 1. Définitions

• Une suite est dite croissante si pour pour tout n de N , u

> u

.

• Une suite est dite décroissante si pour pour tout n de N , u

6 u

• Une suite est dite constante si pour pour tout n de N , u

= u

Une suite qui est soit croissante, soit décroissante, soit constante est dite monotone.

2. Techniques de détermination du sens de variation

• Différence de deux termes consécutifs

On calcule u

− u

et on étudie le signe de cette différence en gardant à l’esprit que n est un entier naturel donc n > 0.

∗ ∀ n ∈ N , u

− u

> 0 ⇔ u

> u

⇔ (u

) croissante

∗ ∀ n ∈ N , u

− u

6 0 ⇔ u

6 u

⇔ (u

) décroissante

Exemple 4 Déterminer le sens de variation de la suite (u

) définie par :

( u

= 3

u

= u

− 1

n + 1 ∀ n ∈ N

• Cas des suites strictement positives

Lorsque la suite (u

) est strictement positive ( ∀ n ∈ N , u

> 0), on peut comparer le quotient u

u

à 1.

∗ ∀ n ∈ N , u

u

> 1 ⇔ u

> u

⇔ (u

) croissante

∗ ∀ n ∈ N , u

u

6 1 ⇔ u

6 u

⇔ (u

) décroissante

Exemple 5 Déterminer le sens de variation de la suite (u

)

définie par : u

= n 3

• Cas des suites du type u

= f (n)

On peut se servir du sens de variation de la fonction f sur [0; + ∞ [ (calcul de la dérivée de f et recherche du signe de f

sur [0; + ∞ [).

∗ Si f est croissante sur [0; + ∞ [ , alors (u

) croissante

∗ Si f est décroissante sur [0; + ∞ [ , alors (u

) décroissante

Exemple 6 Déterminer le sens de variation de la suite (u

)

définie par : u

= − n + 2 2n + 5 Remarque 2 Importante : Dans le cas où (u

) est définie par :

( u

u

= f(u

) ∀ n ∈ N , la suite (u

) n’a pas nécessairement le même sens de variation que la fonction de passage f .

• On utilise un raisonnement par récurrence (voir paragraphe III )

I.3 Suite majorée, minorée, bornée 1. Définitions

• Une suite est dite majorée s’il existe un réel M tel que pour tout n de N , u

6 M . On dit que M est un majorant de la suite (u

).

• Une suite est dite minorée s’il existe un réel m tel que pour tout n de N , u

> m . On dit que m est un minorant de la suite (u

).

• Une suite est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

2. Techniques

En utilisant sa calculatrice, un ordinateur, son intuition, on peut conjecturer que la suite admet un majorant M ou un minorant m. On le démontre en établissant que l’on a, pour tout n de N , u

6 M ou u

> M.

• Technique de la différence : on exprime u

− M ou u

− m puis on étudie le signe de l’expression.

Exemple 7 Démontrer que la suite (u

) par u

= n

+ n + 1

n

− n + 1 est majorée par 3.

• On utilise les règles de calcul avec les inégalités (additionner, multiplier par un nombre

positif ou négatif, rangements des inverses, des carrés, des racines carrées, ... )

∗ ∗

• Dans le cas où l’on a une expression explicite de u

, l’étude de la fonction f telle que u

= f (n) peut conduire au résultat.

Reprendre l’exemple 7.

• On utilise un raisonnement par récurrence (voir paragraphe III).

• Cas particulier des suites monotones

Une suite croissante est minorée par son premier terme et une suite décroissante est majorée par son premier terme.

II Suites arithmétiques et géométriques

II.1 Suites arithmétiques 1. Définition

Une suite (u

) est arithmétique lorsque l’on passe d’un terme de la suite au suivant en ajoutant toujours le même nombre r appelé raison. On a :

∀ n ∈ N , u

= u

+ r

On démontre qu’une suite (u

) est arithmétique en calculant u

− u

et en montrant que cette différence est constante pour tout entier n.

En effet : ∀ n ∈ N , u

− u

= r ⇔ u

= u

+ r

Exemple 9 Soit (u

) définie par : u

= 3n + 1 pour tout entier naturel n. Prouver que (u

) est arithmétique.

2. Sens de variation d’une suite arithmétique

• Si r > 0, la suite arithmétique (u

) est strictement croissante. (u

> u

)

• Si r < 0, la suite arithmétique (u

) est strictement décroissante. (u

< u

)

• Si r = 0, la suite arithmétique (u

) est constante. (u

= u

) 3. Relations entre les termes

• Soit la suite arithmétique (u

) de premier terme u

= 2 et de raison r, on a :

∀ n ∈ N , u

= u

+ nr

• Soit la suite arithmétique (u

) de raison r, on a :

∀ n, p ∈ N , u

= u

+ (n − p)r Exemple 10 :

1. On considère la suite arithmétique (u

) de raison r = − 2 telle que u

= 15. Exprimer u

en fonction de n.

2. On considère la suite arithmétique (u

) telle que u

= 7 et u

= 20. Exprimer u

en fonction de n.

4. Somme de termes consécutifs

Soit (u

) une suite arithmétique. Soit S = u

+ u

+ ... + u

+ u

la somme de termes consécutifs de la suite (u

). On a :

S = Nombre de termes de la somme × premier terme + dernier terme 2

Exemple 11 (u

) est la suite arithmétique de premier terme u

et de raison r = 1, 5. Calculer S = u

+ u

+ ... + u

II.2 Suites géométriques 1. Définition

Une suite (u

) est géométrique lorsque l’on passe d’un terme de la suite au suivant en multipliant toujours par le même nombre q appelé raison. On a :

∀ n ∈ N , u

= u

× q

On démontre qu’une suite (u

) est géométrique en exprimant u

sous la forme constante × u

pour tout entier n.

Exemple 12 Soit (u

) définie par : u

= 3

× 2

pour tout entier naturel n. Prouver que (u

) est géométrique.

2. Sens de variation de (q

)

• Si q > 1, la suite de terme général (q

) est strictement croissante.

• Si 0 < q < 1, la suite de terme général (q

) est strictement décroissante.

• Si q < 0, la suite de terme général (q

) n’est pas monotone.

3. Relations entre les termes

• Soit la suite géométrique (u

) de premier terme u

et de raison q, on a :

∀ n ∈ N , u

= u

× q

• Soit la suite géométrique (u

) de raison q, on a :

∀ n, p ∈ N , u

= u

× q

Exemple 13 :

1. On considère la suite géométrique (u

) de raison q = 3 telle que u

= − 27. Exprimer u

en fonction de n et étudier le sens de variation de (u

).

2. On considère la suite géométrique (u

) telle que u

= 16 et u

= 1024. Quelles valeurs peut prendre la raison q de cette suite ? Calculer u

.

4. Somme de termes consécutifs

Soit (u

) une suite géométrique de raison q 6 = 1. Soit S une somme de termes consécutifs de la suite (u

).

On a :

S = premier terme de la somme × 1 − q

1 − q

Exemple 14 Calculer S = 1 + q + q

+ ... + q

pour q différent de 0 et de 1 et p entier naturel non nul.

III Raisonnement par récurrence

III.1 Théorème 1. Situation propice

On considère la suite (u

)

définie par : u

= 1 et u

= 0, 2u

+ 4.

On souhaite démontrer, par exemple, que pour tout n appartenant à N : u

6 5 .

On nomme P (n) cette propriété écrite au rang n ( P pour propriété et n pour insister sur le fait que la propriété dépend de cet entier)

Réflexe : On examine la propriété pour les premières valeurs prises par l’entier n.

∗ ∗

u

5 P(n) vraie ou fausse

n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4

On pourrait continuer ainsi l’examen de beaucoup d’entiers mais quel que soit le nombre de valeurs de n testées semblant valider la propriété, on ne peut pas considérer la propriété vraie pour tout entier naturel n de N . (Est-il nécessaire de vous rappeler que l’ensemble N est infini ? Il y a toujours un entier après celui que vous avez testé !)

2. Caractère héréditaire d’une propriété

Soit P (n) une propriété dépendant d’un entier n et n

∈ N . On dit que P est héréditaire à partir du rang n

si

pour un entier n > n

, P (n) vraie implique que P (n + 1) est vraie.

(il faut comprendre : supposer que P (n) est vraie pour un n implique qu’elle est vraie au rang suivant) Exemple 15 La propriété du 1. est-elle héréditaire à partir de 0 ?

Exemple 16 Soit a un réel positif. Soit P (n) la propriété : (1 + a)

> 1 + na. P est-elle héréditaire à partir de 0 ? 3. Principe du raisonnement par récurrence (admis)

Soit P (n) une propriété dépendant d’un entier n et n

∈ N . Si la propriété P (n

) est vraie (initialisation),

et si P est héréditaire à partir du rang n

,

alors pour tout entier n > n

, la propriété P (n) est vraie.

Exemple 17 Les propriétes des exemples 15 et 16 sont-elles vraies pour tout n entier naturel.

EXERCICE 1 Soit la suite (u

) définie par :







u

= 3 u

= 1

2 u

− 1 ∀ n ∈ N . Démontrer par récurrence que (u

)

est décroissante et minorée par − 2 c’est à dire la propriété P (n) : u

> u

> − 2

IV Comportement asymptotique d’une suite numérique

IV.1 Limite d’une suite

(u

)

est une suite de nombres réels.

IV.1.1 Limite finie

On dit que (u

)

tend vers L (lorsque n tend vers + ∞ ), quand tout intervalle ouvert contenant L contient tous les termes de (u

)

à partir d’un certain rang.

On dit alors que la suite (u

)

est convergente ou converge vers L.

Cela se note lim

n→+∞

u

= L

• Traduction rigoureuse (Utiliser dans le supérieur en mathématiques) :

« pour tout ǫ > 0, il existe un entier naturel n

(qui dépend de ǫ) tel que :

Pour tout n > n

, on a | u

− L | 6 ǫ ( ou encore u

∈ [L − ǫ; L + ǫ] ) »

Remarque 3 Lorsqu’une suite ne converge pas, on dit qu’elle diverge (C’est le cas des suites qui ont une limite infine ou de celles qui n’ont pas de limite). Par exemple la suite ( − 1)

diverge car ....

Si une suite (u

)

converge alors sa limite L est unique.

Exemple 18 Conjecturer si les suites suivantes, définies pour tout entier naturel n, ont une limite finie et donner celle-ci lorsqu’elle existe.

u

= − 3

1 + n

, u

= 0.5 et u

= − 1

2 u

+ 1, u

= 1 et u

= 1 2u

Exemple 19 (u

)

est la suite définie pour tout entier naturel n ≥ 1 par u

= 1/n Démontrer que la suite u converge vers 0

Exemple 20 Limites de suites de référence :

• 1

√ n

, 1

n

, 1

n

, 1

n

, . . . , 1

n

avec p ∈ N

tendent vers 0. Preuve pour la suite 1

√ n

: ....

• Les suites (q

) avec − 1 < q < 1 ont pour limite 0. (démonstration plus loin dans la leçon) IV.1.2 Limite infinie

On dit que (u

)

tend vers + ∞ (lorsque n tend vers + ∞ ), quand tout intervalle du type [A; + ∞ [, avec A ∈ R contient tous les termes de la suite (u

)

pour n assez grand.

Cela se note lim

n→+∞

u

= + ∞

• Ce qui se traduit concrètement et rigoureusement par :

« pour tout A ∈ R , il existe un entier naturel n

(qui dépend de A) tel que :

Pour tout n tel que n > n

, on a u

> A ( ou encore u

∈ [A; + ∞ [ ) »

• ou encore plus simplement mais avec moins de rigueur :

« Il existe un rang n, à partir duquel u

dépasse n’importe lequel des nombres que je choisis. »

∗ ∗

Exemple 21 Limites de suites de référence :

• ( √ n), (n), (n

), (n

), . . . , (n

) avec p ∈ N

tendent vers + ∞ . Preuve pour la suite (n

) : ....

• Les suites (q

) avec q > 1 ont pour limite + ∞ . EXERCICE 2 :

1. Donner la définition d’une suite (w

) qui tend vers −∞ . ....

2. Donner des suites qui tendent vers −∞ . ....

IV.2 Suites n’ayant pas de limite

Par exemple, la suite définie sur N par u

= ( − 1)

, celle définie par u

= cos(n), etc ... Il existe au moins un intervalle ne contenant pas tous les termes de la suites à partir de n’importe quel rang.

IV.3 Limites de suites et opérations IV.3.1 Addition et soustraction

Soient ℓ et ℓ

deux réels. Alors :

Si (u

) a pour limite ℓ ℓ ℓ + ∞ −∞ + ∞ Si (v

) a pour limite ℓ

+ ∞ −∞ + ∞ −∞ −∞

alors (u

+ v

) a pour limite . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exemple 22 Déterminer les limites des suites définies sur N par u

= 3n

+ 2n − 10 ; v

= n

− n + 1 puis w

= √ n + 1

n

. IV.3.2 Limite d’un produit

Soient ℓ et ℓ

deux réels. Alors :

Si (u

) a pour limite ℓ ℓ > 0 ℓ < 0 ℓ > 0 ℓ < 0 + ∞ −∞ + ∞ 0

Si (v

) a pour limite ℓ

+ ∞ + ∞ −∞ −∞ + ∞ −∞ −∞ ±∞

alors (u

× v

) a pour limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemple 23 Calculer lim

n→+∞

1

√ n + 1

(n

+ 3)

IV.3.3 Limite d’un quotient Soient ℓ et ℓ

deux réels. Alors :

Si (u

) a pour limite ℓ ℓ ℓ + ∞ 0 ±∞ 0 ±∞

Si (v

) a pour limite ℓ

±∞ 0 ℓ

±∞ 0 0 ±∞

alors u

v

a pour limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemple 24 Calculer lim

n→+∞

2 1 − n

.

Étudier la limite de la suite (w

)

définie sur N par w

= 2 + n

3 + n

IV.4 Rappels des formes indéterminées

Il existe 4 formes indéterminées qui nécessitent l’utilisation d’une technique ou d’une propriété pour lever l’indétermination.

« ∞ − ∞ » « 0 × ∞ » « ∞

∞ » « 0 0 » EXERCICE 3 :

1. Calculer lim

n→+∞

√ n − n

puis lim

n→+∞

5 + 2n

− 7n

. 2. lim

n→+∞

√ n + 1 − √ n puis lim

n→+∞

6

− 3

. IV.5 Limites et inégalités

Soit (u

)

et (v

)

deux suites de nombres réels convergentes.

S’il existe p ∈ N tel que pour n > p, u

6 v

alors lim

n→+∞

u

6 lim

n→+∞

v

IV.6 Théorèmes d’existence de limites

IV.6.1 Théorème d’encadrement ou « des gendarmes »

Si (u

)

et (w

)

convergent vers ℓ

∃ p ∈ N , ∀ n ∈ N , n > N = ⇒ u

6 v

6 w

)

⇔ alors (v

)

est convergente et lim

n→+∞

v

= ℓ Exemple 25 Calculer lim

n→+∞

( − 1)

+ 3n

n

IV.6.2 Existence de limite par comparaison

• ∃ p ∈ N , ∀ n ∈ N , n > N = ⇒ u

6 v

et lim

n→+∞

u

= + ∞ = ⇒ lim

n→+∞

v

= + ∞ ;

• ∃ p ∈ N , ∀ n ∈ N , n > N = ⇒ u

6 v

et lim

n→+∞

v

= −∞ = ⇒ lim

n→+∞

u

= −∞ . Ces théorèmes sont communément appelés « théorèmes de comparaison » . Exemple 26 Calculer lim

n→+∞

n + sin(n)

IV.6.3 Théorème de la limite monotone

Soit (u

)

une suite monotone.

• Soit (u

)

une suite croissante de nombre réels



 

 

Si (u

)

est majorée, alors elle est convergente Si (u

)

n

est pas majorée, alors elle est divergente

et lim

n→+∞

u

= + ∞

• Soit (u

)

une suite décroissante de nombre réels



 

 

Si (u

)

est minorée, alors elle est convergente Si (u

)

n

est pas minorée, alors elle est divergente

et lim

n→+∞

u

= −∞

Remarque 4 Ce théorème établit l’existence de la limite d’une suite mais ne permet d’en donner la valeur.

Exemple 27 :

1. u

= 0.2424...24 (n séquences 24)

∗ ∗

EXERCICE 4 Soit (u

) une suite décroissante et strictement positive. Montrer que la suite (w

) définie par w

= 1

1 + u

est convergente.

EXERCICE 5 Dans chaque cas, comparer la suite (u

) à la suite (v

) afin de déterminer la limite de la suite (u

)

1. pour tout entier n ≥ 3, u

= n

+

r n + 1

n − 2 et v

= n

. 2. pour tout entier naturel n, u

= − n − n

+ 1

n

+ 2 et v

= − n.

3. pour tout entier naturel n, u

= n

+ ( − 1)

et v

= n

. IV.7 Application : limite d’une suite géométrique IV.7.1 Une Inégalité

On rappelle l’inégalité de Bernoulli,

Pour tout n ∈ N et tout a réel strictement positif,

(1 + a)

> 1 + na

Démontrer plus tôt dans la leçon !

IV.7.2 Limite d’une suite géométrique

(u

) est une suite géométrique de raison q non nulle. On sait que, pour tout n ∈ N , u

= u

q

.

En utilisant les opérations sur les limites, pour connaître le comportement de (u

), il suffit de connaître celui de la suite (q

) et le signe de u

.

Soit q un nombre réel, on a :

• Si q > 1, ...

• Si − 1 < q < 1, ...

• Si q 6 − 1, ...

• Si q = 1, ...

Démonstration (ROC) du premier point : (utiliser l’inégalité de Bernoulli et un théorème de comparaison) ....

Exemple 28 Calculer les limites suivantes :

• lim

n→+∞

− 3 × 2

.

• lim

n→+∞

2 5

.

• lim

n→+∞

5( − 1 4 )

.

• lim

n→+∞

2

+ 3

3

• lim

→+∞

1 + 1 2 +

1 2

+ . . . + 1

2