Série, Série de Fourier

IUP GCI 1 2002/2003 A.Mizrahi

TD 8

Série, Série de Fourier

Exercice 1: Étudier la convergence des séries suivantes :

a)X2ⁿ−n

3ⁿ b)X n²−7n+ 3

n⁵−6n²−1 c)X cos 1

n −nsin 1 n

d)X

lnn+ 1

n e)X 1 +n

3ⁿ−2 f)X cos 1

n²

Exercice 2: Déterminer des formules pour les fonctions définies par les séries entières suivantes:

f(x) =

∞

X

n=0

n(n+ 1)xⁿ g(x) =

∞

X

n=0

nxⁿ (n−1)!

Exercice 3: Écrire les fonctions suivantes comme somme de séries entières :

f(x) = xcos(2x) g(x) =e^1+2x h(x) = ln(2 +x) k(x) = Z x

0

e^−t2dt

Exercice 4: Calculer la somme des séries suivantes :

a)X 1

n(n+ 1) b)X(−1)ⁿ

n c)X n 2ⁿ

Exercice 5: Étude de vitesse de convergence des séries de Riemann.

a) Montrer que

1 k+ 1 ≤

Z k+1

k

1

xdx≤ 1 x En déduire que la sérieP₁

n diverge.

b) Montrer que pour toutαnon nul on a

1 (k+ 1)^α ≤

Z k+1

k

1

x^αdx≤ 1 x^alpha En déduire queP ₁

n² converge.

c) On note

R_α(n) =

∞

X

x=n+1

1 n^α

EncadrerR₂(n)etR₃(n). Comparer leur vitesse de convergence vers 0.

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Exercice 6: Fonction de Bessel :

On noteJ_pla fonction de Bessel d’ordre p :

J_p(x) =

∞

X

n=0

(−1)ⁿx^p+2n n!(n+p)!2^p+2n a) Montrer queJ_p est solution de l’équation différentielle de Bessel :

x²y⁰⁰+xy⁰+ (x² −p²)y= 0

b) Montrer queJ₀⁰(x) =−J₁(x)puis que :

d

dx(x^pJ_p(x)) =x^pJp−1(x)

Exercice 7: Soitf la fonction2πpériodique telle que

∀x∈[0;π], f(x) =x

∀x∈]−π; 0[, f(x) =−x a) Représenterf.

b) Déterminer la série de Fourier def. c) CalculerP 1

(2n+1)² en déduireP 1 n².

Exercice 8: Soitf la fonction définie par∀x∈R f(x) =|sinx|.

a) Représenterf.

b) Déterminer la série de Fourier def. c) En déduire la somme de la sérieP 1

4n²−1

Exercice 9: Soitf la fonction périodique de période 1 telle que∀x∈[0; 1]f(x) =x²(1−x)². a) Représenterf.

b) Déterminer la série de Fourier def.

Exercice 10: Comparer la vitesse de convergence des séries de Fourier des exercices , et . Exercice 11:f une fonction T_périodique de classeC^k

a) Déterminer une relation entre les coefficients de Fourier def et ceux def⁰. b) Étudier les vitesses de convergence des sériesP

|a_n|etP

|b_n|en fonction dek.

Exercice 12: Soitf la fonction définie par∀x∈]0; 1[, f(x) = x.

a) Représenterf.

b) Écriref(x)comme la somme d’une série de cosinus.

c) Écriref(x)comme la somme d’une série de sinus.

d) En utilisant ce qui précède, écrirex² comme série de cosinus pourxcompris entre 0 et 1.

e) Écrirex² comme série de cosinus pourxcompris entre 0 et 5.

Exercice 13: Démontrer que :

∀x∈]−π;π[ πsinαx

2 sinαπ = sinx

1²−α² − 2 sin 2x

2²−α² + 3 sin 3x 3²−α² −...

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