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Etudier la fonction f et construire sa courbe représentative (C) dans un repère orthonormé (O,~ı

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Academic year: 2022

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(1)

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Ministère des Enseignements Secondaires Examen : Baccalauréat 2012

Office du Baccalauréat du Cameroun Série :CE

Epreuve : MATHEMATIQUES Durée : 4h Coefficient : 5(C)/ 4(E)

L’épreuve comporte pour chaque série, deux exercices et un problème.

Exercice 1(série E uniquement). (5 points) Soitf la fonction définie sur ]0;π[ par : f(x)= 1

sinx.

1. Etudier la fonction f et construire sa courbe représentative (C) dans un repère orthonormé (O,~ı,~).

[1pt]

2. Montrer que la restrictiong def à l’intervalle ]0;π

2] possède une fonction réciproqueg−1dans le

même repère que (C). [1pt]

3. Soity=g−1(x).

Montrer que siny= 1

x et que cosy=

px2−1

x . [0,75 pt]

4. En déduire que pour toutxde ]1;+∞[, (g1)0(x)= − 1 xp

x2−1. [0,75pt]

5. En se servant des résultats précédents, calculerI= Z

p2

2

p3 3

d t tp

t2−1. [1,5pt]

Exercice 1(Série C uniquement). (5 points)

1. SoitNun entier relatif impair. Montrer queN2≡1[8]. [1pt]

2. Montrer que si un entier relatifM est tel queM2≡1[8] alorsM est impair. [1pt]

3. Résoudre dansZléquationx2=8y+1. [2pt]

4. Résoudre dansZ2l’équationy=x2−1

8 dans un repère orthonormé (O,~ı,~) du planPpasse par

une infinité de points à coordonnées entières. [1pt]

Exercice 2(5 points). Dans l’ensembleCdes nombres complexes, on considère l’équation (E) : z3+(3−d2)z+2i(1+d2)=0, oùdest un nombre complexe donné de module 2.

1. (a) Vérifier que 2i est une solution de l’équation (E). [0,5pt]

(b) Résoudre dansCl’équation (E). [1pt]

2. Dans le plan complexeP, on considère les pointsA,B,M, etNd’affixes respectives 2i,−i,−i+det

−i−d.

(a) CalculerM Net déterminer le milieu de [M N]. [0,5pt]

(b) En déduire que lorsquedvarie dansC, les pointsM etNappartiennent à un cercle fixe que

l’on précisera. [1pt]

(c) Dans le cas oùAM Nest un triangle, montrer queOest le centre deOest le centre de gravité du

triangleAM N. [1pt]

(d) En déduire les valeurs dedpour lesquelles le triangleAM N est isolcèle de sommet principalA.

[1pt]

Problème :(10.points)

Le problème comporte trois parties A, B et C. Les parties A et b sont liées.

Partie A : 4points.

Soit léquation différentielle (E) :y00+(2 ln 2)y0+(ln 2)2y=0.

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1. (a) Résoudre l’équation (E) dansR. [0,5pt]

(b) Déterminer la solutiong de (E) vérifiant :g(0)=0 etg0(0)=1. [0,5pt]

2. On considère la fonction numériqueudéfinie pour tout réelxparu(x)= x

2x. On note (C) la courbe représentative deudans un repère orthonormé du plan.

(a) Montrer que la fonction dérivéeu0est définie surRparu0(x)=(1−xln 2)exln 2. [0,5pt]

(b) Dresser le tableau de variation deu. [1pt]

(c) Présiser les branches infinies de (C). [0,5pt]

(d) Tracer (C) et sa tangente (T0) au point d’abscisse 0.

(Prendre 2cm comme unité sur les axes des coordonnées). [1pt]

3. (a) Prouver queuest une solution particulière de l’équation différentielle (E). [0,5pt]

(b) En déduire la valeur du nombre réel (ln 2)2× Z 1

0

u(x)d x. [0,75pt]

Partie B :

On définit la suite numérique (Vn) par :

½ V0=1

Vn+1=12(Vn+2−n)

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln,Vn=u(n). [0,5pt]

2. Pour tout entier natureln, on poseSn=

n

P

k=0

Vk. (a) Démontrer par récurrence queSn=

µ Pn

k=0

1 2k

n+1

2n pour tout entier natureln. [1pt]

(b) Calculer la limite de la suiteSn). [0,5pt]

Partie C :

Dans le plan orienté et muni d’un repère orthonormé (O,~ı,~), on considère les vecteurs~e1=12~i+

p3 2 ~j;

~e2= −

p3 2~i+12~j.

1. Démontrer que (O,~e1,~e2) est un repère orthonormé du plan. [0,5pt]

2. Déterminer les éléments caractéristiques de la rotation qui transforme (O,~e1,~e2) en (O,~ı,~). [0,5pt]

3. Une conique dans le repère (O,~e1,~e2) a pour équation cartésienne 13X2+7Y2+6p

3X Y =16.

(a) Ecrire l’équation cartésienne réduite de cette conique dans le repère (O,~ı,~). [1pt]

(b) En déduire sa nature et son excentricité. [0,75pt]

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