∑∑ Résolution Analyse Montrer que la série de terme général

PanaMaths Novembre 2010

Montrer que la série de terme général ( ) ¹

!

n

n n

u n

= − est semi-convergente.

Analyse

On note que la série considérée est alternée.

Par ailleurs, la présence de la factorielle de n au dénominateur doit nous faire penser à la formule de Stirling. Elle nous donne en rapidement un équivalent de u_n .

Résolution

On a clairement affaire à une série alternée (premier terme : u₁) de terme général :

( ) ( ) ( )

¹

1 1

! !

n n

n n

n

u

n n

− −

= =

Par ailleurs, en posant : n ^{ln 1 1ln}

( )

^!

n

v n

u n

= = , on obtient, pour tout entier naturel n non nul :

( ) ( )

( ) { ( ) ( ) ( ) }

( ) ( ) ( )

1

1 1

ln 1 ! ln !

1

1 ln 1 ! 1 ln !

1

1 ln 1 ln !

1

n n

v v n n

n n

n n n n

n n

n n n n

n n

+ − = + ⎡⎣ + ⎤⎦−

= + ⎡⎣ + ⎤⎦− +

= + +

+ ^−nln

( )

^n!

( )

( ) ( ) ( )

( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) }

( ) ( ) ( )

( )

1

0 1

0

ln !

1 ln 1 ln !

1

1 ln 1 ln ln 1 ln 1 ... ln 1 ln1

1

1 ln 1 ln

1

1 1

1 ln

n

k n

k

n

n n n

n n

n n n n n

n n

n n k

n n

n

n n n k

−

=

−

=

⎡ − ⎤

⎣ ⎦

= + ⎡⎣ + − ⎤⎦

= + ⎡⎣ + − ⎤ ⎡⎦ ⎣+ + − − ⎤⎦+ +⎡⎣ + − ⎤⎦

= + ⎡⎣ + − − ⎤⎦

= +

+ −

∑

∑

PanaMaths Novembre 2010

Pour tout entier naturel k dans 0 ;n−1 , on a : 0< − < +n k n 1, d’où : 1

ln n 0

n k + >

− et,

finalement : v_n+1− >v_n 0. La suite

( )

n ^{ln 1}

n

v u

⎛ ⎞

= ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠ est donc strictement croissante.

On en déduit alors que la suite

( )

un est strictement décroissante.

Rappelons enfin que l’on a l’équivalence (formule de Stirling) : ! 2 n n

n n

π e

+∞

⎛ ⎞⎜ ⎟

∼ ⎝ ⎠ .

On en tire immédiatement :

( )

1

1

! 2 2

n n

n n n n

n n n

e e

π π

+∞

⎡ ⎛ ⎞ ⎤ = ×

⎢ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

∼ .

Comme : ^{lim 2}

( )

^{1n 1}

n πn

→+∞ = (considérer : ^{lim ln}

(

²

)

¹ⁿ

n πn

→+∞

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦), il vient : ⁿ ! n

n ^+∞∼ e, soit : _n e u ^+∞∼ n. On a alors : lim _n lim lim _n 0

n n n

u e u

→+∞ = →+∞n = →+∞ = .

Les résultats précédents nous permettent de conclure, d’après le théorème spécial des séries alternées, que la série

∑

u_n converge.

Mais l’équivalence _n e

u ^+∞∼n nous permet également de conclure, la série e

∑

n ^étant divergente (comme la série harmonique), que la série

∑

u_n est divergente.

En définitive, la série

∑

u_n est bien semi-convergente.

Résultat final

La série

( )

¹

!

n nn

∑

− est semi-convergente.