1. Tracer sans calculatrice l’allure des courbes des fonctions suivantes : f(x) = 5(x − 2) 2 − 3, g(x) = 5

Exercices pour démarrer en Analyse Point de vue graphique

Exercice 1 (Fonctions associées)

1. Tracer sans calculatrice l’allure des courbes des fonctions suivantes : f(x) = 5(x − 2) ² − 3, g(x) = 5

x − 2 + 3, h(x) = −2 √

x + 5 + 3.

2. Démontrer par le calcul que la courbe de f (resp. de g ) admet un axe (resp. un centre ) de symétrie.

Exercice 2 (Un dessin) On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = |x − 1| + |x − 2|.

1. Représenter graphiquement (sans calculatrice) la fonction f , en déduire les minima de f . 2. La fonction f est-elle dérivable sur R ?

Exercice 3 Pour m ∈ R , on considère la fonction f m définie sur R par f _m (x) = x + m

x ² + 1 . On note C m la courbe représentative de f m .

1. Démontrer que les tangentes aux courbes C _m au point d’abscisse 0 sont parallèles.

2. Démontrer que les tangentes aux courbes C _m au point d’abscisse 1 sont concourantes.

Exercice 4 (Monster’s killer) La figure ci-contre représente un écran de jeu vidéo. Un avion

remonte à l’écran de gauche à droite en suivant la courbe d’équation y = −1 − ¹ _x . L’avion peut

tirer des missiles selon la tangente à sa trajectoire. En quels points de sa trajectoire l’avion doit-

il tirer ses missiles pour abattre successivement les quatre monstres situés en haut de l’écran

en (1, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 0) ?

Généralités sur la monotonie et la dérivabilité

Exercice 5 (Somme de fonctions croissantes) Démontrer que la somme de fonctions crois- santes sur I est encore une fonction croissante sur I. Le produit de fonctions croissantes sur I est-il une fonction croissante sur I ?

Exercice 6 Étudier, sans calcul de dérivée, la monotonie des fonction suivantes :

1. f : x 7→ √

2 − ln x 2. g : x 7→ exp((x − 2) ² + 1)

Exercice 7 Sans se soucier des ensembles de dérivation, calculer la dérivée des fonctions : 1. f (x) = (ln x + 3x) ² 2. f (x) = exp(sin(x ³ )) 3. f(x) = ^q _x−1 ^x

4. f (x) = ln(ln(ln x)) 5. f (x) =

s r q √

x.

Exercice 8 Soit f, g, h trois fonctions dérivables de R dans R . Donner la dérivée de la fonction f ◦ g ◦ h.

Exercice 9 Soit f : R → R une fonction dérivable. On pose pour x ∈ R , g(x) = f (x ² ) et h(x) = (f (x)) ² . Justifier que g et h sont dérivables et donner leur dérivée.

Exercice 10 Soit n ∈ N . Calculer la dérivée n-ième des fonctions 1. x 7→ √

1 + 2x 2. x 7→ 3 ^x . 3. x 7→ x ² e ^3x .

Exercice 11 Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes définies par : 1. f (x) = |x ³ | 2. f (x) = |x ⁴ | 3. f(x) = √

x ⁵ − 3x ⁴ + 2x ³ . Exercice 12 Démontrer que pour tout x > 0, on a √

x 6 ^x+1 ₂ .

Exercice 13 Déterminer la convexité de f : x 7→ x(x − 1)(x − 4) et tracer son graphe.

Étude de fonctions

Exercice 14 (une étude modèle) On pose f : x 7→ ln(e ^x − 1).

1. Donner l’ensemble de définition de f , les variations et les limites de f.

2. Déterminer le (ou les) point(s) où la courbe de f coupe l’axe des abscisses. Préciser la tangente en ce (ou ces) point(s).

3. Étudier la convexité de f

4. Montrer que la courbe de f admet des asymptotes en +∞ et préciser la position.

Exercice 15 On veut étudier la fonction f définie par f (x) = x ^q 2 − √ x.

1. Déterminer l’ensemble de définition de f.

2. Démontrer que f est dérivable en 0 et préciser f ⁰ (0).

3. Déterminer lim

h→0

√

2− √ 4+h

h (on pourra multiplier par

q

2 + √

4 + h). La fonction f est-elle dérivable en 4 ?

4. Terminer l’étude.

Exercice 16 On considère la fonction f définie sur [0, +∞[ par f(x) = √

x ln(x) si x > 0 et f (0) = 0.

1. Déterminer la limite de f en 0. Que peut-on en déduire ? Démontrer que la courbe de f admet une tangente verticale en 0.

2. Étudier la fonction f en +∞, puis terminer l’étude de f .

Exercice 17 (Une étude de fonction) On considère la fonction f : x 7→ √

x ⁵ − x ³ . 1. Donner son ensemble de définition.

2. Étudier la dérivabilité de f en 0 et en 1.

3. Justifier que f est dérivable sur un certain ensemble et calculer sa dérivée.

4. Donner le tableau de variation complet de f. Donner la nature de la branche infinie.

5. Tracer l’allure de la courbe de f (on peut utiliser librement que la courbe de f admet une tangente verticale au point d’abscisse −1). On ne demande pas de tracé précis mais on fera figurer toutes les tangentes remarquables...

Puissances non entières

Exercice 18 Résoudre dans R les équations : 1. e ^2x − 3e ^x + 2 = 0. 2. x

√ x = √ x ^x .

Exercice 19 Déterminer la dérivée des fonctions f suivantes définies par :

1. f (x) = x ^(x

⁾ sur ]0, +∞[ 2. f (x) = exp(x) ^x sur ]0, +∞[

3. f (x) = u(x) ^v(x) avec u : R →]0, +∞[ et v : R → R dérivables

Exercice 20 (Quelques limites) Les questions sont indépendantes.

1. Déterminer les limites lorsque x tend vers 0 de (x ^x ) ^x et x ^(x

⁾ .

2. Déterminer la limite en 0 de exp(−1/x ² ) puis de (exp(−1/x ² )) ^x

. Peut-on donner un sens à 0 puissance 0 ?

3. Comparer les comportements au voisinage +∞ de exp(x) et 3 ^x .

Exercice 21 Déterminer les variations de la fonction f : x 7→ 2 ^x + 3 ^x . En déduire les solutions

de l’équation 2 ^x + 3 ^x = 5.

Exercice 22 On note f la fonction définie sur [0, +∞[ par f (x) = x ^{√ x} si x > 0 et f(0) = 1.

1. Étudier les variations de f .

2. Déterminer l’allure de f au voisinage de +∞.

3. Déterminer la limite de f en 0. Que peut-on en déduire ? La fonction f est-elle dérivable en 0 ? .

4. Terminer l’étude de la fonction f.

Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Exercice 23 Dans les trois cas suivants, étudier la continuité et la dérivabilité en 1 de la fonction f définie sur R par :

1. f (x) = x ² − 3 si x 6 1 et f (x) = 3x + 1 sinon.

2. f (x) = x ² − 3 si x 6 1 et f (x) = 3x − 5 sinon.

3. f (x) = x ² − 3 si x 6 1 et f (x) = 2x − 4 sinon.

Exercice 24 (Un résultat important) Soit P la fonction polynomiale définie par P (x) = 5x ²⁰¹⁷ + 23x ⁴⁵ − 53x ⁴ + 121x − 89.

1. Démontrer que P s’annule au moins une fois.

2. Ce résultat persiste-il si l’on remplace x ²⁰¹⁷ par x ²⁰¹⁸ ou x ²⁰¹⁹ ? Proposer une généralisation de cet exercice.

Exercice 25 (Une équation)

1. Démontrer que pour x 6 0, on a e ^−x

6= e ^x − 1.

2. Démontrer que l’équation e ^−x

= e ^x − 1 admet une unique solution dans R .

Exercice 26 (Autour des points fixes) Si f est une fonction réelle définie sur une partie A de R , on appelle point fixe de f tout réel a de A tel que f (a) = a. Les questions peuvent être traitées de manière indépendante.

1. Déterminer les points fixes de la fonction f définie sur R par f (x) = x ³ − 3x ² + 3x.

2. La fonction exp admet-elle un point fixe dans R ? Justifier.

3. Soit f : [0, 1] → R une fonction continue telle que ∀x ∈ [0, 1], f(x) ∈ [0, 1]. On pose pour x ∈ [0, 1], g(x) = f (x) − x.

(a) Déterminer le signe de g(0) et de g(1).

(b) En déduire que g s’annule sur [0, 1] puis que f admet un point fixe.

(c) Le point fixe de f est-il unique ?

Fonctions hyperboliques

On pourra éventuellement refaire certaines parties du «devoir maison 0».

Exercice 27 Démontrer que la fonction _ch ¹ admet un unique point fixe sur R . Exercice 28 (Deux inégalités)

1. Démontrer que pour tout t > 0, sh t > t.

2. Soit x > 0. Démontrer en calculant ^R ₀ ^x sh(t) dt, que ch x > 1 + x ²

2 . 3. L’inégalité précédente reste-t-elle vraie pour x négatif ?

Divers

Exercice 29 (Une technique classique) Soit n ∈ N . 1. Calculer

n

X

k=0

k n k

!

en dérivant de deux façons différentes la fonction f : x 7→ (1 + x) ⁿ .

2. Calculer aussi

n

X

k=0

1 k + 1

n k

!

(on pourra intégrer entre 0 et 1).

Exercice 30 (Une identité binomiale) Soit n ∈ N ^∗

1. Soit k et N dans N ^∗ tels que p 6 N. Calculer la dérivée p-ième de la fonction x 7→ x ^N . 2. En déduire en calculant de deux façons la dérivée n-ième de x 7→ x ²ⁿ , que :

n

X

k=0

n k

! 2

= 2n n

!

.

Exercice 31 (Fonctions qui transforment les produits en somme) Le but de l’exercice est de déterminer toutes les fonctions f : R ⁺ ∗ → R dérivables vérifiant l’égalité :

(?) ∀(x, y) ∈ R ⁺ ∗ , f(xy) = f(x) + f(y).

Pour cela on mène un raisonnement par «analyse-synthèse».

Soit f : R ⁺ ∗ → R une fonction dérivable de R dans R vérifiant l’égalité (?).

1. Déterminer f (1).

2. Soit y > 0 un réel fixé. En considérant la dérivée de la fonction g définie par g(x) = f(xy), démontrer que :

∀x > 0, yf ⁰ (xy) = f ⁰ (x).

3. En déduire qu’il existe un réel a tel que pour tout y > 0, on a f ⁰ (y) = ^a _y , puis conclure.