Série divergente & Somme partielle

Stanislas

Thème

Série divergente & Somme partielle

2016-2017

Soit (a_n)n∈N^∗ une suite de réels positifs telle que P

a_n diverge. On note (s_n) la suite de ses sommes partielles, i.e. pour tout entier natureln non nul,s_n=

n

P

k=1

a_k. 1. Exemples.

a)Pour tout n∈N^∗, on posean= ¹_n. Déterminer la nature de P

an, puis deP _an

1+nan. b) Pour tout n∈ N^∗, on pose a_n = 1 s'il existe un entierm tel que n = 2^m −1 et 0 sinon.

Déterminer la nature deP

an, puis deP _an

1+nan.

2. On suppose dans cette question que la suite(an) est à valeurs strictement positives. Montrer queP _an

1+n²an converge.

3. a)Montrer que si P _an

1+an converge, alors(an) converge vers0.

b)Montrer que si(an)converge vers0, alorsP _an

1+an diverge.

c)En déduire la nature de P _an

1+an.

4. Soit(un) une suite de réels positifs et (tn) la suite des sommes partielles de la série de terme généralu_n. Montrer que si(t_n) converge, alors pour toutε >0, il existe un entier natureln₀ tel que pour tousn>n₀, p>0,|t_n+p−t_n|6ε.

5. a)Soient (n, k)∈(N^∗)². Montrer que P^k

j=1 an+j

Sn+j >1−_S^Sn

n+k. b)En déduire que

P_an

Sn

diverge.

6. a)Montrer que pour tout entier natureln, an

(S_n)² 6 1 Sn−1

− 1 S_n. b)En déduire que P _an

(Sn)² converge.

Stanislas A. Camanes