EXERCICE 1 (5 points )

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EXERCICE 1 (5 points )

Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

Le plan est rapporté au repère orthonormal (O, − → u , → − v ). Unité graphique : 3 cm

A tout point M d’affixe z du plan, on associe le point M

^′

d’affixe z

^′

par l’application f qui admet pour écriture complexe :

z

^′

= (3 + 4i)z + 5z

6 .

1) On considère les points A, B, C d’affixes respectives z

A

= 1 + 2i, z

B

= 1 et z

C

= 3i.

Déterminer les affixes des points A

^′

, B

^′

, C

^′

images respectives de A, B, C par f . Placer les points A, B, C, A

^′

, B

^′

, C

^′

.

2) On pose z = x + iy (avec x et y réels).

Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z

^′

en fonction de x et y.

3) Montrer que l’ensemble des points M invariants par f est la droite (D) d’équation y = 1 2 x.

Tracer (D). Quelle remarque peut-on faire ?

4) Soit M un point quelconque du plan et M

^′

son image par f. Montrer que M

^′

appartient à la droite (D).

5) a) Montrer que pour tout nombre complexe z : z

^′

− z z

A

= z + z

6 + i z − z 3 . En déduire que le nombre z

^′

− z

z

A

est réel.

b) En déduire que, si M

^′

6= M , les droites (OA) et (MM

^′

) sont parallèles.

6) Un point quelconque N étant donné, comment construire son image N

^′

? (on étudiera deux cas suivant que N appartient ou non à (D)).

Effectuer la construction sur la figure.

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BACCALAUREAT GENERAL

Session 2005 MATHEMATIQUES

- Série S -

Enseignement Obligatoire Nouvelle Calédonie

EXERCICE 1

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité 1^◦)Siz=zA=1+2i,z^′= 1

6((3+4i)(1+2i) +5(1−2i)) =0.

Siz=zB=1,z^′= 1

6((3+4i)×1+5×1) = 4 3+ 2

3i.

Siz=zC=3i,z^′= 1

6((3+4i)×3i+5×(−3i)) = −2−i.

A^′(0, 0), B^′(4 3,2

3)et C^′(−2,−1).

1 2

−1

−2

1 2 3

−1 O

A

B C

A^′

B^′

C^′

N

N^′

y=

1 2x (D)

b

b b

b

2^◦)Posons encorez^′=x^′+iy^′ oùx^′ ety^′ sont deux réels. On a z^′ = 1

6((3+4i)(x+iy) +5(x−iy)) = 1

6((8x−4y) +i(4x−2y)) = 1

3((4x−2y) +i(2x−y)).

(3)

x^′= 1

3(4x−2y)ety^′= 1

3(2x−y).

3^◦)SoitMun point du plan. On notezson affixe puisxetyles parties réelles et imaginaires dezde sorte que M(x, y).

D’après la question précédente, f(M) =M⇔ 1

3(4x−2y) =xet 1

3(2x−y) =y⇔4x−2y=3xet2x−y=3y⇔x=2yet2x=4y⇔y= 1 2x.

L’ensemble des points invariants parfest la droite d’équationy= 1 2x.

On remarque que les images respectivesA^′,B^′ etC^′ des pointsA,Bet Csont sur(D)et sont donc des points invariants parf.

4^◦)On a vu à la question2^◦)que si Ma pour coordonnées(x, y)alorsM^′

1

3(4x−2y),1

3(2x−y)

. Mais alors, 1 2xM^′ = 1

3(2x−y) =yM^′. On en déduit queM^′ ∈(D).

Pour tout pointMdu plan,M^′=f(M)est invariant parf.

5^◦)a)Soitzun nombre complexe.

z^′−z= 1

6((3+4i)z+5z) −z= 1

6((3+4i)z+5z−6z) = 1

6((−3+4i)z+5z).

puis

z^′−z zA

= 1

6(1+2i)((−3+4i)z+5z) = 1−2i

6(1²+2²)((−3+4i)z+5z) = 1

30((1−2i)(−3+4i)z+5(1−2i)z)

= 1

30((5+10i)z+5(1−2i)z) = 1

6((1+2i)z+ (1−2i)z) = 1 6z+1

6z+1 3iz−1

3iz

= z+z

6 +iz−z 3 .

Pour tout nombre complexez, z^′−z zA

= z+z

6 +iz−z 3 .

Maintenant, si on posez=x+iyoùxetysont deux réels, on obtient z^′−z

zA

= x+iy+x−iy

6 +ix+iy−x+iy

3 = x−2y 3 ∈R.

Pour tout nombre complexez, z^′−z zA

est un réel.

b)SoitMun point du plan tel queM^′6=M. Puisque z^′−z zA

est un réel, on a

−−OA,→ −−−→ MM^′

=arg

z^′−z zA−0

=0à kπprès oùk est un entier relatif.

Ceci montre que les vecteurs−−→

OAet −−−→

MM^′ sont colinéaires ou encore que les droites (OA)et(MM^′)sont parallèles.

Pour tout pointMdu plan tel queM^′ 6=M, les droites(OA)et(MM^′)sont parallèles.

(4)

6^◦)SoitNun point du plan.

• SiNappartient à la droite(D), la question 3^◦)montre queN^′ =N.

•SiNn’appartient pas à la droite(D), la question3^◦)montre queN^′6=Net la question5^◦)permet d’affirmer queN^′ appartient à la parallèle à(OA)passant parN. D’autre part, la question4^◦)montre queN^′ appartient à la droite(D).

Enfin, les droites(OA)et(D)n’ont pas le même coefficient directeur (1

2 6=2) et ne sont donc pas parallèles. Les droites (NN^′)et(D)sont donc sécantes enN^′.

•Si N∈(D),N^′=N;

•Si N^′ ∈/(D),N^′ est le point d’intersection de la parallèle à(OA)passant par Net de la droite(D).