2.- Fonctions équivalentes :
a.- Définition :
Soient f et g deux fonctions définies dans un voisinage d’un point x0 (x0∈IRou x0 =±∞).
On suppose, de plus, que g ne s’annule pas dans un voisinage de x0, sauf peut-être en x0 où l’on peut avoir g(x0)=0.
On dit que f est équivalente à g au voisinage de
x
0 si, et seulement si : 1 ) () lim (
0
→ g x = x f
x x
On note cela par
f
x0
~
g
.On dit aussi
f
etg
sont équivalentes au voisinage dex
0 ou enx
0.b.- Exemple :
1) Au voisinage de zéro, les fonctions f(x)=Log
(
x+1)
et g(x)=x sont équivalentespuisque
( )
1 1 lim
0
+ =
→ x
x Log
x .
On note Log
(
x)
~ x0
+1 .
2) Toujours, au voisinage de zéro, sin x ~x car sin 1
lim0 =
→ x x
x .
3) Au voisinage de l’infini, le polynôme
2 x
8+ x
7+ x + 1
∞
+~
2 x
8.4) On a : lim 1 lim 1 0 1
2 2
= +
= +
+ =
+
→ +∞
→ x x x
x
x e
x e
x
e ,
d’où ex +x2
∞ +~ ex. c.- Remarque :
Là encore, cette notion n’est valable qu’au voisinage d’un certain point. Pour reprendre, l’exemple précédent où on avait ex +x2~exau voisinage de +∞, on plus cela au voisinage de
1, par exemple, car 1 1
lim
2
1 + ≠
+ =
→ e
e e
x e
x x
x .
d.- Théorème : La relation
x0
~ , « équivalence de deux fonctions au voisinage de
x
0», est une relation d’équivalence dans l’ensemble des fonctions définies dans un voisinage dex
0.Démonstration : Réflexivité : f
x0
~ f Symétrie : f
x0
~ g ⇒ g
x0
~ f
Transitivité : f
x0
~ g i.e. 1 ) (
)
lim
(0
=
→ g x
x f
x x
et g
x0
~ h i.e. 1 ) (
)
lim
(0
=
→ h x x g
x x
Alors
) (
) ( )
( ) ( )
( ) ( ) (
) ( )
( )
(
lim lim lim
lim
0 0
0
0 h x
x g x
g x f x
h x g x g
x f x
h x f
x x x
x x
x x
x→ → → →
×
=
×
=
= 1x1 = 1 D’où f
x0
~ h e- Remarque :
Dans la définition et le théorème précèdent, on a supposé qu’il existe un voisinage de
x
0, tel que f et g ne s’annulent pas dans ce voisinage sauf peut-être enx
0.f.-Proposition :
Si f
x0
~ g et si
lim ( ) 0
0
≠
=
→
x l f
x
x alors
= l
→
( ) lim
0
x
x
g
x
Démonstration :
f x
f
x x
≠ ⇒
=
→
( ) 0
lim
0
l
x0
~ l
⇒g
x0
~ l
f
x0
~ g
= l
⇒
→
( ) lim
0
x
x
g
x
Donc :
Pour chercher la limite d’une fonction
f
, on peut remplacerf
par une fonction équivalente.Proposition :
f
~0f
1et ⇒
f g
0
~ f1 g1 et g
f
0
~
1 1
g f
g
~ g1Exemple : 1)
2) 1- cos x = 2 sin²
2 x
sin 2x
0
~
sin ² 2 2
x x⇒
0
~ ) 2sin²2
(2x 2 ⇒ x
0
~
)²
( 2 2
xD’où 1-cos x
0
~ 2
² x
Remarque : Si f
0
~ f1 et g
0
~ g1, on n’a pas un général f + g
0
~ f1 + g1 En effet ;
On a :
x
2+ x
30
~
x
2+ x
4et -x²
~0 -x²
Mais
( x
2+ x
3) − x
2= x
3 n’est pas équivalente à( x
2+ x
4) − x
2= x
4 au voisinage de 0.II.- Développement limités :
1) Formule de Taylor-Young :
* Soit f une fonction dérivable en un point
x0, alors fpeut-être approché dans un voisinage de x0 par un polynôme de degré 1. En effet,
f dérivable en x0⇒
) ( ) ' ( )
lim (
00 0 0
x x f
x x f x f
x x
− =
−
→
Si on pose '( ) ( )
) ( ) (
0 0
0 f x x
x x
x f x
f − =ε
−
−
, alors
lim ( ) 0
0
=
→
x
x x
ε
Donc
( ) ( ) ( )
! 1
) ( ) ( ) (
0 0
0
0
f x x x x
x x x f x
f + − ε
− +
=
aveclim ( ) 0
0
=
→
x
x x
ε
.cos x
~0 x
⇒tg x
0
~ x sin x
0
~ x
*Si, on applique un raisonnement analogue pour la dérivée seconde, on obtiendra :
) ( ) ( ) (
"
! 2
) ( ) (
! ' 1
) ( ) ( )
(
20 0
2 0 0
0
0 f x x x x
x x x f x x x f x
f + −
ε
− +
− +
= , avec
lim ( ) 0
0
=
→
x
x x
ε
.alors fpeut-être approché dans un voisinage de
x0 par un polynôme de degré 2.
*et avec la dérivée troisième, on aura :
) ( ) ( )
! ( 3
) ( ) (
"
! 2
) ( ) (
! ' 1
) ( ) ( )
( 3
0 0
) 3 ( 3 0 0
2 0 0
0
0 f x x x x
x x x f x x x f x x x f x
f + − ε
− +
− +
− +
= , avec
lim ( ) 0
0
=
→
x
x x
ε
alors fpeut-être approché dans un voisinage de
x0 par un polynôme de degré 3.
………
*et si on continue ainsi, jusqu’à la dérivée nème, on arrive à écrire :
0 0 ) 0 ( 0
0 2
0 0
0 ( ) ( ) ( )
! ) ( ...
) (
"
! 2
) ( ) (
! ' 1
) ( ) ( )
( f x x x x
n x x x
f x x x f x x x f x
f n n
n
ε
− +
− + +
− +
− +
= ,
avec
0 ) lim (
0
=
→
x
x x
ε
alors fpeut-être approché dans un voisinage de
x0 par un polynôme de degré n
Soit f une fonction indéfiniment dérivable sur un intervalle] a, b [de IR et soit ∈ x0 ]a,b[.
Pour tout n∈IN , il existe une fonction εdéfinie sur]a, b [telle que ∀n∈IN .
( ) ( ) ( )
)
! ( )
! ( ) 2
! ( ) 1 ( )
( 0 0 ( ) 0
2 0 0
0
0 f x
n x x x
x f x x
x f x x
f x
f n
− n
+
′′ + + −
− ′ +
= L +( ) ()
0 x
x x− nε avec
lim ( ) 0
0
=
→
x
x x
ε
Et bien sur, f (n) désigne la dérivée nème def.
• Pour 0
0
x= , la formule précédente devient :
) ( ) 0
! ( ...
) 0 (
"
! ) 2 0 (
! ' ) 1 0 ( ) ( [, ,
] ( )
2
x x n f
f x f x
f x x f b a
x n n
n
ε + +
+ +
+ +
=
∈
∀ , avec
lim ( ) 0
0
=
→
x
x
ε
Remarque :
Le dernier terme xnε(x)de cette formule est négligeable devant xn au voisinage de 0 car
0
) lim ( )
lim (
00
= =
→ →
x x
x x
n x n x
ε ε
.C’est-à-dire : xnε(x)=o(xn). On peut donc encore écrire :
) ( ) 0
! ( ...
) 0 (
"
! ) 2 0 (
! ' ) 1 0 ( )
( ( )
2
n n
n
x o n f
f x f x
f x x
f = + + + + + , au voisinage de zéro.
Cette dernière formule qui nous servira le plus dans la suite s’appelle formule de Taylor- Young.
