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Étude de la série de terme général : 1. a n = ( − 1) n n!

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Academic year: 2022

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(1)

Colle PC Séries numériques 2015-2016

Analyse : Séries numériques alternées et autres

EXERCICE 1 :

Étude de la série de terme général : 1. a n = ( − 1) n n!

n n ; 2. b n = sin

πn n 2 + 1

; 3. c n = ( − 1) n

√ n + ( − 1) n ; 4. d n = ( − 1) n n + 1

n 2 + n + 3 ; 5. e n = ( − 1) n

n + ( − 1) n sin(n) ; 6. f n =

Z (n+1)π

nπ

sin(t) t dt ; 7. g n = sin π √

4

n 4 + 1

Corrections

EXERCICE 1 : 1.

a n+1

a n

= (n + 1)!

n! × n n (n + 1) n+1 =

n n + 1

n

= e − n ln(1+1/n) .

− n ln

1 + 1 n

+∞ ∼ − 1 donc

a n+1

a n

n→+∞ −→ e − 1 et e − 1 < 1. La règle de d’Alembert assure la convergence absolue de la série de terme général (a n ).

2. b n +∞ ∼ π

n , série à termes positifs divergente.

3. c n existe pour n > 2 car √ n > 1.

Pour n > 2, c n − ( − 1) n

√ n = − 1

√ n[ √

n + ( − 1) n ] +∞ ∼ − 1 n . ( − 1) n

√ n est le terme général d’une série convergente (critère spécial des séries alternées).

On a donc c n =

c n − ( − 1) n

√ n

+ ( − 1) n

√ n , terme général somme de deux termes généraux dont le premier est celui d’une série divergente et le second celui d’une série convergente d’où la divergence de X

n>2

c n . 4. d n = ( − 1) n n + 1

n 2 + n + 3 , on peut encore prouver que d n − ( − 1) n

n +∞ ∼ ( − 1) n − 3

n 3 et ( − 1) n − 3

n 3 terme général d’une série absolument convergente. X

n>0

d n converge.

On pouvait également utiliser le critère spécial des séries alternées : u n = n + 1

n 2 + n + 3 , et (u n ) n>1 décroissante, tendant vers 0.

5. Pour n > 1, e n − ( − 1) n

n = − sin(n)

n(n + ( − 1) n sin(n)) . Or

e n − ( − 1) n n

6 1

n(n + ( − 1) n sin(n)) et 1

n(n + ( − 1) n sin(n)) + ∼ ∞ 1

n 2 . On a X

e n convergente.

My Maths Space 1 sur 2

(2)

Colle PC Séries numériques 2015-2016

6. f n =

Z (n+1)π

nπ

sin(t)

t dt =

θ=t−nπ

Z π

0

( − 1) n sin(θ)

θ + nπ dθ ; f n a alors le signe de ( − 1) n d’où l’idée d’une série alter- née : | f n+1 |−| f n | =

Z π

0

sin(θ)

1

θ + (n + 1)π − 1 θ + nπ

dθ donc | f n+1 |−| f n | 6 0, la suite (f n ) est décroissante.

| u n | 6 Z π

0

dθ

nπ n→+∞ −→ 0. Convergence obtenue par le CSSA.

7. g n = sin πn

1 + 1 n 4

1/4 !

= sin

nπ + π 4n 3 + o

1 n 3

= ( − 1) n sin π

4n 3 + o 1

n 3

.

| g n | ∼ + ∞ π

4n 3 donc convergence absolue de X g n .

My Maths Space 2 sur 2

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