PHEC1 devoir à la maison 5 2004-2005
Exercice 1
On considère la fonctionf dé…nie sur ] 1;+1[par
f(x) = 8<
:
x ln(1 +x)
x six6= 0
0 six= 0
On noteCf la représentation graphique def dans un repère orthonormé.
1. Montrer quef estC1 sur] 1;+1[et expliciter sa dérivée:
2. Quelle est l’équation de la tangente àCf au point d’abscissex= 0 ? Etudier l’existence de tangente horizontale.
3. Déterminer le signe de la fonctionx7! x+ (1 +x) ln (x+ 1)sur] 1;+1[
4. Dresser le tableau de variations def sur] 1;+1[:Quel est le signe def sur] 1;+1[? 5. Etudier l’existence d’asymptotes de la courbe représentativeCf en 1 et en+1.
6. Tracer la courbe représentative def Exercice 2
On considère la fonctionf dé…nie sur R+ par :
f(x) = (
x1+1=x= exp[(1 +1
x) lnx] six >0
0 six= 0
1. Montrer quef est continue surR+ etC1surR+:Est-elle dérivable en0 ?
2. Montrer que8x>0; lnx61 +x:Calculerf0(x)pourx >0et préciser son signe.
Préciser le sens de variations def:
3. Déterminer lim
x!+1f(x):Etudier la nature de la branche in…nie de Cen+1. (On donnera un équivalent simple def(x) x)
4. SoitC la courbe représentative def:Déterminer l’équation de la tangenteT àC au point d’abscisse1puis construire C etT dans un repère orthonormé (on admettra queT est en dessous deCau voisinage du point de contact)
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