EXERCICE 2 (5 points )

(1)

EXERCICE 2 (5 points )

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O, − → u , − → v ). i désigne le nombre com- plexe de module 1 et d’argument π

2 .

Soient les points A, B et C d’affixes respectives i, 1 + i et −1 + i.

Soit f l’application qui, à tout point M du plan différent de A, d’affixe z, associe le point M

^′

du plan d’affixe z

^′

tel que :

z

^′

= iz + 2 z − i .

1) a) Déterminer les images de B et de C par l’application f.

b) Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de i, on a la relation : (z

^′

− i)(z − i) = 1.

c) Soit D le point d’affixe −1 + 2i. Placer les points A, B, C et D sur une figure (unité graphique 4 cm).

Déduire de la question précédente une construction du point D

^′

image du point D par l’application f .

2) Soit R un nombre réel strictement positif.

Quelle est l’image par l’application f du cercle de centre A et de rayon R ?

3) a) Montrer que, si l’affixe du point M est un imaginaire pur différent de i, alors l’affixe du point M

^′

est un imaginaire pur. Que signifie ce résultat pour l’image par l’application f de l’axe imaginaire privé du point A ?

b) Soit D la droite passant par le point A et de vecteur directeur − → u . Déterminer l’image de la droite D privée du point A par l’application f.

3

(2)

EXERCICE 2 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

1. a.z_B^′ = i(1+i) +2

(1+i) −i =1+iet z_C^′ = i(−1+i) +2

(−1+i) −i = 1−i

−1 = −1+i. Donc

f(B) =Betf(C) =C.

b.Soitzun nombre complexe distinct dei.

(z^′−i)(z−i) =

iz+2 z−i −i

(z−i) = (iz+2) −i(z−i) =iz+2−iz−1=1.

Pour tout nombre complexezdistinct dei, (z^′−i)(z−i) =1.

c.

θ

−θ

1 2

−1

−2

1 2

−1

b b

b

b b

A B

C

D

D^′

E

NotonsE le point d’affixe1. L’égalité(z_D^′ −i)(zD−i) =1 fournit arg(z_D^′ −i) +arg(zD−i) =arg(1) =0 (à 2kπprès), k∈Zpuis

(−→u ,−−→

AD^′) = −(−→u ,−−AD)→ à 2kπprèsk∈Z.

(3)

Comme−→u =−AB, l’égalité d’angles précédente signifie que la demi-droite→ [AD^′)est la symétrique de la demi-droite[AD) par rapport à la droite(AB).

Mais d’autre part,E est le symétrique de Bpar rapport à la droite (AB)et donc la symétrique de la demi-droite [AD) par rapport à la droite(AB)est aussi la demi-droite [AE). En résumé,[AD^′) = [AE)ce qui signifie que le pointD^′ est sur la demi-droite[AE).

On a aussi|z_D^′ −i|×|zD−i|=1 puisAD^′×AD=1 et doncAD^′ = 1

AD. Comme ADest la longueur de la diagonale d’un carré de côté1, on aAD=√

2et doncAD^′ = 1 AD = 1

√2 =

√2 2 = 1

2AD= 1

2AE. Par suite D^′ est le milieu du segment [AE].

2. SoitRun réel strictement positif. Le cercle de centreAet de rayonRest l’ensemble des points d’affixesi+Re^iθoùθ décritR.

Soit doncθun réel. Posonsz=i+Re^iθ. D’après la question 1.b., on a(z^′−i)(z−i) =1. mais alors(z^′−i)×Re^iθ=1 puisz^′−i= 1

Re^−iθ et finalement

z^′=i+ 1 Re^−iθ. Maintenant, quandθdécrit R,−θdécrit Ret donc

l’image parfdu cercle de centreAet de rayonR est le cercle de centreAet de rayon 1 R.

3. a.Soientyun réel distinct de1puisz=iy. Alors z^′= i(iy) +2

iy−i = 1

i ×−y+2

y−1 = −i−y+2

y−1 =iy−2 y−1, etz^′ est bien un imaginaire pur. On en déduit que

l’image parfde la droite(Oy)privée du pointAest contenue dans la droite (Oy).

b.NotonsD¹la droiteDprivée deA. Les points deD¹sont les points de coordonnées(x, 1),x∈R^∗, ou encore les points d’affixesx+i,x∈R^∗.

Soient doncxun réel non nul puisz=x+i. On a z^′−i= 1 z−i = 1

x puis z^′= 1

x+i.

Maintenant, on sait que quandxdécrit R^∗, 1

x décrit R^∗. Les points def(D¹)sont les points d’affixesx^′+i,x^′ ∈R^∗ ou encore les points de coordonnées(x^′, 1),x^′∈R^∗. Finalement

l’image parfde la droiteDprivée deAest la droiteDprivée deA.