On note

Devoir Mathématiques - Fonctions – Vecteur - Trigonométrie

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DEVOIR MATHEMATIQUES Durée : 2 heures 15 minutes Les calculatrices sont autorisées Exercice 1

On considère la fonction 𝑓 définie par 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 2, où 𝑎 et 𝑏 sont deux réels (𝑎 ≠ 0).

On note 𝐶_𝑓 la courbe représentative de la fonction 𝑓.

1. Déterminer les réels 𝑎 et 𝑏 sachant que le point 𝐴 (1 ; 3) ∈ 𝐶_𝑓 et que la courbe représentative de 𝑓 admet une tangente 𝑇_𝐴 au point d’abscisse A parallèle à l’axe des abscisses.

2. Déterminer une équation de la tangente 𝑇_𝐴. Exercice 2

On considère l’algorithme suivant :

Donnée Choisir un polynôme 𝑃(𝑥)

Traitement et affichage Si 𝑃(𝛼) = 0

Alors afficher « 𝑃(𝑥) 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑠𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟 (𝑥 − 𝛼) » Sinon afficher « 𝑃(𝑥) 𝑛𝑜𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑠𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟 (𝑥 − 𝛼) » Fin Si

1. On choisit 𝑃(𝑥) = −3𝑥²+ 5𝑥 − 4

2. a) Donner l’affichage renvoyé par l’algorithme 𝛼 = 1. Justifier votre réponse

b) On considère la fonction 𝑓 définie sur ] − ∞; 1[ ∪]1; +∞[ par 𝑓(𝑥) =^{−3𝑥2+5𝑥−4}

𝑥−1

Déterminer trois réels 𝑎, 𝑏 et 𝑐 tels que pour tout réel 𝑥 de ℝ \ {1}, on ait : 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 + ^𝑐

𝑥−1

c) Pour tout réel 𝑥 de ℝ \ {1}, comparer la position de la courbe 𝐶_𝑓 représentant la fonction 𝑓 avec la droite d’équation 𝑦 = −3𝑥 + 2

Exercice 3

Le point 𝑀 est situé sur un quart de cercle de centre 𝑂, de rayon 4 et d'extrémités 𝐴 et 𝐵. Le point 𝑁 est le pied de la perpendiculaire à la droite (𝑂𝐴) passant par le point 𝑀. Le point 𝑃 est le pied de la perpendiculaire à la droite (𝑂𝐵) passant par 𝑀.

On pose 𝑥 = 𝑂𝑁 et on désigne par 𝑓(𝑥) l'aire du rectangle 𝑂𝑁𝑀𝑃.

1) Déterminer le domaine de définition 𝐷 de la fonction 𝑓 2) Montrer que, pour tout 𝑥 de 𝐷, 𝑓(𝑥) = 𝑥√16 − 𝑥²

3) a) Vérifier que, pour tout 𝑥 de 𝐷, on a 𝑓(𝑥) = √64 − (𝑥²− 8)² b) Démontrer que 𝑓(𝑥) ≤ 8 , pour tout 𝑥 de 𝐷

c) Résoudre 𝑓(𝑥) = 8

d) En déduire la nature du rectangle quand l'aire est maximale.

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Exercice 4

Soit 𝐴𝐵𝐶𝐷 un trapèze tel que (𝐴𝐵) // (𝐶𝐷).

On appelle 𝑀, le point d'intersection des droites (𝐴𝐷) et (𝐵𝐶).

𝐼 est le milieu de [𝐴𝐵], 𝐽 celui de [𝐶𝐷]. 𝐾 est le point d'intersection des diagonales [𝐴𝐶] et [𝐵𝐷].

On souhaite démontrer que les points M, I, J, et K sont alignés.

1) Justifier que (𝐴 ; 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ) est un repère.

2) Déterminer les coordonnées des points 𝐴, 𝐵, 𝐷 et 𝐼 dans ce repère.

3) On appelle 𝑎, l'abscisse du point 𝐶 dans ce repère. Déterminer en fonction de 𝑎 l'ordonnée de 𝐶 et les coordonnées de 𝐽.

4) Donner une équation cartésienne de la droite (𝐵𝐶) et en déduire les coordonnées du point 𝑀.

5) Montrer que les points 𝑀, 𝐼 et 𝐽 sont alignés.

6) Déterminer une équation cartésienne de (𝐵𝐷) et de (𝐴𝐶). En déduire les coordonnées du point 𝐾. 7) Conclure

Exercice 5

Les questions sont indépendantes

1) Montrer que cos (^3𝜋₈) × sin cos (^𝜋₈) + cos cos (^25𝜋₈ ) × sin cos (^11𝜋₈ ) = 1 2) Résoudre dans ] − 𝜋; 𝜋] ∶ sin ²(𝑥) +³₂sin(𝑥) − 1 = 0

3) On donne sin (^7𝜋₁₀) =^1+√5₄ . En déduire la valeur exacte de cos (^7𝜋₁₀) 4) Résoudre dans ℝ sin (2𝑥 −^𝜋₃) − sin (3𝑥 +^𝜋₂) = 0

Exercice 6

𝐴𝐵𝐶𝐷 est un carré tel que (𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) =^𝜋₂ [2𝜋]

𝐵𝐼𝐶 et 𝐶𝐷𝐽 sont des triangles équilatéraux directs

1) a) Donner la mesure principale des angles orientés : (𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗ ) b) En déduire la mesure principale de (𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )

c) En déduire la mesure principale de (𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ )

2) a) Donner la mesure principale des angles orientés : (𝐷𝐽⃗⃗⃗⃗ ; 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ) b) En déduire la mesure principale de (𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐽⃗⃗⃗⃗ )

3) Qu’en déduit-on pour les points 𝐴, 𝐼 et 𝐽 ?