Première STG Exercices sur le chapitre 7 : E8. 2007 2008
E8 Trouver le premier terme qui franchit un seuil donné et le rang de ce terme.
N ° 37.
Soit la suite arithmétique ( un ) de terme initial u0 = 5 et de raison a = -1,5.
1. La raison de cette suite est strictement négative. Donc la suite ( un ) est une suite strictement décroissante.
2. a ) u1 = u0 + a = 5 − 1,5 = 3,5.
u2 = u1 + a = 3,5 − 1,5 = 2 u3 = u2 + a = 2 − 1,5 = 0,5.
u4 = u3 + a = 0,5 − 1,5 = - 1.
b ) u3 > 0 et u4 < 0. Donc le premier terme de la suite inférieur ou égal à 0 est le terme u4.
Le rang de ce terme est le rang numéro 4.
c ) Interprétation graphique de ce résultat :
à partir du rang 4, tous les termes de la suite se situent en dessous de l'axe des abscisses.
3. a ) Ecrivons le terme un en fonction de n : un = u0 + na = 5 − 1,5 n
b ) un ≤ - 30 ⇔ 5 − 1,5 n ≤ - 30 ⇔ -1,5 n ≤ - 30 − 5 ⇔ -1,5 n ≤ - 35 ⇔ n ≥ 350 15
c ) 350
15 ≈ 23,333. Donc u24 ≤ - 30. Donc la plus petite valeur de l'entier n tel que un ≤ - 30 est 24.
On note k ce nombre. Calculons : u24 = 5 − 1,5 × 24 = 5 − 36 = -31.
d ) Vérification : calculons uk-1 et en déduisons en que uk est bien le premier terme de la suite inférieur ou égal à -30.
u23 = 5 − 1,5 × 23 = 5 − 34,5 = -29,5.
Et -29,5 > - 30. Donc u24 est bien le premier terme de la suite inférieur ou égal à -30.
4. Réinvestissement : on considère la suite arithmétique ( vn ) de terme initial v1 = 2 et de raison a = 3,5.
a ) Justifions que la suite est strictement croissante.
La raison de cette suite est strictement positive. Donc la suite ( un ) est une suite strictement croissante.
b ) Déterminons, par le calcul, le rang k du premier terme de la suite qui est supérieur ou égal à 200.
Cherchons k tel que
uk ≥ 200 ⇔ 2 + ( k − 1 ) × 3,5 ≥ 200 ⇔ ( k − 1 ) × 3,5 ≥ 198 ⇔ k − 1 ≥ 1980
35 ⇔ k ≥ 1980
35 + 1 ⇔ k ≥ 2015 35 . or 2015
35 ≈ 57,57. Donc k = 58.
Vérifions v57 = 2 + 56 × 3,5 = 2 + 196 = 198 et v58 = 2 + 57 × 3,5 = 2 + 199,5 = 201,5
