Compléments sur les fonctions

KAMBOU DOPMO KLES BARNEY Matricule: 05A1213

dirigé par

Dr FOTSO SIMEON

Mr. MOUNCHINGAM ABDOU SALAM Mr. STOULEU PASCAL

Yaoundé, le 19 août 2013

1 RESSOURCE 06 : COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONS 2

1.1 Introduction . . . . 4

1.2 Parité-Périodicité et Éléments de symétrie . . . . 5

1.2.1 Parité . . . . 5

1.2.2 Périodicité . . . . 7

1.2.3 Axe de symétrie . . . . 9

1.2.4 Centre de symétrie . . . . 11

1.3 Étude des branches infinies . . . . 13

1.3.1 Asymptotes . . . . 14

1.3.2 Direction asymptotique . . . . 16

1.4 Exercices d’entraînement : . . . . 18

Bibliographie 26

RESSOURCE 06 : COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONS

Projet PRENUM-AC, ENS Yaoundé

Dénomination de la ressource et des contributeurs

Titre de la ressource : COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONS Nom de l’étudiant : M. KAMBOU DOPMO KLES BARNEY Nom de l’encadreur de l’ENS : Dr. SIMEON FOTSO

Nom de l’inspecteur : M. MOUNCHINGAM ABDOU SALAM

Nom de l’encadreur du Lycée : M. Pascal Peguy TSOULEU

Objectifs pédagogiques spécifiques

1.) Rappel sur la notion de limite d’une fonction.

2.) Déterminer la parité et la périodicité d’une fonction(si elle existe).

3.) Déterminer les éléments de symétrie(s’ils existent).

4.) Construire la courbe représentative d’une fonction déduite d’une de ses parties à l’aide des éléments de symétrie.

5.) Étudier les branches infinies d’une fonction.

6.) Construire la courbe représentative d’une fonction à l’aide de l’étude des branches infinies.

Liens avec les autres parties du programme

Les compléments sur les fonctions comme cela se lit, apportent des compléments à l’étude d’une fonction et la représentation graphique de la dite fonction. Donc, elle aura besoin de certaines notions pour faciliter sa compréhension. Ainsi, les autres parties du programme en relation avec Les compléments sur les fonctions sont :

- Étude d’une fonction réelle.

- Les fonctions logarithmes népériennes et exponentielles.

- Les fonctions trigonométriques etc...

Il faut aussi noter que la leçon " les compléments sur les fonctions " sera très importante

pour le futur étudiant et ceci dès ses premiers cours de mathématiques à l’université dans

la construction et l’interprétation des courbes planes vues dans les filières scientifiques.

Plan de la ressource

1.1 Introduction

Les mathématiciens Euler et Cauchy, aux XV II

et XIX

siècles, vont structurer des calculs mathématiques pour étudier les fonctions. Lors de l’étude d’une fonction faite en classe de première, nous nous souvenons que la représentation graphique d’une fonction est l’aboutissement de l’étude. Donc, afin de rendre plus simple cette partie étude, il est plus judicieux de connaitre " les compléments sur les fonctions ". C’est pourquoi nous devrons être capable de maitriser les notions suivantes :

- Les éléments de symétrie " axe de symétrie & centre de symétrie " et les propriétés associées, qui permettent de simplifier le travail à faire ;

- Les branches infinies et les courbes déduites, qui permettent une représentation graphique fidèle de la fonction qui lui est associée.

Dans cette ressource, nous nous proposons de donner quelques techniques de détermi- nation des éléments de symétrie en nous basant sur les définitions et l’étude explicites des branches infinies d’une fonction.

Pré-requis nécessaires

Pour aborder cette ressource, les pré-requis nécessaires sont : - La notion de limites et dérivées ;

- La notion de symétrie ;

- La notion de translation ;

1.2 Parité-Périodicité et Éléments de symétrie

Dans ce paragraphe, nous utiliserons les connaissances géométriques sur les symétries afin d’atteindre de notre objectif.

1.2.1 Parité

Activité 1

Soient f , g et h trois fonctions définies respectivement sur [−5; 5], ] − 3; 3[ et R par : f (x) = 2x

+ 3x

, g(x) = x

− 5x et h(x) = 3x

+ 5x − 1.

• Pour tout x ∈ D

; x ∈ D

et x ∈ D

vérifier que −x ∈ D

; −x ∈ D

et −x ∈ D

.

• Calculer f (−x) et Comparer f(−x) et f (x).

• Calculer g(−x) et Comparer g(−x) et g(x).

• Calculer h(−x) et Comparer h(−x) et h(x).

Solution 1

• D

= [−5; 5] et D

=] − 3; 3[ sont des intervalles symétriques par rapport 0. On a :

• Pour tout x ∈ D

, −x ∈ D

et f (−x) = f (x) ; car

f (−x) = 2(−x)

+ 3(−x)

= 2x

+ 3x

= f (x).

• Pour tout x ∈ D

, −x ∈ D

et g(−x) = −g (x) ; car

g(−x) = (−x)

− 5(−x)

= −x

+ 5x

= −g(x).

• Pour tout x ∈ D

, −x ∈ D

h(−x) = 3(−x)

+ 5(−x) − 1

= 3x

− 5x − 1.

• On remarque que : f(−x) = f(x) ∀x ∈ D

; g(−x) = −g(x) ∀x ∈ D

; h(−x) 6= h(x)

et h(−x) 6= −h(x) ∀x ∈ D

Définition 1

• Une fonction est dite paire, si son ensemble de définition est symétrique et l’image de l’opposé d’un nombre par cette fonction est égale à l’image de ce nombre par la même fonction c’est-à -dire :

f est paire ⇔ ∀x ∈ D

, −x ∈ D

et f (−x) = f (x).

• Une fonction est dite impaire, si son ensemble de définition est symétrique et l’image de l’opposé d’un nombre par cette fonction est égale à l’opposé de l’image de ce nombre par la même fonction c’est-à-dire :

f est impaire ⇔ ∀x ∈ D

, −x ∈ D

et f (−x) = −f(x).

Proposition 1

L’étude de la parité d’une fonction permet de simplifier l’étude des variations et la construction de la courbe représentative de celle-ci au complet. C’est ainsi que l’on a :

* Lorsqu’ une fonction est paire, alors son ensemble de définition est symé- trique par rapport à 0. Donc on étudie ses variations et on construit sa courbe représentative sur R

et on en déduit sa courbe représentative sur R

par la symétrie d’axe x = 0.

* Lorsqu’ une fonction est impaire, alors son ensemble de définition est symétrique par rapport à 0. Donc on étudie ses variations et on construit sa courbe représentative sur R

et on en déduit sa courbe représentative sur R

par la symétrie de centre le point O de coordonnées (0, 0).

Exemple

Étudier la parité des fonctions sur I ⊂ R

• g(x) =

; I = R − {−2; 2} puis sur I =] − ∞; −2[∪] − 2; 2[.

• f (x) = x

+ sin x ; I = D

Solution

• Pour la fonction g définie sur I = R − {−2; 2} par g(x) =

, on a : ∀x ∈ R − {−2; 2} ; −x ∈ R − {−2; 2} et

g(−x) = 3(−x)

+ 1 (−x)

− 4 .

= 3x

+ 1 x

− 4

= g(x)

Donc la fonction g est une fonction paire sur I = R − {−2; 2}. D’où on peut res- treindre son étude à l’intervalle sur [0; 2[∪]2; +∞[. On trace la courbe représentative sur cet ensemble et on complète par la symétrie d’axe x = 0.

Par contre, la fonction g définie sur I =] − ∞; −2[∪] − 2; 2[ par g(x) =

est ni paire, ni impaire ; car ∀x ∈] − ∞; −2[∪] − 2; 2[ ; −x / ∈] − ∞; −2[∪] − 2; 2[.

• Pour la fonction f définie sur I = R par f(x) = x

+ sin x, on a : ∀x ∈ R ; −x ∈ R et

f(−x) = (−x)

+ sin(−x)

= −x

− sin x

= −f (x)

Donc la fonction f est une fonction impaire sur I = R .

D’où on peut restreindre son étude à l’intervalle [0; +∞[, on trace la courbe repré- sentative sur cet ensemble et on complète par la symétrie de centre O.

1.2.2 Périodicité

Activité 2

Soit la fonction h définie sur R par : h(x) = tan(x)

• Calculer h(x + π) ; h(x + 2π) ; puis comparer avec h(x).

• Donner la période T " l’amplitude de l’intervalle où une portion de la courbe d’une fonction est représentée avant qu’elle ne se répète " ; puis en déduire le domaine d’étude de h.

Solution 2

• h(x + π) = tan(x + π) = tan x. Donc h(x + π) = h(x).

h(x + 2π) = tan(x + 2π) = tan x. Donc h(x + 2π) = h(x).

• D’après ce qui précède et comme π < 2π ; alors h admet pour période T = π et l’ensemble d’étude de h est ]

;

[.

Définition 2

Une fonction est périodique de période T , si l’image de la somme d’un nombre et de la période T est égale à l’image de ce nombre par la même fonction c’est-à-dire :

∀x ∈ D

, x + T ∈ D

et f(x + T ) = f(x).

Proposition 2

Soit f une fonction périodique de période T .

Alors on peut limiter tout d’abord l’étude à l’intervalle I ⊂ Df d’amplitude T et on déduit le graphe complet par les translations de vecteurs kT − →

i où k ∈ Z

Exemple

1- Soit f la fonction définie par f(x) =

et C

sa courbe représentative.

Déterminer D

; justifier que l’ensemble d’étude de f peut être réduit à l’intervalle [−π; π].

Solution :

-Ensemble de définition

f(x) existe si et seulement si 1 − cos x 6= 0 ⇔ x 6= 2kπ, donc D

= R − {2kπ}, k ∈ Z -Justification En effet, pour tout x ∈ D

, x + 2π ∈ D

et on a :

f(x + 2π) = 1 + sin(x + 2π) 1 − cos(x + 2π)

= 1 + sin x 1 − cos x

= f(x)

Donc f est une fonction périodique de période 2π ; d’où on peut restreindre son étude à l’intervalle [−π; π].

2- Soit g la fonction définie sur R par g(x) = sin x −

sin 2x et ( C

) sa courbe représentative.

Justifier que l’ensemble d’étude de g peut être réduit à l’intervalle [0; π] et dire com- ment on peut tracer (C

).

Solution :

-Justification En effet, ∀x ∈ R , x + 2π ∈ R et

g(x + 2π) = sin(x + 2π) − 1

3 sin(x + 2π)

= sin x − 1 3 sin 2x

= g(x)

Donc g est une fonction périodique de période 2π ; d’où on restreint son étude à l’intervalle [−π; π]. De plus, on a :

∀x ∈ [−π; π] ; −x ∈ [−π; π] et on a :

g(−x) = sin(−x) − 1

3 sin(2(−x))

= − sin x + 1 3 sin 2x

= −g (x)

Donc g est une fonction impaire ; d’où on restreint son étude à l’intervalle [0; π].

-Tracé de la courbe

La fonction g étant impaire et périodique de période 2π ; on trace la courbe corres- pondant à l’intervalle [0; π] et on complète par la symétrie de centre O sur [−π; π] ; puis par la translation de vecteur 2π − →

OI sur R.

1.2.3 Axe de symétrie

Soient f une fonction réelle ; C

sa courbe représentative et soit a, b ∈ R .

Activité 3

Soit f la fonction définie par : f (x) = 3x

+ 4x +

.

* Calculer f(

− x) et comparer avec f (x).

* Construire la courbe C

et l’axe (4) d’équation : x = −

.

* Soit f

la restriction de f sur [−

; +∞[

Tracer le symétrique de C

par rapport à (4) ; que constatez-vous ? Solution 3

f ( −4

3 − x) = 3( −4

3 − x)

+ 4( −4

3 − x) + 4 3

= 3x

+ 4x + 4 3

= f (x)

On remarque que les points A 0, 55

4, 44

,B 0, 3

2, 83

,C

−0, 08 1, 02

de C

admettent pour sy- métrique par rapport à l’axe (4) les points notés A

−1, 88 4, 44

,B

−1, 63 2, 83

, C

−1, 25) 1, 02

et situés sur C

. Donc la courbe C

admet l’axe (4) comme axe de symétrie.

Définition et Proposition

On dit que la courbe représentative de f notée C

admet la droite d’équation x = a comme axe de symétrie, si pour tout x ∈ D

, 2a − x ∈ D

et f (2a − x) = f (x).

Proposition 3

Soit une fonction f et C

sa courbe représentative. Les propositions suivantes sont équivalentes.

.) La courbe C

admet pour axe de symétrie la droite d’équation x = a.

.) Pour tout x ∈ D

, a + x ∈ D

, a − x ∈ D

et f (a + x) = f(a − x).

.) Pour tout x ∈ D

, pour a − x ∈ D

la fonction g : x 7−→ f (a − x) est paire.

Preuve : Exercice dirigé

1⇒2) Supposer que la droite x = a est axe de symétrie à la courbe C

; poser X = a−x.

Calculer f(2a − X) et utiliser l’hypothèse récurrence pour avoir le résultat.

2⇒3) Supposer que ∀x ∈ D

; a + x ∈ D

, a − x ∈ D

et f(a + x) = f(a − x). Pour montrer que la fonction g : x 7→ f(a − x), calculer g(−x) et utiliser l’hypothèse récurrence pour montrer que g(−x) = g (x).

3⇒1) Supposer que la fonction g : x 7−→ f (a − x) est paire c’est à dire la droite d’équation X = 0 est axe de symétrie à sa courbe. Faire la translation de vecteur − → u

−a 0

de la fonction précédente et montrer que la courbe représentative de la nouvelle fonction admet la droite d’équation x = a comme axe de symétrie.

Corollaire 1

Une fonction f est paire, si sa courbe représentative C

admet (OY ) comme axe de symétrie. Donc on peut limiter l’étude de f à R

∩ Df et l’on déduit le graphe complet par la symétrie d’axe (OY ).

Exemple

Soit f une fonction définie par f(x) = x

− 6x + 4

Montrer que la droite d’équation x = 3 est un axe de symétrie à la courbe représenta-

tive de f.

Solution

En effet, pour tout x ∈ R , 2(3) − x = 6 − x ∈ R et

f (6 − x) = (6 − x)

− 6(6 − x) + 4

= 36 − 12x + x

− 36 + 6x + 4

= f(x).

donc on a la résultat.

Ou bien, pour tout x ∈ R , x − 3 ∈ R et

f(x − 3) = (x − 3)

− 6(x − 3) + 4

= x

− 5.

Puisque la fonction x 7−→ f(x − 3) est paire, alors on a le résultat.

Ou encore, pour tout x ∈ R , 3 − x ∈ R , 3 + x ∈ R et

f (3 − x) = (3 − x)

− 6(3 − x) + 4

= 9 − 6x + x

− 18 + 6x + 4

= 9 + 6x + x

− 18 − 6x + 4

= (3 + x)

− 6(3 + x) + 4

= f (3 + x).

Donc on a le résultat.

1.2.4 Centre de symétrie

Activité 4

Soit la fonction g définie par g(x) =

* Déterminer l’ensemble de définition de g.

* Calculer g(8 − x) et −g(x) + 6.

* Comparer g(8 − x) et −g(x) + 6.

* Construire C

et faire la symétrie de la restriction de C

sur ]4; +∞[ par rapport au point E

4 3

.

* Que remarquez-vous sur la représentation de C

et le point E ?

Solution 4 :

* La fonction g existe si et seulement si x − 4 6= 0 ⇐⇒ x 6= 4.

Donc Dg =] − ∞; 4[∪]4; +∞[.

* g(8 − x) = 3 +

=

=

.

−g(x) + 6 = −

+ 6 =

.

* On constate que g (8 − x) = −g(x) + 6

On remarque que les points A,B, C, D choisis de façon aléatoire sur la restriction de (C

) sur ]4; +∞[ admettent pour symétrique par rapport au point E

4 3

les points notés A’, B’, C’, D’ et situés sur la courbe (C

).

Donc la courbe (C

) admet le point E 4

3

comme centre de symétrie.

Définition et proposition

On dit que la courbe représentative de f notée C

admet le point de coordonnées (a, b) comme centre de symétrie, si pour tout x ∈ D

, 2a − x ∈ D

et f(2a − x) + f(x) = 2b.

proposition 4

Soit une fonction f et C

sa courbe représentative. Les propositions suivantes sont équivalentes.

.) La courbe C

admet le point de coordonnées (a, b) pour centre de symétrie.

.) Pour tout x ∈ D

; a + x ∈ D

, a − x ∈ D

et f (a + x) + f(a − x) = 2b.

.) Pour tout x ∈ D

; a −x ∈ D

la fonction g : x 7−→ f(a − x) −b est impaire.

Preuve : Exercice dirigé

1⇒2) Supposer que le point de coordonnées (a, b) soit le centre de symétrie de la

courbe C

; puis poser X = a − x et faire le calcule f(2a − X) ; enfin utiliser l’hypothèse

de récurrence pour avoir le résultat.

2⇒3) Supposer que ∀x ∈ D

; a + x ∈ D

, a − x ∈ D

et f (a + x) + f (a − x) = 2b.

Calculer g(−x) ; puis utiliser l’hypothèse de récurrence pour montrer que g(−x) = −g(x).

3⇒1) Supposer que la fonction x 7−→ f(a −x) −b soit une fonction impaire c’est-à-dire le point de coordonnées (0; 0) est centre de symétrie de sa courbe. Faire la translation de vecteur − → u

−a b

de la fonction précédente et montrer que f(X + a) admet le point de coordonnées (a, b) comme centre de symétrie de sa courbe.

Corollaire 2

- Une fonction f est impaire, si sa courbe représentative C

admet le point de coordonnées (0, 0) comme centre de symétrie. Donc on peut limiter l’étude de f sur R

∩ D

; puis l’on déduit le graphe complet par la symétrie de centre O (0, 0).

Exemple

Démontrer que le point de coordonnées (0; 3) est centre de symétrie à la courbe repré- sentative de la fonction f : x 7→

+ 3.

Solution :

- Ensemble de définition

f existe si et seulement si 1 − x

> 0 ; donc D

=] − 1; 1[

- Démonstration

Pour tout x ∈ D

; 2(0) − x ∈ D

et

f(2(0) − x) = f(−x)

= (−x)

p 1 − (−x)

+ 3

= − x

√ 1 − x

+ 3

= −( x

√ 1 − x

+ 3) + 6

= −f(x) + 2(3).

Donc on a : f (2(0) − x) + f (x) = 2(3) d’où le résultat.

Exercices

Montrer que les courbes des fonctions suivantes admettent soit un axe de symétrie ; soit un centre de symétrie ; que l’on déterminera.

h(x) = x

+ x

cos(x) et r(x) =

1.3 Étude des branches infinies

Dans cette partie, la connaissance du calcul des limites des fonctions est prépondérante pour l’application des définitions et propriétés qui suivent.

1.3.1 Asymptotes

Asymptote parallèle à l’un des axes Activité 5

Soit f la fonction définie par f (x) =

. 1˚) Déterminer le domaine de définition de f .

2˚) Calculer les limites de f aux bornes de son domaine de définition.

3˚) Déterminer les images des valeurs suivantes : -1,09 ; -1,04 ; -0,97 ; -0,83. Puis déter- miner les antécédents des valeurs : 2,57 ; 2,64 ; 2,83 ; 2,95.

4˚) Construire la courbe (C

) et les droites (4

) : x = −1 ; (4

) : y = 3.

5˚) Quelle remarque faites-vous sur le comportement de la courbe (C

) au voisinage des droites (4

) et (4

) ?

Solution 5 :

1˚) f existe si et seulement si x + 1 6= 0 ie D

=] − ∞; −1[∪] − 1; +∞[.

2˚) lim

x→∞

f(x) = 3 ; lim

x→−1⁻

f(x) = +∞ et lim

x→−1⁺

f(x) = −∞.

x -1,09 -1,04 -0,97 -0,83 f(x)

x

f (x) 2,57 2,83 2,95 2,64

3˚) Après la construction de la courbe (C

) ; on remarque la courbe se rapproche des droites (4

) et (4

). Ces droites dirigent indéfiniment la courbe. On dit alors qu’elles sont asymptotes à la courbe (C

).

Définition 5

soit f une fonction et (C

) sa courbe représentative.

N Lorsque f a une limite finie l ∈ R en ∞ notée lim

x−→∞

f (x) = l, on dit que la droite d’équation y = l est asymptote horizontale à la courbe C

.

N Lorsque f a une limite infinie à droite ou à gauche en x

∈ R notée

x−→x

lim

f (x) = ∞, on dit que la droite d’équation x = x

est asymptote ver- ticale à la courbe C

.

Exemple

Considérons les fonctions suivantes : f (x) =

et g(x) = ln(3x − 6)

Calculer les limites suivantes :

x−→∞

lim f (x) et lim

x−→∞

g(x) ; puis donner leur interprétation graphique si possible.

Solution :

* lim

x−→∞

f(x) = 3 ; ceci veut dire la courbe de f admet la droite d’équation y = 3 comme asymptote horizontale.

* lim

x→2⁺

g(x) = −∞ ; ceci veut dire la courbe de f admet la droite d’équation x = 2

comme asymptote verticale.

Exercices d’application Déterminer les asymptotes aux courbes des fonctions sui- vantes si elles existent. f (x) =

;

g(x) = ln(2x + 5)

Asymptote non parallèle aux axes Définition et propriété

Soient f une fonction ; C

sa courbe représentative et a,b deux nombres réels non nuls.

La droite (∇) d’équation y = ax + b est appelée asymptote oblique à la courbe C

, si

x→∞

lim [f(x) − (ax + b)] = 0.

Proposition 5

soit f une fonction et C

sa courbe représentative.

La droite d’équation y = ax + b est asymptote oblique à C

si et seulement si

x7→∞

lim

f(x)

x

= a et lim

x7→∞

[f (x) − ax] = b.

Preuve : Exercice dirigé

• Supposer que la droite y = ax + b est asymptote à C

en +∞.

considérer la fonction h : x 7−→ f (x) − (ax + b) ; vérifier que lim

x7→∞

h(x) = 0.

• Montrer que :

= a +

+

; puis calculer lim

x7→∞

f(x

x

= a et lim

x7→∞

[f (x) − ax] = b.

• Supposer lim

x7→∞

f(x)

x

= a et lim

x7→∞

[f (x) − ax] = b. Montrer que lim

x7→∞

[f (x) − (ax + b)] = 0.

Remarque : De manière plus générale, on dit que la courbe (Γ) d’équation y = g(x) est asymptote à la courbe C

, si lim

x7→±∞

(f(x) − g(x)) = 0. C’est le cas des représentations

graphiques des fonctions f(x) = 3x

+ 1 et g(x) =

.

car on obtient le résultat suivant :

x→∞

lim [f (x) − g(x)] = 0.

1.3.2 Direction asymptotique

Dans ce paragraphe, on suppose que lorsque x tend vers +∞ ou −∞ ; f (x) a une limite infinie ie lim

x→∞

f(x) = ∞

Ainsi on étudie la limite de

, lorsque x tend vers +∞ ou −∞.

On distingue trois cas :

1

cas :

a une limite infinie Si lim

x→∞

f(x) = ∞ et lim

x→∞

f(x)

x

=

∞, alors il n’y a pas d’asymptotes et l’on dit que la courbe C

admet une branche parabolique dans la direction (oy).

2

cas :

a une limite finie Si lim

x→∞

f(x) = ∞ et lim

x→∞

f(x)

x

= a alors, on a deux cas possibles :

* Si lim

x→∞

f(x)

x

= 0, on dit que

C

admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses (OI).

* Pour a 6= 0, on étudie la limite lim

x→∞

(f (x) − ax).

- si lim

x→∞

[f (x) − ax] = b, alors on dit que la droite d’équation y = ax + b est asymptote oblique à C

.

- si lim

x→∞

[f(x)−ax] = ∞, alors on dit que C

admet une branche parabolique de di- rection celle de la droite d’équation y = ax.

- si lim

x→∞

[f(x) − ax] n’existe pas, alors C

n’admet ni asymptote, ni branche parabo- lique ; mais C

admet une direction asymp- totique, celle de la droite d’équation y = ax.

3

Cas :

n’a pas de limite Si lim

x→∞

f (x) = ∞ et lim

x→∞

f(x)

x

n’a pas de limite, alors on dit que C

n’admet ni asymp- tote, ni branche parabolique, ni direction asymptotique.

Tableau récapitulatif : Les propriétés sur-cités conduisent à un tableau qui récapitu- lerais celles-ci. Ici les valeurs a et b désignent les limites suivantes :

x→∞

lim

f(x)

x

= a et lim

x7→∞

[f(x) − ax] = b.

a = +∞ ou a = −∞ Branche parabolique de direction celle (oy) a ∈ R et b ∈ R La droite d’équation y = ax + b est asymp-

tote.

a ∈ R et b = ±∞ Branche parabolique de direction celle de la droite d’équation y = ax.

a ∈ R et b n’ existe pas Direction asymptotique de direction celle de la droite d’équation y = ax.

a n’existe pas Ni asymptotes, ni direction asymptotique, ni branche parabolique.

Exemple : soit la fonction g définie par :

g(x) =

.

* Déterminons l’ensemble de définition de g.

g(x) existe si et seulement si (x − 3)

6= 0 ⇐⇒ (x − 3) 6= 0 ⇐⇒ x 6= 3.

Donc Dg = R \3 =] − ∞; 3[∪]3; +∞[

* Calculons les limites aux bornes de l’ensemble de définition Dg.

x7→∞

lim g(x) = lim

x²

= +∞ ( ceci conditionne l’existence d’une branche infinie ) ;

x7→∞

lim g(x) = lim

x²

= −∞ ( ceci conditionne l’existence d’une branche infinie ) ;

x7→∞

lim x

− 4x

+ 8x − 1 = 34 et lim

x7→∞

x − 3 = ∞.

Donc lim

x7→∞

g(x) = 0 ie la courbe C

admet la droite d’équation x = 3 pour asymptote verticale.

* Étudions les branches infinies C

. Calculons lim

x7→±∞

g(x)

x

= lim

x7→±∞

x³

x³

= 1 ∈ R ie il n’y a pas de branche parabolique de direction (OY ) ; puis calculons lim

x7→±∞

[g(x) − x] = lim

x7→±∞

2x²−x−1

(x−3)²

= 2 ∈ R

Donc la droite d’équation y = x + 2 est une asymptote dite oblique à la courbe C

.

* Construisons C

et ses asymptotes.

Exemples

1.) Soit la fonction f définie sur R par : f (x) = (x + 2) exp x. (C

) désigne la courbe représentative de f .

Étudions les branches infinies de f , puis construire soigneusement (C

) . Solution :

* Calculons les limites aux bornes de R

x→−∞

lim f (x) = 0 ⇐⇒ (C

) admet la droite d’équation y = 0 pour asymptote horizontale.

x→+∞

lim f(x) = +∞ ⇐⇒ (C

) admet une branche infinie en +∞.

x→+∞

lim

f(x)

x

= +∞ ⇐⇒ (C

) admet une branche parabolique dans la direction (OY).

2.) Soit la fonction g définie sur ] −

; +∞[ par g(x) = ln(2x + 1). (C

) désigne la courbe représentative de g.

Étudions les branches infinies de g, puis construire soigneusement (C

).

Solution :

* Calculons les limites aux bornes de ] −

; +∞[

lim

x→−¹

2

−

g(x) = −∞ ⇐⇒ (C

) admet la droite d’équation x = −

pour asymptote verticale.

x→+∞

lim g(x) = +∞ ⇐⇒ (C

) admet une branche infinie en +∞.

x→+∞

lim

g(x)

x

= 0 ⇐⇒ (C

) admet une branche parabolique dans la direction (ox).

Exercices d’application : Déterminer l’ensemble de définition et étudier les branches infinies des fonctions suivantes.

f(x) = √

2x

+ x + 1 ; r(x) = √

x ; u(x) = x

+ 3.

v(x) =

2x²−1

.

1.4 Exercices d’entraînement :

Exercice 1.4.1. Soit la fonction f : x 7→ 3x

+ 4

(x − 1)(x − 3)

définie sur R − {1; 3}. Étudier les branches infinies de f .

Exercice 1.4.2. Soit la fonction g : x 7→ 2x

x

− 3x + 2 définie sur R − {1; 2}. Étudier les branches infinies de g.

Exercice 1.4.3. Soit la fonction f : x 7→ √

2x

− 6x + 4 définie sur R . 1. Déterminer l’ensemble de définition de f .

2. Étudier les variations de f .

Exercice 1.4.4. Soit la fonction h : x 7→ 3x + 5 √

x

− 4 définie sur R . 1. Déterminer l’ensemble de définition de h.

2. Étudier les variations de h.

Exercice 1.4.5. Soit la fonction d : x 7→ (x − 2E(x))

+ E (x) définie sur R . Étudier les

branches infinies de d.

Exercice 1.4.6. Soient la fonction f : x 7→ x

+ x

+ 1

x(x − 1)

définie sur R − {0; 1} et C

sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère (O;~i;~j).

1. Étudier les variations de f .

2. Étudier les branches infinies de f ; puis tracer C

.

Exercice 1.4.7. Soient la fonction g : x 7→

r x

x − 1 et C

sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère (O;~i;~j).

1. Étudier les variations de g.

2. Étudier les branches infinies de g ; puis tracer C

.

Exercice 1.4.8. Soient la fonction h : x 7→ x + ln |x| + e

et C

sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère (O;~i;~j).

1. Étudier les variations de h.

2. Étudier les branches infinies de h ; puis tracer C

.

Exercice 1.4.9. Soit la fonction f : x 7→ sin x − sin

x définie sur R .

1. Pour tout x ∈ R , Calculer f(x + 2π) et f(π − x). Puis en déduire l’ensemble d’étude de f.

2. Vérifier que la droite d’équation x =

est axe de symétrie à la courbe représentative de f.

Exercice 1.4.10. Soient la fonction φ définie par : φ(x) = 2x − 3 ln |2e

− 1| et Γ sa représentative graphique dans le plan muni d’un repère (O;~i; ~j).

Montrer que Γ admet 3 asymptotes passant par un même point du plan. On ne demande pas de construire Γ.

Exercice 1.4.11. On considère la fonction f définie par f(x) = p

x(x + 2) + p

x(x − 2).

1. Déterminer le domaine de définition de f.

2. Étudier la parité de f , puis calculer les limites de f aux bornes du domaine de définition.

3. Que peut-on conclure sur la courbe représentative de f ? 4. Étudier les branches infinies et la dérivabilité de f en x = 1.

5. Étudier les variations de f et construire sa courbe représentative C

dans un plan rapporté à un repère (0; − →

i ; − →

j ).

Exercice 1.4.12. On considère la fonction g définie par : g(x) = x − ln|x|.

1. Étudier les variations de g.

2. Déterminer les branches infinies ou les asymptotes si elles existent.

3. Déterminer la position relative de(C

) par rapport aux branches infinies.

4. Trouver l’équation de la tangente (T ) à (C

) au point d’abscisse x = −1 ; puis construire (C

) et (T ).

Exercice 1.4.13. On considère la fonction h définie par h(x) =

1. Déterminer l’ensemble de définition de h(x).

2. Étudier la périodicité de h ; calculer h(x + π) ; donner une interprétation graphique et en déduire le domaine d’étude de h.

3. Étudier les variations et construire le graphique de h.

4. En déduire la courbe complète de h dans l’intervalle ] −

;

[.

Exercice 1.4.14. Soit la fonction f définie par : f(x) = x|1 +

|

; pour x 6= 0 et f (0) = 0.

1. Déterminer l’ensemble de définition de f .

2. Étudier les variations de la fonction f et construire la courbe représentative C

dans le repère orthonormé (O;~i;~j).

Exercice 1.4.15. Soit la fonction f définie par : f (x) = p

(x − 3)

+

et (C

) sa courbe représentative dans le repère (O;~i;~j)

1. Déterminer le domaine de définition de f.

2. Calculer les limites de f aux bornes de son domaine de définition.

3. Montrer que (C

) admet comme asymptotes les droites (4

) et (4

) dont on déter- minera les équations.

4. (C

) admet-elle une asymptote verticale ? Justifier votre réponse.

5. Étudier les positions relatives de (C

) par rapport aux droites (4

) et de (4

) ; puis construire la courbe (C

) et les droites (4

) et (4

).

Exercice 1.4.16. 1. Montrer que la fonction x :7→ exp x peut être décomposée en une

somme de deux fonctions dont l’une, φ est paire et l’autre,ϕ impaire.(φ = cosh et

ϕ = sinh appelées respectivement cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique).

2. Étudier les variations de φ et de ϕ et puis construire leurs courbes représentatives (C) et (C

) dans un même repère orthonormé (O; − →

i ; − → j ).

Exercice 1.4.17. Le plan étant rapporté à un repère orthonormé (Ox, Oy), on considère la fonction x :7→ x tan x.

Étudier les variations de cette fonction et construire son graphique (C). Pour réaliser cette construction, on limitera aux valeurs de x telles que x ∈ [−2π; 2π]

Exercice 1.4.18. On considère f la fonction définie sur R par : f (x) = 1 − ln(1 + x

) si x ≤ 0 et f (x) = −x

+ exp(−x) si x > 0

On note (C

) sa courbe représentative.

1-) Calculer les limites de f en −∞ et en +∞.

2-) Étudier la continuité et la dérivabilité de f en x

= 0.

3-) Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation.

4-) On donne g(x) = x

. Calculer lim

x−→+∞

[f(x) + x

] et interpréter le résultat graphi- quement.

5-) Soit h la fonction réciproque de la restriction de f sur ]0, +∞[.

Construire (C

) et (C

) dans le même repère.

Peut-on dire la courbe de la fonction ϕ(x) = h(x) si x ≤ 0 et ϕ(x) = −x

+ exp(−x) si x > 0 admet la droite d’équation y = x.

Exercice 1.4.19. On considère f la fonction définie sur R par f (−1) = 0 et f(x) =

x²

x+1

exp(

) si x 6= −1

1-) Étudier la continuité et la dérivabilité de f en x

= −1.

2-) Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation.

3-) Construire la courbe représentative (C

) de f dans un plan rapporté à un repère (0, − →

i , − → j ).

Exercice 1.4.20. Soit la fonction φ définie suivant le paramètre α ∈ R par : φ(x) =

√ x

+ x + 1 − αx

1. Déterminer l’ensemble de définition de f .

2. Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition ; puis interpréter

graphiquement suivant chacun des résultats.

Exercice 1.4.21. Soit m un nombre réel quelconque.

on considère la fonction f

définie sur R par : f

(x) = (x + √

1 + x

)

et on désigne par (C

) sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère (0, − →

i , − → j ).

On suppose : m > 0.

1-) Étudier les variations de f

. Construire les courbes (C

) suivant le paramètre m.

2-) Démontrer que : f

(x) = f

(−x), ∀x ∈ R . En déduire la construction de (C

) à partir de (C

).

Exercice 1.4.22. Soit f la fonction numérique définie sur ]−∞; −1[∪]1; +∞[ par f(x) =

1

4

x + ln(

)

On note (C

) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère ortho- normé (0, − →

i , − → j ).

1-) Étudier la parité de f.

2-) Calculer les limites de f en +∞ et à droite de 1.

3-) Calculer la limite en +∞ de f(x) −

x. Que peut-on en déduire ?

4-) Étudier la position de la courbe (C

) par rapport à la droite (∆) d’équation y =

x.

5-) Étudier les variations de f et tracer la courbe (C

)

Exercice 1.4.23. On considère la fonction h définie par : h(x) = x + ln | x − 2 | et (C

) sa courbe représentative dans le repère (0, − →

i , − →

j ) avec k − →

i k=k − →

j k= 2cm.

1-) Déterminer l’ensemble de définition D

de h et calculer les limites aux bornes de D

. Puis étudier les branches infinies de la courbe (C

)

2-) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe (C

) avec la droite d’équation y = x.

3- Étudier les variations de h et dresser son tableaux de variation.

4- Déterminer l’équation de la tangente (T ) à (C

) au point A d’abscisse x

= 3 ; puis tracer (T ) et (C

).

Exercice 1.4.24. La voie traversant un domaine a été tracée sur le plan par un urbaniste en représentant dans un repère orthonormé (O; − →

i , − →

j ) convenablement choisi, la courbe (Γ) de la fonction f de R vers R définie par : f (x) = x ln(1 − x) + 1 si x ≤ 0 et f (x) = (x + 1) exp x si x > 0.

1- Soit E l’ensemble de définition de f . a) Justifier que E = R

b) Calcule les limites de f aux bornes de E . 2- a) Étudier la dérivabilité de f est en 0.

b) Calculer f

(x) pour tout x élément de ] − ∞; 0[ et pour tout x élément de ]0; +∞[.

c) Dresser le tableau des variations de f .

3- a) Étudier les branches infinies de la courbe (Γ). b) Construire (Γ).

Exercice 1.4.25. Le plan est muni d’un repère orthonormal (O, I, J ) I. Soit la fonction numérique f définie sur R par : f(x) = √

1+|x|+x²

1. Vérifier que f est une fonction paire.

2. Montrer que f est strictement croissante sur l’intervalle [0; +∞[ et étudier le signe de f(x) pour tout x ∈ [0; +∞[

II. On considère la fonction numérique F : x 7→ R

√

1+|t|+t²

dt

On note (C) sa courbe représentative dans le plan et (D) la droite d’équation y = x.

1. a) Justifier que F est définie et dérivable sur R . b) Démontrer que F est une fonction impaire.

2. a) Démontrer que pour tout nombre réel positif t, f (t) ≥

En déduire que pour tout nombre réel positif x , F (x) ≥ ln(1 + x).

b) Déterminer la limite de F en +∞ .

3. Calculer F

(x), pour tout x ∈ [0; +∞[ et dresser le tableau de variation deF.

4. a) Démontrer que pour tout nombre réel positif t, f (t) ≤ 1 . En déduire que pour tout nombre réel positif x, F (x) ≤ x b) Donner une interprétation graphique de ce résultat.

5. a) Démontrer que pour tout nombre réel t élément de [1; +∞[, f(t) ≤

b) En déduire que pour tout nombre réel x ∈ [1; +∞[, F (x) ≤ R

0

f(t)dt + lnx 6. a) Démontrer que (C) admet une branche parabolique.

b) Tracer (D) et donner l’allure générale de (C).

Exercice 1.4.26. I. On note f

la fonction numérique définie sur IR r {−1} par : f

(x) =

, n ∈ N

(C

) désigne la courbe représentative de f

dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, − →

i , − →

j ) (unité graphique 2cm)

1. Étudier les limites de f

en −∞, +∞ et −1 (on tiendra compte de la parité de n pour la limite en −1)

2. Déterminer la fonction dérivée f

de f

et étudier suivant la parité de n, le signe de f

(x). Dresser le tableau des variations de f

3. Montrer que toutes les courbes (C

) passent par un même point.

4. Déterminer lim

x−→+∞

fn(x)

x

, puis interpréter graphiquement ce résultat.

5. a) Donner l’expression de f

en fonction de f

et de f

.

b) En déduire les positions relatives des courbes (C

) et (C

). Représenter graphique-

ment (C

) et (C

).

Exercice 1.4.27. Soit f la fonction définie par : f (x) =

et (C

) sa courbe repré- sentative.

1. Déterminer son ensemble de définition et Justifier que l’ensemble d’étude de f peut être réduit à l’intervalle [0; π].

2.a) Démontrer que :

∀x ∈ D

, f

(x) =

.

b) Dresser le tableau de variation de f sur [0; π].

3. Tracer (C

) ; préciser les coordonnées de ses centres de symétrie et des points où la tangente est parallèle à (OI).

Exercice 1.4.28. Deux sociétés d’étude de marché réalisent une étude sur l’évolution de la demande en fonction du temps pour un magasin d’alimentation. Les mathématiciens des deux sociétés A et B ont modélisé cette évolution par deux fonctions f et g :

Modèle de la société A : f (x) =

Modèle de la société B : g(x) = ln( √

3x

+ 2 − x + 1)

Après une étude mathématique méticuleuse, dites laquelle des deux sociétés d’étude prédit un avenir prospère.

Exercice 1.4.29. Soit f la fonction définie par f(x) = p

|x

− 6x + 5| et C

sa courbe représentative.

1. Étudier la dérivabilité de f sur son ensemble de définition.

2. Étudier les variations de f .

3. Étudier les branches infinies de C

; puis tracer C

.

4. Démontrer que C

admet un axe de symétrie, dont on précisera l’équation.

5. Démontrer que, ∀x ∈ I un intervalle que l’on précisera, le point M (x, f(x)) est à une distance constante du point Ω(3, 0). En déduire la nature de C

sur cet intervalle.

Exercice 1.4.30. A- On donne une fonction g de R vers R définie par : g(x) = 4x

+ x

− 1.

1- Etudier les variations de cette fonction.

2- Montrer que la fonction g est admet une unique racine α ∈] − 3 4 ; − 1

2 [. En déduire le signe de g(x).

B- On considère la fonction f de R vers R définie par : f(x) = 2 ln(1 + x

) − 1 x . 1- Trouver l’ensemble de définition de la fonction f .

2- Calculer f

(x) et en déduire le sens de variation de f sur son ensemble de

définition.

3- On désigne par (γ) la représentation graphique de f dans le repère orthonormé (O, I, J ).

Tracer (γ) en admettant que : α ≈ −0, 72

[1] SALIOU TOURE et les autres, Collection Inter Africaine de Mathématique Termi- nale(CIAM) SM, EDICEF, 11/2004.

[2] CHARLES MVOMO OTAM et les autres, Majors en Mathématiques Terminales C-E, ASVA ÉDUCATION, Mars 2012.

[3] Marc Gourion, Jacque Chevallet et Christian Lixi, Mathématiques en Terminale D, FERNAND NATHAN, 1982

[4] ANDRÉ COMBES et DANIÈLE BARQUES,Algèbre de Mathématique Terminale C

et E,Vuilbert,07/1983.63,bd St-Germain 75OO5 Paris.