Remarque 1 Ce document n’est pas un cours sur les fonctions, il apporte des compléments sur le pro- gramme obligatoire en TS.
F onctions
1. Déf inition et ensemble de déf inition 2. Composition
3. Limites
4. Continuité et dérivabilité 5. Branches inf inies
5. P arité et périodicité(traitéeponctuellement) 6. F onction réciproque(nontraitée)
I Fonctions
I.1 Ensemble de définition I.1.1 Définitions
On appelle fonction de R dans R la donnée :
• d’une partie A ⊂ R ;
• d’une partie B ⊂ R ;
• d’un mécanisme qui associe à chaque réel x ∈ A un et un seul réel de B.
Si on note f cette fonction, on écrit
f : A −→ B x 7−→ f (x)
A s’appelle le domaine de définition de f (ou ensemble de départ de f , A est noté également D f ) et B s’appelle l’ensemble d’arrivée. Souvent R est mis en lieu et place de B.
Exemple 1 f : A −→ R x 7−→ p
− 3x 2 + x + 1 Quel est le domaine de définition de f ?
Exemple 2
g : D g −→ R x 7−→ x
sin(x)
Domaine de définition de g ? La fonction
d : ]0; π/2] −→ R x 7−→ x
sin(x)
est-elle la fonction g ?
I.1.2 Exercices
1. Déterminer les domaines de définition des fonctions k et m k : D k −→ R
x 7−→ x x 2 + 1
m : D m −→ R x 7−→ cos(2x)
x 2 − 2
2. r : [ − 2; 1/3] −→ R
x 7−→ p − 3x 2 − 5x + 2 Quelle est l’image de l’intervalle
− 2; 1 3
par r ?
3. s : [0; 1] −→ R
x 7−→ cos(x) Quelle est l’image de l’intervalle [0; 1] par s ? I.2 Composition
I.2.1 Définition
Soit f : A → B et g : C → D deux fonctions de R dans R telle que B ⊂ C.
Alors pour tout x de A, on peut calculer g(f (x)) que l’on note g o f(x).
L’application g o f : A −→ D
x 7−→ (g o f )(x) = g(f (x)) est appelée la composée de f par g.
Shéma général de om position
x f
g X f (x)
g(X) = g(f (x))
ContraiÆntes
Les deux fonctions ont des ensembles de définition, donc le schéma « fonctionne » si :
Exemple 3 On considère f : x 7−→ − x 2 + 4x − 3 et g : x 7−→ √ x.
Dessiner le schéma de composition « f suivie de g » et le tester avec les nombres 2, 4 et − 1. En tenant compte des contraintes vues dans le schéma général, déterminer l’ensemble de définition de la fonction g o f (composée de f par g) et déterminer l’expression de g o f (x).
I.2.2 Exercices 1. h : [0; + ∞ [ −→ R
x 7−→ √ x
c : R −→ R x 7−→ cos(x) Peut-on définir h o c et c o h ?
I.3 Limites
• On suppose connu les définitions des limites en l’infini et en a ;
• On suppose connues les limites des fonctions usuelles ;
• Les règles opératoires sur les limites ;
• On suppose connues les formes indéterminées.
EXERCICE 1 Calculer les limites suivantes : a) lim
x → + ∞
√ x 2 + 1 − x b) lim
x → 1
1
x − 1 − 2 x 2 − 1 c) lim
x → + ∞
√ x 2 + 1 − √
x 2 − 1 d) lim
x → 0 x>0
√ x sin 1
√ x
e) lim
x → 0
sin(2x)
sin(3x) f ) lim
x → 0
x sin(x)
1 − cos(x)
I.4 Continuité I.4.1 Définition
Soit a un réel et f une fonction définie sur un intervalle I contenant a.
La fonction f est continue en a si
x→a lim f(x) = f (a)
La fonction f est continue sur l’intervalle I si f est continue en tout réel a de I . I.4.2 Exemples et exercices
1. exemples
O ~i
~j
←− Exemple de fonction non continue en 1 :
(discontinuité en 1) f(x) =
( x 2 pour x < 1
− x 2 + 3 pour x > 1
La fonction inverse est continue sur ] − ∞ ; 0[ ∪ ]0; + ∞ [.
−→
O ~i
~j
Important : Les fonctions polynômes, les fonctions rationnelles, les fonctions trigonométriques, les fonctions usuelles vues en seconde et en première, les composées de ces fonctions sont continues sur leur ensemble de définition.
2. On considère la fonction f : R − { 2 } −→ R
x 7−→ f (x) = x 2 − 3x + 2 x − 2
f est-elle continue en 2 ?
3. On définit la fonction f : R −→ R
x 7−→ f (x) =
2x + 3 pour x < 1 6 si x = 1
− 0.5x + 5.5 pour x > 1
f est-elle continue en 1 ?
4. On considère la fonction h : R −→ R
x 7−→ h(x) =
( x 2 − 3x + 5 pour x < 0 k pour x > 0
Pour quelle valeur de k, la fonction f est-elle continue sur R ? I.4.3 Théorème de la bijection
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I et a et b deux réels de
I . Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b) , il existe un unique réel c compris entre a et b tel que :
f (c) = k.
Remarque 2 : Dans un tableau de variation, la flêche indique la continuité et la stricte monotonie. Ainsi le théorème de la bijection s’applique dans l’une des deux situations suivantes :
x Variations
de f
a b
f(a) f(a)
f (b) f (b) c
k
x Variations
de f
a b
f (a) f (a)
f (b) f (b) c
k
Exemple 4 Résoudre dans R l’équation √ x + √
3x = 2
I.5 Dérivabilité I.5.1 Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et a un réel de I.
On dit que f est dérivable en a lorsque le taux d’accroissement de f en a admet une limite L en a, c’est à dire lorsque :
x lim → a
f (x) − f (a)
x − a = L ou écrit autrement, lim
h → 0
f (a + h) − f (a)
h = L
Dans ce cas, L est appelé le nombre dérivé de f en a, et on note f ′ (a).
I.5.2 Fonction non dérivable en un réel a
Il ne s’agit pas de tenir un discours trop théorique sur la dérivabilité. A partir de deux exemples com- prendre ce qu’est une fonction non dérivable en un réel a.
• On définit la fonction f sur ]0; + ∞ [ de la façon suivante : f (x) =
1
x pour 0 < x < 1
− x 2 + 2x pour x > 1
O ~i
~j
La fonction f est-elle dérivable en 1 ? Est-elle dérivable sur ]0; + ∞ [ ?
• Prouver que la fonction x 7−→ √
x n’est pas dérivable en 0 (Elle est donc continue sur [0; + ∞ [ et dérivable sur ]0; + ∞ [)
I.5.3 Fonction dérivable en a
• Prouver que w : [0; + ∞ [ −→ R x 7−→ w(x) = x √
x est dérivable en 0.
Une fonction numérique dérivable en a est continue en a.
La réciproque de cette proposition est fausse.
Exemple 5 •
v : R −→ R
x 7−→ v(x) = | x | est continue en 0 mais n’est pas dérivable en 0.
•
t : R −→ R x 7−→ t(x) =
0 pour x = 0 x cos
1 x
sinon
est continue en 0 mais n’est pas dérivable en 0.
• On suppose connu la fonction dérivée et les opérations sur les fonctions dérivées ;
• On suppose connu la dérivabilité des fonctions usuelles ;
• On suppose connu l’équation de la tangente à C f si f est dérivable en a ; I.5.4 Dérivée d’une fonction composée
Si f est dérivable en a (resp. sur I ) et g est dérivable en b = f (a) (resp. sur l’image de I par f ) alors g o f est dérivable en a et
(g o f ) ′ (a) = g ′ (f (a)) × f ′ (a) (resp. (g o f ) ′ = (g ′ o f ) × f ′ )
Exemple 6 On retrouve grâce à la seule formule précédente, toutes les formules vues dans le cours d’obligatoire
• Si u est une fonction dérivable sur I et n ∈ N ∗ : (u n ) ′ = nu ′ u n −1
• Si u est une fonction dérivable sur I qui ne s’annule pas sur I et n ∈ Z : (u n ) ′ = nu ′ u n −1
• Si u est une fonction dérivable strictement positive sur I : ( √
u) ′ = u ′ 2 √ u
• Si u est une fonction dérivable sur I : (e u ) ′ = u ′ e u
• Si u est une fonction dérivable strictement positive sur I : (ln u) ′ = u ′ u
I.6 Branches infinies
Il est possible de préciser la courbe représentative d’une fonction qui admet une limite infini en l’infini.
I.6.1 Asymptote Oblique
On dit que la droite d’équation y = ax + b (a ∈ R ∗ , b ∈ R ) est asymptote oblique en + ∞ (resp. en −∞ ) à C f si
x → lim + ∞ [f(x) − (ax + b)] = 0 (resp.
x →−∞ lim [f (x) − (ax + b)] = 0)
O ~i
~j
y = ax + b
Exemple 7 :
f : R ∗ −→ R
x 7−→ 2x + 1 + 1 x
• C f admet-elle une droite comme asymptote en + ∞ ?
• Justifier.
Exemple 8 : f : D f −→ R x 7−→ p
x 2 − 1 + 2x
• Déterminer D f ;
• Prouver que la droite d : y = 3x est asymptote à C f en + ∞ ;
• C f admet-elle une asymptote oblique en −∞ ? (attendre ce qui suit pour répondre à cette question) I.6.2 Branche parabolique de direction (Ox)
On dit que C f présente une branche parabolique de direction asymptotique (Ox) en + ∞ si :
• lim
x → + ∞ f (x) = ±∞ ;
• lim
x → + ∞
f (x) x = 0 ;
O ~i
~j
I.6.3 Branche parabolique de direction (Oy)
On dit que C f présente une branche parabolique de direction asymptotique (Oy) en + ∞ si :
• lim
x → + ∞ f (x) = ±∞ ;
• lim
x → + ∞
f (x)
x = ±∞ ;
O
~j
I.6.4 Branche parabolique de direction la droite d’équation y = ax On dit que C f présente une branche parabolique de direction
asymptotique la droite d’équation y = ax en + ∞ si :
• lim
x → + ∞ f (x) = ±∞ ;
• lim
x → + ∞
f (x) x = a ;
• lim
x → + ∞ f (x) − ax = ±∞ ;
O
~j
y = ax
I.6.5 Synthèse sur les branches infinies
• Résumé :
f est définie sur un intervalle ouvert ou une réunion d’intervalles ouverts
Au voisinage d’un point c, borne réelle de l’intervalle I.
Si lim
x→c
f (x) = ±∞
La droite d’équation x = c est asymptote verticale à C
f.
Au voisinage d’une borne infinie de l’intervalle I, par exemple + ∞ .
Si lim
x→+∞
f (x) = l ∈ R
La droite d’équation y = l est asymptote horizontale à C
f.
Si lim
x→+∞
f (x) = ±∞
On poursuit les investigations . . . en étudiant lim
x→+∞
f(x) x
−→ Si lim
x→+∞
f (x)
x = 0 , branche parabolique de direction asymptotique (Ox) ;
−→ Si lim
x→+∞
f(x)
x = ±∞ , branche parabolique de direction asympto- tique (Oy) ;
−→ Si lim
x→+∞
f(x)
x = a , on poursuit notre recherche . . .
• Si lim
x→+∞
f(x) − ax = ±∞ , branche parabolique de direction asymp- totique la droite d’équation y = ax ;
• Si lim
x→+∞
