Étudier la nature de la série de terme général u n =  – 1 n ln n – 1 n

Semaine 4 : Séries à termes quelconques. PC

Étudier la nature de la série de terme général u _n =  – 1 ⁿ

n – ln n ^ 0

Étudier la nature de la série de terme général u _n =  – 1 ⁿ ln n – 1 ⁿ

Prouver la convergence et calculer la somme de la série suivante : ∑

n=0

∞

ln  ^{cos  2 a n } 

Étudier suivant les valeurs du réel strictement positif , la nature de la série de terme général : u _n =  – 1  ⁿ

 ^{n   – 1 n , n2}

Indications et réponses :

Définition de la série : ∀ >0, il existe n ₀ (non nul) tel que n ln n ^ . La série est définie à partir du rang n ₀ et est alternée.

lim

n∞ ∣ ^u _n ∣ ^{=0 mais} ∣ u _n ∣ ^{~ 1}

n donc la série n'est pas absolument convergente.

Prouver qu'il existe n ₁ pour lequel  ∣ ^u n ∣ ^ _nn

est décroissante. ( étudier la fonction x x – ln  x  ^ sur ]1 ;∞[ )

Conclure en appliquant le critère de Liebniz concernant les séries alternées. (Pr 71)

C'est une série alternée.

u _n =  – 1 ⁿ

ln  n  × 1 1  – 1 ⁿ

ln n

, on utilise le développement limité de 1

1x et on obtient :

u _n =  – 1 ⁿ ln n – 1

 ln n ² o  1

 ln n  ²  . La série de terme général v _n =  – 1 ⁿ

ln  n  converge d'après le critère de Liebniz. Si on pose w _n =u _n – v _{n alors} w _n ~– 1

ln n ^{2 .} w _n est de signe constant à partir d'un certain rang et la série ∑ ^w n est de même nature (règle des équivalents) que ∑ ¹

ln n ² (série de Bertrand qui diverge). ∑ ^u n est une série qui diverge en tant que somme d'une série divergente et d'une série convergente. (Pr 71)

La définition de u _n impose que a appartienne à ] ^{– } 2 ; 

2 [ ^{. a=0} donne une série nulle.

Soit a ≠0 , u _n ~ – a ²

2 ^{2 n1 et} ∑ ¹

2 ^2n1 est convergente en tant que série géométrique ; ∑ ^u n converge (on applique la règle des équivalents).

On note S a = ∑

n=0

∞

ln  ^{cos  2 a n }  ; on remarque S – a=S a  donc une étude sur ] ^{0; } 2 [ est suffisante.

Pour x ∈ ] ^{0; } 2 [ ^, la relation cos x = sin  x 

2 cos x  implique une transformation de u _{n en :}

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Semaine 4 : Séries à termes quelconques. PC

u _n =ln  2 ^{n –1} sin  a

2 ^{n –1}  – ln 2 ⁿ sin  a

2 ⁿ  _puis S _n a = ∑

k=0

n u _k = ln sin 2 a

2  – ln 2 ⁿ sin  a 2 ⁿ  _. Comme lim

n∞ 2 ⁿ sin  a

2 ⁿ = a , on obtient : S a = ∑

k=0

∞

u _k =ln  sin2 a 

2 a  . (la formule reste valable pour a=0)

∣ u _n ∣ ^{~ 1}

n ^{/2 donc} ∑ ^u n est absolument convergente si et seulement si 2 (série de Riemann) Pour  ∈]0 ;2 ] , on obtient le développement asymptotique suivant : u _n =  – 1 ⁿ

n ^/2 – 1

2 n ^3/2 o  n ^{3/2 1} 

∑ ^{ – 1 n}

n ^3/2 converge d'après le critère de Leibniz. On pose v _n =  – 1 ⁿ

n ^3/2 –u _n et cela implique que : v _n ~ 1

2 n ^{3/2 ,} v _n  est positive au voisinage de ∞ donc la règle des équivalents s'applique et ∑ ^v n

est de même nature que ∑ ¹

2 n ^{3/ 2} c'est à dire qu'elle converge si et seulement si  2 3 ^.

Ainsi ∑ ^u n converge en tant que somme de deux séries convergentes pour  2 3 ^.

Pour 0 2

3 ^, ∑ ^u n diverge.

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