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DM – révision Bac n°1 – 4h.
Exercice n°1 – 5 points
Partie A
Soit f la fonction définie sur R par : f (x)=/f{¤;1+e^{-¤x}}
1. Démontrer que f est strictement croissante sur R.
2. Justifier que la droite Δ d'équation y=#1 est asymptote à la courbe représentative de f.
3. Démontrer que l'équation f(x)=0,¤ admet une unique solution α sur R.
4. Déterminer un encadrement de α d'amplitude 10
-2.
Partie B
Soit h la fonction définie sur R par h(x)=#1 – f (x).
1. Justifier que la fonction h est positive sur R.
2. On désigne H la fonction définie sur R par H(x)= – /fs{#1;#2}ln(1+e^{-#2x}).
Démontrer que H est une primitive de h sur R.
3. Soit a un réel positif.
a. Donner une interprétation graphique de l'intégrale /int{0;a;h(x)dx} avec la fonction f.
b. Démontrer que /int{0;a;h(x)dx} = /fs{#1;#2} ln (/f{2;1+e^{-#2a}})
c. On note d l'ensemble des points M(x;y) du plan défini par : x ≥ 0 et f (x) ≤ y ≤ #1
Déterminer l'aire, en unité d'aire, du domaine d.
Exercice n°2 – 5 points
Partie A
Soit (u
n) la suite définie par son premier terme u
0et, pour tout entier naturel n, par la relation u
n+1= au
n+ b (a et b étant des nombres réels non nuls, et a ≠1).
On pose, pour tout entier naturel n, v
n=u
n– b 1 – a .
1. Démontrer que la suite (v
n) est géométrique de raison a.
2. En déduire à quelle condition la suite (u
n) est convergente, et, quand elle l'est, sa limite en fonction de a et b.
Partie B
En mars 2015, /t{Émilie;Isabelle;Sonia;Chloé} achète un arbuste mesurant /t{40;50;60;70;80;90} cm. On lui conseille de le tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant /t{10;20;30;40} % de sa hauteur. L'arbuste poussera alors de /t{10;20;30;40;50} cm au cours des douze mois suivants.
Dés qu'elle rentre chez elle, #5 taille son arbuste.
1. Quelle sera la hauteur de son arbuste en mars 2016, avant qu'elle ne la taille ?
2. Pour tout entier naturel n, on note h
nla hauteur de l'arbuste, avant sa taille, en mars de l'année (2015+n).
a. Exprimer h
n+1en fonction de h
n.
b. En justifiant à l'aide des résultats de la partie A, indiquer si la suite est convergente ou non.
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c. Interpréter ce résultat pour l'arbuste.
Exercice n°3 – 5 points
On se place dans un repère orthonormé et, pour tout entier naturel n, on définit les points (A
n) par leurs coordonnées (x
n;y
n) de la façon suivante :
/se{x_0=-3;y_0=4} et pour tout entier naturel n :
/se{x_{n+1}=/t{0.6;0.8}x_n–/si{#9=0.6;0.8;0.6} y_n;y_{n+1}=/si{#9=0.6;0.8;0.6} x_n+#9y_n}
1.a. Déterminer les coordonnées des points A
0, A
1et A
2.
1.b. Pour construire les points A
nainsi obtenus, on écrit l'algorithme suivant : Variables :
i,x,y,t : nombres réels Initialisation : x prend la valeur -3 y prend la valeur 4 Traitement : Pour i allant de 0 à 20
Construire le point de coordonnées (x;y) t prend la valeur x
x prend la valeur …..
y prend la valeur …..
Fin Pour.
Recopier et compléter cet algorithme pour qu'il construise les points A
0à A
20. 1.c. Dans un repère orthonormé, placer les 21 points A
0à A
20.
1.d. Que semble-t-il se passer ?
2. Dans le plan complexe, on nomme, pour tout entier naturel n, z
n=x
n+ iy
nl'affixe du point A
n.
a. Soit u
n=|z
n|. Montrer que, pour tout entier naturel n, u
n= 5. Quelle interprétation géométrique peut-on faire de ce résultat ?
b. On admet qu'il existe un réel θ tel que cos(θ) = #9 et sin(θ) = /si{#9=0.6;0.8;0.6}. Montrer que, pour tout entier naturel n, e
iθz
n=z
n+1.
c. Démontrer que, pour tout entier naturel n, z
n=e
inθz
0. d. Montrer que θ+ π
2 est un argument du nombre complexe z
0. e. Pour tout entier naturel n, déterminer, en fonction de n et θ, un
argument du nombre complexe z
n. Expliquer comment construire le point A
n+1à partir du point A
n.
Exercice n°4 – 5 points
1. Résoudre dans l'ensemble C des nombres complexes l'équation (E) d'inconnue z :
z
2– ¤z + /calc{#4*#4} =0
2. Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O, ⃗ u , ⃗ v ). On considère les points A, B et C d'affixes respectives z
Ala racine du polynôme précédent de partie imaginaire négative, z
Bla racine du polynôme précédent, de partie imaginaire positive, et z
C= -(z
A+ z
B).
a. Calculer le module et l'argument du nombre a.
b. Donner la forme exponentielle des nombres a et b.
c. Montrer que les points A, B et C sont sur un même cercle de centre O, dont on déterminera le rayon.
d. Placer les points A,B et C dans le repère (O, ⃗ u , ⃗ v ).
3. On considère les points A', B' et C' d'affixe respectives a'=a e
iπ
3
, b'=b e
iπ 3
et c'=c e
iπ
3
