PanaMaths Février 2005
Etudier la série de terme général :
( ) ( )
1! 2! 3! ... 1 2
!
n
!
u n
n
+ + + + −
= +
Analyse
On doit d’emblée remarquer que le terme général de la série, défini pour n≥1, est positif.
Ensuite, la présence des factorielles, la forme du numérateur (somme de factorielles) et la différence entre n−1, au numérateur, et n+2, au dénominateur, suggère de s’orienter vers une majoration du numérateur …
Résolution
Comme mentionné ci-dessus, on a affaire à une série à termes positifs.
On a :
( ) ( ) ( )
1 termes
1! 2! 3! ... 1 ! 1 1 !
n
n n n
−
+ + + + − < − × −
D’où :
( )
( ) ( ) ( )
( )
1! 2! 3! ... 1 ! 1 1 !
2 ! 2 !
n n n
n n
+ + + + − − × −
+ < +
Or :
( ) ( )
( ) ( )( )
1 1 ! 1
2 ! 2 1
n n n
n n n n
− × − = −
+ + + , puis :
(
n+2n)(
−n1+1)
n <(
n+2)(
nn+1)
n< n12Finalement, on a : * 12 , n
n u
∀ ∈` < n .
On a majoré le terme général d’une série à termes positifs par celui d’une série convergente
2
1 n
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝
∑
⎠, on en déduit :( )
( )
1! 2! 3! ... 1 ! 2 !
n n
+ + + + −
∑
+ converge.Résultat final
La série de terme général
( )
( )
1! 2! 3! ... 1 ! 2 !
n n
+ + + + −
+ est convergente.
