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EXERCICE 2 (5 points )

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Academic year: 2022

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EXERCICE 2 (5 points )

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O, − → u , − → v ). i désigne le nombre com- plexe de module 1 et d’argument π

2 .

Soient les points A, B et C d’affixes respectives i, 1 + i et −1 + i.

Soit f l’application qui, à tout point M du plan différent de A, d’affixe z, associe le point M

′

du plan d’affixe z

′

tel que :

z

′

= iz + 2 z − i .

1) a) Déterminer les images de B et de C par l’application f.

b) Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de i, on a la relation : (z

′

− i)(z − i) = 1.

c) Soit D le point d’affixe −1 + 2i. Placer les points A, B, C et D sur une figure (unité graphique 4 cm).

Déduire de la question précédente une construction du point D

′

image du point D par l’application f .

2) Soit R un nombre réel strictement positif.

Quelle est l’image par l’application f du cercle de centre A et de rayon R ?

3) a) Montrer que, si l’affixe du point M est un imaginaire pur différent de i, alors l’affixe du point M

′

est un imaginaire pur. Que signifie ce résultat pour l’image par l’application f de l’axe imaginaire privé du point A ?

b) Soit D la droite passant par le point A et de vecteur directeur − → u . Déterminer l’image de la droite D privée du point A par l’application f.

3

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