Mathématiques - S3- Université de Cergy - 2007-2008
Séries: Partiel 1 (1h30)
Exercice 1:
1) montrer que la série P
k 1
(1 k12)k2 diverge.
2) montrer que la série P
k 1
(1 k12)k3 converge.
Exercice 2:
1) montrer que la série P
k 1 ( 1)k
pk+x converge ponctuellement sur [0;1[:
2) montrer que cette série converge uniformément sur [0;1[:
Exercice 3:
On …xe 0: Soit la série P
k 1
uk(x) oùuk(x) = k (1+kxx 2); x 0:
1) Soient = 0 et x > 0; montrer que la série diverge. On supposera désormais > 0: Montrer que la série converge alors ponctuellement sur [0;1[. On note f(x) sa somme.
2) Préciser pour quelles valeurs de la série converge normalement sur[0;1[:
(On calculera supx 0uk(x)):
3) Soit 0 < b < 1: Préciser pour quelles valeurs de la série converge normalement sur[b;1[:
4) Montrer que f est continue sur ]0;1[si >0;sur [0;1[ si > 12: 5) (Facultatif ) Soit 0 < 12: On veut montrer que f(x) 9 f(0) = 0 lorsque x!0+:
a) montrer que f(x)
nP1 k=1
uk(x) x Rn 1
dt
t (1+tx2); x >0:
b) en faisant le changement de variable u = tx2; exprimer le terme de droite sous la forme x2 1'n(x) :
c) montrer que 'n(p1
n) 1; n 2:
d) conclure quef(p1n)9n!1 0:
1
