PanaMaths Novembre 2008
On considère la série de terme général :
n
ln 1 a
u n
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= +
où a est un réel strictement positif.
1. Quelle est la nature de la série ∑ u
n?
2. Donner un équivalent de la somme partielle
1 n
n n
k
S u
= ∑= .
Analyse
On a affaire à une série à termes positifs dont on peut facilement donner un équivalent du terme général …
Résolution
1. Pour tout entier naturel n strictement positif, on a : 1 a 1
+ >n et, de fait : ln 1 a 0 n
⎛ + ⎞>
⎜ ⎟
⎝ ⎠ .
On a donc affaire à une série à termes positifs.
On a par ailleurs : ln 1 a a n +∞n
⎛ + ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠∼ . Or, la série de terme général a
n est divergente (série harmonique … à un facteur multiplicatif près). On en conclut :
La série ln 1 a n
⎛ + ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
est divergente.2. Les séries a
∑
n et∑
ln 1⎛⎜⎝ +an⎞⎟⎠ sont à termes positifs, les termes généraux sont équivalents et elles divergent. Les sommes partielles sont donc équivalentes :1 1
ln 1
n n
k k
a a
n +∞ n
= =
⎛ + ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
∼∑
PanaMaths Novembre 2008
Or, on a le résultat classique :
1
1 ln
n
k
n+∞ n
∑
= ∼ . On en tire :1
ln
n
k
a a n n+∞
∑
= ∼ et, finalement :1 1
ln 1 ln
n n
k k
a a
a n n +∞ n+∞
= =
⎛ + ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
∼∑
∼Résultat final
La série de terme général n ln 1 a
u n
⎛ ⎞
= ⎜⎝ + ⎟⎠ (a>0) diverge et on a :
1
ln 1 ln
n
k
a a n
n +∞
=
⎛ + ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
