I.2Exercices IFonctions I.1Domainededéfinition

I Fonctions

I.1 Domaine de définition

On appelle fonction de R dans R la donnée :

• d’une partie A ⊂ R ;

• d’une partie B ⊂ R ;

• d’un mécanisme qui associe à chaque réel x ∈ A un et un seul réel de B.

Si on note f cette fonction, on écrit

f : A −→ B x 7−→ f (x)

A s’appelle le domaine de définition de f (ou ensemble de départ de f , A est noté également D

) et B s’appelle l’ensemble d’arrivée. Souvent R est mis en lieu et place de B.

I.2 Exercices

EXERCICE 1 :

f : A −→ R x 7−→ p

−3x

+ x + 1 Quel est le domaine de définition de f ?

EXERCICE 2 :

g : D

−→ R x 7−→ x

sin(x) 1. Domaine de définition de g ?

2. La fonction

]0; π/2] −→ R x 7−→ x

sin(x) est-elle la fonction g ?

EXERCICE 3 :

Déterminer les domaines de définition des fonctions k et m k : D

−→ R

x 7−→ x x

+ 1

m : D

−→ R x 7−→ cos(2x)

x

− 2 EXERCICE 4 :

Soit la fonction

f : D

−→ R x 7−→ x

x

+ x + 1 1. Justifier que D

= R ;

2. Montrer que ∀x ∈ R , f (x) − 3 = −3x

− 2x − 3

x

+ x + 1 ;

(a) Montrer que ∀x ∈ R , g

(x) = Q

(x)

x

+ x + 1 . Que peut-on dire entre le signe de g

(x) et le signe de Q

(x) ? (b) Calculer le discriminant ∆

de Q

; en déduire les valeurs de m pour lesquelles Q

> 0, Q

6 0, Q

> 0

et Q

< 0

(c) Déterminer les valeurs de m pour lesquelles f est majorée par m, pour lesquelles m est le maximum de f sur R .

EXERCICE 5 :

r : [−2; 1/3] −→ R x 7−→ p

−3x

− 5x + 2 Quelle est l’image de l’intervalle [−2; 1

3 ] par r ? EXERCICE 6 :

s : [0; 1] −→ R x 7−→ cos(x) Quelle est l’image de l’intervalle [0; 1] par s ?

II Quelques précisions sur la partie B

On appelle fonction de R dans R la donnée :

• d’une partie A ⊂ R ;

• d’une partie B ⊂ R ;

• d’un mécanisme qui associe à chaque réel x ∈ A un et un seul réel de B.

II.1 Situations

Voici quatre fonctions différentes : (les parties A et B de R différent) f

: R −→ R

x 7−→ x

f

: R −→ [0; +∞[

x 7−→ x

f

: [0; +∞[−→ [0; +∞[

x 7−→ x

f

: ] − ∞; 0] −→ [0; +∞[

x 7−→ x

Dans tous les cas, un réel de A admet une seule image contenue dans B, mais

Ici les nombres négatifs contenus dans B = R ne peuvent pas être « atteints » comme image d’un x de R par f

, donc f

( R ) 6= R . B n’est donc pas l’image de A par f

.

On dit que f

n’est pas sur- jective.

Ici, tous les nombres de B = [0; +∞[ sont obtenus comme image d’un réel x de R par f

, donc f

( R ) = B. f

est surjective. En revanche, deux réels différents de A = R peuvent donner le même nombre de B, on dit que f

n’est pas injective.

Ici, tout réel de B = [0; +∞[ n’admet qu’un seul et unique antécédent dans A = [0; +∞[. f

est à la fois surjective et injective, on dit qu’elle est bijective.

Qu’en est-il pour f

?

Définition :

• f est injective si tout réel de B admet au plus un antécédent (0 ou 1) ;

• f est surjective si tout réel de B admet au moins un antécédent (1 ou plus) ;

• f est bijective si elle est à la fois injective et surjecive.

II.2 Je me teste

Choisir parmi les réponses suivantes : bijective, ni surjective ni injective, injective mais pas surjective, surjective mais pas injective, pour les applications proposées ci-dessous :

1. f : R −→ R , telle que f (x) = x

. 2. f : R −→ R

, telle que f (x) = x

. 3. f : N −→ N , telle que f (x) = x.

4. f : R −→ R , telle que f (x) = 8x + 50.

5. f : R

−→ R , telle que f (x) = 2x.

6. f : R −→ {14} , telle que f (x) = 14.

7. f : {17} −→ {12; 17} , telle que f (x) = 17.

8. f : R

−→ R

, telle que f (x) = 1 x . 9. f : {1} −→ {0, 5} , telle que f (x) = 1

x + 1 .

III Suites

III.1 Définition

L’application

u : N −→ R

n 7−→ u(n) = u

s’appelle une suite de R .

III.2 Modes de génération d’une suite

• A partir d’une expression explicite

On peut alors calculer directement u

à partir de n. On a plus précisément u

= f (n) où f est une fonction définie sur [0; +∞[.

Exemple 1 u

= n

n + 2 . Calculer u

et u

.

Exemple 2 v

= p

2 n + ( − 1)

. Calculer v

et le cinquième terme de la suite.

• Avec une relation de récurrence

Ces suites sont définies par le(s) premier(s) terme(s) et par une relation dite de récurrence qui donne le procédé pour calculer un terme à partir du (ou des) précédent(s). Souvent, on associe une fonction f et la relation de récurrence est de la forme u

= f (u

).

Exemple 3

u

= − 1

u

= 2 u

+ 3 ∀n ∈ N . Calculer u

.

III.3 Suites arithmétiques et géométriques vues en 1

S

III.3.1 Suite arithmétique

On dit qu’une suite est une suite arithmétique si on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre a. Le nombre a est appelé la raison de la suite.

→ Relation de récurrence : u

= u

+ a

→ Terme général :

→ Relation entre termes quelconques : u

= u

+ (n − r)a

→ Sens de variation : Une suite arithmétique est croissante si sa raison est positive, et décroissante si sa raison est négative.

→ Somme de termes consécutifs : La somme S des termes consécutifs d’une suite arithmétique est donnée par la formule générale : S = nombre de termes × premier terme + dernier terme

2

III.3.2 Suite géométrique

On dit qu’une suite est une suite géométique si on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre b. Le nombre b est appelé la raison de la suite.

→ Relation de récurrence : u

= u

× b .

→ Terme général : u

−→

×b

u

−→

×b

u

... −→

×b

u

u

−→

×b

u

−→

×b

u

... −→

×b

u

u

= u

× b

si le 1

terme est u

u

= u

× b

si le 1

terme est u

→ Relation entre termes quelconques : u

= u

× b

→ Sens de variation : Une suite géométrique dont le premier terme est strictement positif, est croissante si b > 1,

constante si b = 1, décroissante si 0 < b < 1.

→ Somme de termes consécutifs : La somme S des termes consécutifs d’une suite géométrique est donnée par la formule générale :

S = premier terme × b

− 1 b − 1 2 cas particuliers :

• Si la somme va de u

à u

, le nombre de termes est n.

• Si la somme va de u

à u

, le nombre de termes est n + 1.

III.4 Exercices

EXERCICE 7 :

Soit (u

) et (v

) deux suites arithmétiques.

1. On suppose que u

= 2

3 et u

= 0. Exprimez u

en fonction de n.

2. On suppose que v

= 2 et

98

X

k=2

v

= 14. Exprimer v

en fonction de n.

EXERCICE 8 :

Se rendre ici −→ http://www.mimaths.net/IMG/pdf/td1_suites_1314.pdf

IMPORTANT : Il existe des suites qui ne sont ni arithmétique, ni géométrique.

Ce sont celles qui jalonneront les études que vous suivrez.

EXERCICE 9 :

Soient a et b deux réels, (u

)

une suite telle que :

∀n ∈ N , u

= au

+ b.

On se propose de calculer u

en fonction de n et de u

. 1. Traiter le cas a = 1.

2. On suppose désormais que a 6= 1. Résoudre l’équation x = ax+b. On note l la solution. Dans la question suivante, il est inutile (voire toxique) de remplacer l par la valeur que vous avez trouvée ; seule est utile la relation

l = la + b

3. On pose, pour tout n ∈ N : v

= u

− l. Montrer que (v

)

est une suite géométrique. Conclure.

4. La suite (u

)

est-elle convergente ?

Les suites étudiées dans cet exercice sont dites « arithmético-géométriques ». Les suites arithmétiques (resp.

géométriques) correspondent au cas particulier a = 1 (resp. b = 0).

EXERCICE 10 : Raisonnement par récurrence forte Soit (u

)

la suite définie par :

u

= 2, u

= 5, ∀n ∈ N , u

= 5u

− 6u

. Montrer que

∀n ∈ N , u

= 2

+ 3

EXERCICE 11 : Raisonnement par récurrence forte La suite (u

)

est défnie par :

u

= 1, u

= 2, ∀n ∈ N

, u

= u

u

.

Calculer u

, u

et u

. Deviner ensuite une formule pour u

. Démontrer finalement la formule devinée par récurrence.