PanaMaths Novembre 2008
Etudier la converge et calculer la somme de la série de terme général :
2 n
n ! u = n
Analyse
La forme de un avec, notamment, la factorielle au dénominateur suggère d’utiliser le critère de d’Alembert.
Le calcul de la somme ne pose pas de difficulté particulière et consiste, pour l’essentiel, à simplifier l’expression de un et à changer de variable.
Résolution
On a d’abord :
2
*, 0
! n n
∀ ∈` n > . On a donc affaire à une série à termes positifs.
On a ensuite :
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2 2 2
2 2
2 1
2
1
1 ! 1 ! 1 ! 1 1 1 1
1 ! 1 ! 1 1 1
!
n
n n n
n
n n n
u n n n
u n n n n
n
n n n
+
+
+ + + ⎛ + ⎞ ⎛ ⎞
= = + × = × + =⎜⎝ ⎟⎠ × + = +⎜⎝ ⎟⎠ × +
Or
1 2
lim 1 1
n→+∞ n
⎛ + ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠ et 1
lim 0
1
n→+∞n =
+ . Il vient donc : lim n 1 0
n n
u u
+
→+∞ = et le critère de d’Alembert nous permet de conclure :
La série de terme général
2 n ! u n
= n est convergente.
On a alors :
( )
( )
2 2
0 1 1 0 0 0
1 1 0
1 1
! ! 1 ! ! ! !
1 1
! 1 ! !
2
n n n n n n
n n n
n n n n n
n n n n n n
n e e e e e
n n n
e
+∞ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞
= = = = = =
+∞ +∞ +∞
= = =
= = = + = +
−
= + = + = + = +
−
=
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
PanaMaths Novembre 2008
Résultat final
La série
2
! n
∑
n converge et :2
0
! 2
n
n e
n
+∞
=
