Montrer que la série de Fourier de f diverge en0

Une fonction continue et 2π-périodique dont la série de Fourier diverge en 0

Gourdon, Analyse, page 262 Exercice :

1. Soitf :R→Rla fonction paire,2π-périodique, telle que

∀x∈[0, π], f(x) =

+∞X

p=1

1 p²sinh³

2^p3+ 1´x 2 i

Vérier l'existence et la continuité de f surR. 2. Pour toutν ∈N, on pose

∀n∈N, an,ν= Z _π

0

cosntsin(2ν+ 1)t

2 dt, ∀q∈N, sq,ν = Xq

i=0

ai,ν

Calculer explicitement lesan,ν, montrer quesq,ν ≥0pour tout(q, ν), et montrer l'existence d'une constante B >0telle que sν,ν> Blnν pour toutν ∈N^∗. 3. Montrer que la série de Fourier de f diverge en0.

1. La série converge normalement sur[0, π],f est donc bien dénie et continue sur[0, π]. On la dénit sur[−π,0[, parf(−x) =f(x). La fonction f est continue sur[−π, π]. De plus,f(−π) =f(π), on en déduit que le prolongement def en une fonction2π-périodique f surRest continue sur R.

2. Le calcul desan,ν est facile :

an,ν= 1 2

Z _π

0

· sin

µ2ν+ 1 2 +n

¶ t+ sin

µ2ν+ 1 2 −n

¶ t

¸ dt= 1

2

µ 1

ν+n+¹₂ + 1 ν−n+¹₂

¶

= ν+¹₂ (ν+¹₂)²−n² Ainsi, onan,ν ≥0 pourn≥ν, doncsq,ν ≥0pour q≥ν. Maintenant, siq≥ν, on a

2sq,ν = Xq

i=0

µ 1

i+ν+¹₂ − 1 i−ν−¹₂

¶

=

ν+qX

i=ν

1 i+¹₂ −

q−1−νX

i=−1−ν

1 i+¹₂ =

q+νX

i=q−ν

1 i+¹₂ −

ν−1X

i=−1−ν

1 i+¹₂ et comme

ν−1X

i=−1−ν

1 i+¹₂ =

X−1 i=−1−ν

1 i+¹₂ +

ν−1X

i=0

1 i+¹₂ =

ν−1X

i=0

1 i+¹₂ −

Xν i=0

1

i+¹₂ =− 1 ν+¹₂ on a

∀q≥ν, 2s_q,ν = 1 ν+¹₂ +

q+νX

i=q−ν

1 i+¹₂ On en déduitsq,ν ≥0pourq≥ν, donc nalement,sq,ν ≥0 pour toutq. La formule précédente montre que pour toutν ∈N^∗,

2sν,ν = 1 ν+¹₂ +

X2ν i=0

1 i+¹₂ ≥

X2ν i=0

Z _i+³

2

i+¹₂

dt t =

Z _2ν+³

2 12

dt

t = ln(4ν+ 3)≥ln(ν) doncsν,ν ≥^ln₂^ν pour toutν ∈N^∗.

1

3. Commef est paire, les coecients de Fourierbn(f)sont nuls. Par ailleurs, la parité def entraîne

∀n∈N, an(f) = 2 π

Z _π

0

f(t) cosntdt= 2 π

+∞X

p=1

1 p²

Z _π

0

sin

·

(2^p3+ 1)t 2

¸

cosntdt

(on a le droit d'intervertir somme et intégrale car la série converge normalement sur[0, π], donc

∀n∈N, a_n(f) = 2 π

+∞X

p=1

1

p²a_n,2p3−1, doncS_n= π 2

Xn k=0

a_k(f) =

+∞X

p=1

1

p²s_n,2p3−1

Avec la positivité dessq,ν conjuguée à la minorationsν,ν≥^ln₂^ν, on en déduit

∀p∈N, S₂p3−1,2^p3−1 ≥ 1

p²s₂p3−1,2^p3−1≥ 1

2p³ln(2^p3−1) =p³−1 2p² ln 2 Ceci montre queS₂p3−1 →+∞lorsque p→+∞, donc la sérieP

an(f)diverge. Autrement dit, la série de Fourier def en0 diverge.

2