PanaMaths Novembre 2006
Etudier la série de terme général :
( )
2
5 nn 2 ! u = n
+
Analyse
On doit d’emblée remarquer que le terme général de la série est positif.
Ensuite, la présence de la factorielle, la forme du numérateur (puissance), suggère de s’orienter vers la règle de D’Alembert …
Résolution
Comme mentionné ci-dessus, on a affaire à une série à termes positifs.
On a alors, pour tout entier naturel n :
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
5
5 5 5
1
5 5
2 1
3 ! 2 1 2 ! 1 2 ! 1 1
2 3 ! 2 3 ! 1 3
2 !
n n
n
n n n n
u n
u n n n n n n n
n
+
+
+ + + ⎛ + ⎞ + ⎛ ⎞
= = + × =⎜⎝ ⎟⎠ × + = +⎜⎝ ⎟⎠ × + +
On a : 1
lim 1 1
n→+∞ n
⎛ + ⎞=
⎜ ⎟
⎝ ⎠ et, de fait :
1 5
lim 1 1
n→+∞ n
⎛ + ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠ .
Par ailleurs : 1
lim 0
3
n→+∞n =
+ . Il vient alors : lim n1 0
n n
u u
+
→+∞ = .
D’après la règle de D’Alembert, la série de terme général
( )
2 5 n 2 ! u n
= n
+ est convergente.
Résultat final
La série de terme général
( )
2 5 n 2 ! u n
= n
+ est convergente.
