Seconde Exemple de corrigé du DS3. Page n ° 1 2007 2008
E1
5 x 5
3 x
2 −+ ≥ 1 ⇔ 5 x 5
3 x
2 −+ − 1 ≥ 0 et 5x − 5 ≠ 0 ⇔
5 x 5
) 5 x 5 ( 1 3 x 2
− −
−
+ ≥ 0 et 5x ≠ 5 ⇔
5 x 5
5 x 5 3 x
2 + −− + ≥ 0 et x ≠ 1
5 x 5
3 x
2 −+ ≥ 1 ⇔ 5 x 5
8 x 3−+
− ≥ 0 et x ≠ 1.
− 3x + 8 = 0 ⇔− 3x = − 8 ⇔ x = 8 3
x −∞ 1 8
3 +∞
− 3x + 8 + + 0 −
5x − 5 − 0 + +
f(x) − + 0 −
L'ensemble des solutions de l'inéquation 5 x 5
3 x
2 −+ ≥ 1 est ] 1 ; 8 3 ].
E2
1. Le domaine de définition de la fonction g est l'ensemble des réels x tels que g ( x ) existe.
La représentation graphique de g est représentée sur l'intervalle [ − 3,5 ; 3,5 ]. Voir pointillés rouges.
Donc le domaine de définition de la fonction g est [ − 3,5 ; 3,5 ].
2. L'image de 2 est l'ordonnée du point d'abscisse 2. Or le point B a pour coordonnées ( 2 ; 0 ).
Voir croix bleue. Donc l'image de 2 est égale à 0.
3. Les antécédents de 0 sont les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée est égale à 0.
Il y a deux points d'intersection entre la courbe de g est l'axe des abscisses ( − 2 ; 0 ) et ( 2 ; 0 ).
Voir croix bleue et croix verte. Les antécédents de 0 sont − 2 et 2.
4. g ( 0 ) est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 0 c'est à dire A ( 0 ; − 2 ).
Voir croix violette.
Donc g ( 0 ) = − 2.
5. Résoudre graphiquement g ( x ) = 2,5 cela signifie rechercher les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée est égale à 2,5. Je trace la droite d'équation y = 2,5. Voir pointillés turquoises. Elle coupe la courbe en deux points ( − 3 ; 2,5 ) et ( 3 ; 2,5 ).
Ainsi l'ensemble des solutions de l'équation g (x ) = 2,5 est { − 3 ; 3 }.
6. Résoudre graphiquement g (x ) < 0 cela signifie rechercher les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée est strictement inférieure à 0. L'ensemble des solutions est ] − 2 ; 2 [.
7. Tableau de variation de g.
x − 3,5 0 3,5
4,125 4,125
f
− 2
Seconde Exemple de corrigé du DS3. Page n ° 2 2007 2008
E3
Soit f la fonction donnée par l'expression f ( x ) = 2 − x 3
−1
1. Le domaine de définition de f est l'ensemble des valeurs de x telles que f ( x ) existe.
f ( x ) existe lorsque 3 − x ≠ 0 ⇔ x ≠ 3.
Donc D = ] − ∞ ; 3 [ U ] 3 ; + ∞ [.
2. f ( − 2 ) = 2 − ) 2 ( 3
1−
− = 2 − 1
5 = 2 − 0,2 = 1,8 L'image de − 2 par f est égale à 1,8.
3. f ( 2 3 ) = 2 −
3 3 2
1
− = 2 − 3 2 3 9 1
− = 2 − 3
71 = 2 − 3 7 = 14
7 − 3 7 = 11
7
4. a ) f ( x ) = 4 ⇔ 2 − x 3
−1 = 4 et x ∈ D ⇔ 2 − 4 = x 3
−1 et x ∈ D ⇔ − 2 = x 3
−1 et x ∈ D
f ( x ) = 4 ⇔− 2 ( 3 − x ) = 1 et x ∈ D ⇔− 6 + 2x = 1 et x ∈ D ⇔ 2x = 7 ⇔ x = 7 2 = 3,5.
L'ensemble des solutions de l'équation f ( x ) = 4 est { 3,5 }.
b ) L'antécédent de 4 par f est la valeur de x qui vérifie f ( x ) = 4.
D'après la question précédente f ( x ) = 4 ⇔ x = 3,5.
Donc l'antécédent de 4 par f est 3,5.
5. f ( x ) ≤ 0 ⇔ 2 − x 3
−1 ≤ 0 et x ∈ D ⇔ x 3
1 ) x 3 ( 2
− −
− ≤ 0 et x ∈ D ⇔ x 3
1 x 2
6−− − ≤ 0et x ∈ D
f ( x ) ≤ 0 ⇔ x 3
x 2
5−− ≤ 0 et x ∈ D
5 − 2x = 0 ⇔ 5 = 2x ⇔ x = 2,5.
x −∞ 2,5 3 +∞
5 − 2x + 0 − −
3 − x + + 0 −
f(x) + 0 − +
L'ensemble des solutions de l'inéquation f ( x ) ≤ 0 est [ 2,5 ; 3 [.
Seconde Exemple de corrigé du DS3. Page n ° 3 2007 2008
6. Soient u ∈ ] 3 ; + ∞ [ et v ∈ ] 3 ; + ∞ [.
Si 3 < u < v alors − 3 > − u > − v car multiplier par un nombre négatif change le sens des inégalités. P1
D'où 0 > 3 − u > 3 − v car ajouter un nombre ne change pas le sens des inégalités. P2
D'où u 3
−1 <
v 3
−1 car la fonction inverse est strictement décroissante sur ] 0 ; + ∞ [.
D'où − u 3
−1 > − v 3
1− car P1
D'où 2 − u 3
−1 > 2 − v 3
−1 car P2
D'où f ( u ) > f ( v )
Donc la fonction f est strictement décroissante sur ] 3 ; + ∞ [.
7. Soient u ∈ ] − ∞ ; 3 [ et v ∈ ] − ∞ ; 3 [
Si u < v < 3alors − u > − v > − 3 car multiplier par un nombre négatif change le sens des inégalités. P1
D'où 3 − u > 3 − v > 0 car ajouter un nombre ne change pas le sens des inégalités. P2 D'où
u 3
−1 <
v 3
−1 car la fonction inverse est strictement décroissante sur ] 0 ; + ∞ [.
D'où − u 3
−1 < − v 3
1− car P1
D'où 2 − u 3
−1 < 2 − v 3
−1 car P2
D'où f ( u ) > f ( v )
Donc la fonction f est strictement décroissante sur ] − ∞ ; 3 [ .
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A
B
2 3 4
-1 -2
-3 -4
2 3 4
-1
-2
-3
0 1
1
x y
A
B
