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Donc la suite ( un ) est une suite strictement décroissante

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Academic year: 2022

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Première STG Exercices sur le chapitre 7 : E8. 2007 2008

E8 Trouver le premier terme qui franchit un seuil donné et le rang de ce terme.

N ° 37.

Soit la suite arithmétique ( un ) de terme initial u0 = 5 et de raison a = -1,5.

1. La raison de cette suite est strictement négative. Donc la suite ( un ) est une suite strictement décroissante.

2. a ) u1 = u0 + a = 5 − 1,5 = 3,5.

u2 = u1 + a = 3,5 − 1,5 = 2 u3 = u2 + a = 2 − 1,5 = 0,5.

u4 = u3 + a = 0,5 − 1,5 = - 1.

b ) u3 > 0 et u4 < 0. Donc le premier terme de la suite inférieur ou égal à 0 est le terme u4.

Le rang de ce terme est le rang numéro 4.

c ) Interprétation graphique de ce résultat :

à partir du rang 4, tous les termes de la suite se situent en dessous de l'axe des abscisses.

3. a ) Ecrivons le terme un en fonction de n : un = u0 + na = 5 − 1,5 n

b ) un ≤ - 30 ⇔ 5 − 1,5 n ≤ - 30 ⇔ -1,5 n ≤ - 30 − 5 ⇔ -1,5 n ≤ - 35 ⇔ n ≥ 350 15

c ) 350

15 ≈ 23,333. Donc u24 ≤ - 30. Donc la plus petite valeur de l'entier n tel que un ≤ - 30 est 24.

On note k ce nombre. Calculons : u24 = 5 − 1,5 × 24 = 5 − 36 = -31.

d ) Vérification : calculons uk-1 et en déduisons en que uk est bien le premier terme de la suite inférieur ou égal à -30.

u23 = 5 − 1,5 × 23 = 5 − 34,5 = -29,5.

Et -29,5 > - 30. Donc u24 est bien le premier terme de la suite inférieur ou égal à -30.

4. Réinvestissement : on considère la suite arithmétique ( vn ) de terme initial v1 = 2 et de raison a = 3,5.

a ) Justifions que la suite est strictement croissante.

La raison de cette suite est strictement positive. Donc la suite ( un ) est une suite strictement croissante.

b ) Déterminons, par le calcul, le rang k du premier terme de la suite qui est supérieur ou égal à 200.

Cherchons k tel que

uk ≥ 200 ⇔ 2 + ( k − 1 ) × 3,5 ≥ 200 ⇔ ( k − 1 ) × 3,5 ≥ 198 ⇔ k − 1 ≥ 1980

35 ⇔ k ≥ 1980

35 + 1 ⇔ k ≥ 2015 35 . or 2015

35 ≈ 57,57. Donc k = 58.

Vérifions v57 = 2 + 56 × 3,5 = 2 + 196 = 198 et v58 = 2 + 57 × 3,5 = 2 + 199,5 = 201,5

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