Exercice n°2 5 points – Exercice n°1 5 points – – –

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DM – révision Bac n°1 – 4h.

Exercice n°1 – 5 points

Partie A

Soit f la fonction définie sur R par : f (x)=/f{¤;1+e^{-¤x}}

1. Démontrer que f est strictement croissante sur R.

2. Justifier que la droite Δ d'équation y=#1 est asymptote à la courbe représentative de f.

3. Démontrer que l'équation f(x)=0,¤ admet une unique solution α sur R.

4. Déterminer un encadrement de α d'amplitude 10

.

Partie B

Soit h la fonction définie sur R par h(x)=#1 – f (x).

1. Justifier que la fonction h est positive sur R.

2. On désigne H la fonction définie sur R par H(x)= – /fs{#1;#2}ln(1+e^{-#2x}).

Démontrer que H est une primitive de h sur R.

3. Soit a un réel positif.

a. Donner une interprétation graphique de l'intégrale /int{0;a;h(x)dx} avec la fonction f.

b. Démontrer que /int{0;a;h(x)dx} = /fs{#1;#2} ln (/f{2;1+e^{-#2a}})

c. On note d l'ensemble des points M(x;y) du plan défini par : x ≥ 0 et f (x) ≤ y ≤ #1

Déterminer l'aire, en unité d'aire, du domaine d.

Exercice n°2 – 5 points

Partie A

Soit (u

) la suite définie par son premier terme u

et, pour tout entier naturel n, par la relation u

= au

+ b (a et b étant des nombres réels non nuls, et a ≠1).

On pose, pour tout entier naturel n, v

=u

– b 1 – a ^.

1. Démontrer que la suite (v

) est géométrique de raison a.

2. En déduire à quelle condition la suite (u

) est convergente, et, quand elle l'est, sa limite en fonction de a et b.

Partie B

En mars 2015, /t{Émilie;Isabelle;Sonia;Chloé} achète un arbuste mesurant /t{40;50;60;70;80;90} cm. On lui conseille de le tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant /t{10;20;30;40} % de sa hauteur. L'arbuste poussera alors de /t{10;20;30;40;50} cm au cours des douze mois suivants.

Dés qu'elle rentre chez elle, #5 taille son arbuste.

1. Quelle sera la hauteur de son arbuste en mars 2016, avant qu'elle ne la taille ?

2. Pour tout entier naturel n, on note h

la hauteur de l'arbuste, avant sa taille, en mars de l'année (2015+n).

a. Exprimer h

en fonction de h

.

b. En justifiant à l'aide des résultats de la partie A, indiquer si la suite est convergente ou non.

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c. Interpréter ce résultat pour l'arbuste.

Exercice n°3 – 5 points

On se place dans un repère orthonormé et, pour tout entier naturel n, on définit les points (A

) par leurs coordonnées (x

;y

) de la façon suivante :

/se{x_0=-3;y_0=4} et pour tout entier naturel n :

/se{x_{n+1}=/t{0.6;0.8}x_n–/si{#9=0.6;0.8;0.6} y_n;y_{n+1}=/si{#9=0.6;0.8;0.6} x_n+#9y_n}

1.a. Déterminer les coordonnées des points A

, A

et A

.

1.b. Pour construire les points A

ainsi obtenus, on écrit l'algorithme suivant : Variables :

i,x,y,t : nombres réels Initialisation : x prend la valeur -3 y prend la valeur 4 Traitement : Pour i allant de 0 à 20

Construire le point de coordonnées (x;y) t prend la valeur x

x prend la valeur …..

y prend la valeur …..

Fin Pour.

Recopier et compléter cet algorithme pour qu'il construise les points A

à A

. 1.c. Dans un repère orthonormé, placer les 21 points A

à A

.

1.d. Que semble-t-il se passer ?

2. Dans le plan complexe, on nomme, pour tout entier naturel n, z

=x

+ iy

l'affixe du point A

.

a. Soit u

=|z

|. Montrer que, pour tout entier naturel n, u

= 5. Quelle interprétation géométrique peut-on faire de ce résultat ?

b. On admet qu'il existe un réel θ tel que cos(θ) = #9 et sin(θ) = /si{#9=0.6;0.8;0.6}. Montrer que, pour tout entier naturel n, e

z

=z

.

c. Démontrer que, pour tout entier naturel n, z

=e

z

. d. Montrer que θ+ π

2 est un argument du nombre complexe z

. e. Pour tout entier naturel n, déterminer, en fonction de n et θ, un

argument du nombre complexe z

. Expliquer comment construire le point A

à partir du point A

.

Exercice n°4 – 5 points

1. Résoudre dans l'ensemble C des nombres complexes l'équation (E) d'inconnue z :

z

– ¤z + /calc{#4*#4} =0

2. Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O, ⃗ u , ⃗ v ). On considère les points A, B et C d'affixes respectives z

la racine du polynôme précédent de partie imaginaire négative, z

la racine du polynôme précédent, de partie imaginaire positive, et z

= -(z

+ z

).

a. Calculer le module et l'argument du nombre a.

b. Donner la forme exponentielle des nombres a et b.

c. Montrer que les points A, B et C sont sur un même cercle de centre O, dont on déterminera le rayon.

d. Placer les points A,B et C dans le repère (O, ⃗ u , ⃗ v ).

3. On considère les points A', B' et C' d'affixe respectives a'=a e

π

3

, b'=b e

π 3

et c'=c e

π

3

.

a. Calculer le module et un argument du nombre a'.

b. Calculer le module et un argument du nombre b'.

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c. Donner la forme algébrique de a', b' et c', et placer les points A', B' et C'.

4. On admet que si M et N sont deux points du plan d'affixes respectives m et n alors le milieu I du segment [MN] a pour affixe m+ n

2 et la longueur MN est égale à |n – m|.

a. On note r, s et t les affixes des milieux respectifs R, S et T des segments [A'B], [B'C] et [C'A]. Calculer r, s et t sous forme algébrique et les placer.

b. Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle RST ? Justifier ce résultat.

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