Terminale STG Exercices sur le chapitre 9 : E9 et E10. page n ° 1 2007 2008
E9 Application : premier terme d'une suite géométrique franchissant un seuil donné.
N ° 10
Soit ( un ) la suite géométrique de raison b = 2,2 et de terme initial u0 = 0,3.
Déterminer le premier terme de la suite qui est strictement supérieur à 105 cela signifie rechercher n lorsque
un > 105 ⇔ 0,3 × 2,2n > 105 ⇔ 2,2n >
3 , 0 105
⇔ ln ( 2,2n ) >ln ( 3 , 0 105
) ⇔ ⇔ n ln ( 2,2 ) > ln ( 3 , 0 105
)
⇔ n >
) 2 , 2 ln(
3) , 0 10 ln(
5
⇔ n > 16,129.
Le premier terme de la suite qui est strictement supérieur à 105 est u17 = 0,3 × 2,217 ≈ 1989749,859.
Donnons la limite de la suite ( un ).
b = 2,2. Donc b > 1. D'où lim ( un ) = + ∞.
N ° 11
Soit ( vn ) la suite géométrique de raison b = 2
3 et de premier terme v0 = 500.
Déterminer le premier terme de la suite qui est strictement inférieur à 1 cela signifie rechercher n lorsque un < 1 ⇔ 500 × ( 2
3 )n < 1 ⇔ ( 2
3 )n < 1
500 ⇔ ln ( ( 2
3 )n )< ln ( 1
500 ) ⇔ n ln ( 2
3 ) < ln ( 1 500 ) ⇔ n >
3) ln(2
500) ln( 1
⇔ n > 15,327
Donc le premier terme de la suite qui est strictement inférieur à 1 est u16 = 500 × ( 2
3 )16 ≈ 0,761.
Donnons la limite de la suite ( vn ).
b = 2
3 . Donc b < 1. Donc lim ( un ) = 0.
E10 A la découverte du nombre e.
1. Traçons la courbe représentative de la fonction ln sur l'intervalle [ 1,5 ; 4 ] avec un pas de 0,1.
Voir page n ° 2.
2. Résoudre graphiquement la solution de l'équation ln ( x ) = 1 cela signifie rechercher l'abscisse du point de la courbe dont l'ordonnée vaut 1. Voir graphique pointillés rouges. La solution est proche de 2,72.
3. ln ( e ) = 1.
Pour tout nombre réel k.
ln ( ek ) = k ln ( e ) = k × 1 = k.
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Question 1.
