La convergence des séries de Fourier Marie Fouré, Lise Monnier, Lamine Sokhna
Introduction Les séries de Fourier La convergence uniforme Applications
La convergence des séries de Fourier
Marie Fouré Lise Monnier Lamine Sokhna
Le 30 mars 2012
La convergence des séries de Fourier Marie Fouré, Lise Monnier, Lamine Sokhna
Introduction Les séries de Fourier La convergence
Table des matières
1
Introduction
2
Les séries de Fourier
3
La convergence uniforme
4
Applications
La convergence des séries de Fourier Marie Fouré, Lise Monnier, Lamine Sokhna
Introduction Les séries de Fourier La convergence uniforme Applications
Table des matières
1
Introduction
2
Les séries de Fourier
3
La convergence uniforme
4
Applications
La convergence des séries de Fourier Marie Fouré, Lise Monnier, Lamine Sokhna
Introduction Les séries de Fourier La convergence
Table des matières
1
Introduction
2
Les séries de Fourier
3
La convergence uniforme
4
Applications
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Introduction Les séries de Fourier La convergence uniforme Applications
Table des matières
1
Introduction
2
Les séries de Fourier
3
La convergence uniforme
4
Applications
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Joseph Fourier, (1768 - 1830)
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Introduction Les séries de Fourier La convergence uniforme Applications
Qu’est-ce qu’une série de Fourier ?
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Introduction Les séries de Fourier La convergence
Les coefficients de Fourier
Définition.
Les coefficients de Fourier de f sont :
a
0= 1 2π
Z 2π 0
f (x) dx , a
n= 1
π
Z 2π0
f (x) cos(nx ) dx , b
n= 1
π
Z 2π0
f (x) sin(nx ) dx .
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Introduction Les séries de Fourier La convergence uniforme Applications
Les coefficients de Fourier
Définition.
Les coefficients de Fourier de f sont :
a
0= 1 2π
Z 2π 0
f (x) dx , a
n= 1
π
Z 2π0
f (x) cos(nx ) dx , b
n= 1
π
Z 2π0
f (x) sin(nx ) dx .
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Introduction Les séries de Fourier La convergence
La série de Fourier
Ainsi, la série de Fourier de f est la série trigonométrique :
S (f ) =
+∞
X
n=0
a
ncos(nx) + b
nsin(nx )
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Introduction Les séries de Fourier La convergence uniforme Applications
Des coefficients de Fourier remarquables
Les fonctions paires
Dans l’intervalle [−π, π], les coefficients de Fourier de f sont : a
0= 1
π
Z π0
f (x) dx , a
n= 2
π
Z π0
f (x) cos(nx) dx, b
n= 0.
Ainsi, pour f paire,
S(f ) =
+∞
X
n=0
a
ncos(nx ).
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Introduction Les séries de Fourier La convergence
Des coefficients de Fourier remarquables
Les fonctions paires
Dans l’intervalle [−π, π], les coefficients de Fourier de f sont : a
0= 1
π
Z π0
f (x ) dx , a
n= 2
π
Z π0
f (x) cos(nx) dx , b
n= 0.
Ainsi, pour f paire,
S(f ) =
+∞
X
n=0
a
ncos(nx ).
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Des coefficients de Fourier remarquables
Les fonctions paires
Dans l’intervalle [−π, π], les coefficients de Fourier de f sont : a
0= 1
π
Z π0
f (x ) dx , a
n= 2
π
Z π0
f (x) cos(nx) dx , b
n= 0.
Ainsi, pour f paire,
S(f ) =
+∞
X
n=0
a
ncos(nx ).
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Introduction Les séries de Fourier La convergence
Des coefficients de Fourier remarquables
Les fonctions impaires
Dans l’intervalle [−π, π], les coefficients de Fourier de f sont : a
n= 0,
∀n≥0,
b
n= 2 π
Z π 0
f (x) sin(nx ) dx ,
Ainsi, pour f impaire,
S(f ) =
+∞
X
n=1
b
nsin(nx ).
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Introduction Les séries de Fourier La convergence uniforme Applications
Des coefficients de Fourier remarquables
Les fonctions impaires
Dans l’intervalle [−π, π], les coefficients de Fourier de f sont : a
n= 0,
∀n≥0,
b
n= 2 π
Z π 0
f (x) sin(nx ) dx ,
Ainsi, pour f impaire,
S(f ) =
+∞
X
n=1
b
nsin(nx ).
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Des coefficients de Fourier remarquables
Les fonctions impaires
Dans l’intervalle [−π, π], les coefficients de Fourier de f sont : a
n= 0,
∀n≥0,
b
n= 2 π
Z π 0
f (x) sin(nx ) dx ,
Ainsi, pour f impaire,
S(f ) =
+∞
X
b sin(nx ).
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Introduction Les séries de Fourier La convergence uniforme Applications
Types de convergence
1
La convergence ponctuelle (ou simple)
2
la convergence presque partout
3
la convergence en norme dans
Lp4
la convergence uniforme
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Introduction Les séries de Fourier La convergence
Types de convergence
1
La convergence ponctuelle (ou simple)
2
la convergence presque partout
3
la convergence en norme dans
Lp4
la convergence uniforme
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Types de convergence
1
La convergence ponctuelle (ou simple)
2
la convergence presque partout
3
la convergence en norme dans
Lp4
la convergence uniforme
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Introduction Les séries de Fourier La convergence
Types de convergence
1
La convergence ponctuelle (ou simple)
2
la convergence presque partout
3
la convergence en norme dans
Lp4
la convergence uniforme
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Introduction Les séries de Fourier La convergence uniforme Applications
L’espace ξ
Définition.
On considère l’espace ξ des fonctions f :
R→Rqui sont :
1
2π-périodiques,
2
continues par morceaux sur [−π, π]
3
f
0est continue par morceaux sur [−π, π].
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Introduction Les séries de Fourier La convergence
L’espace ξ
Définition.
On considère l’espace ξ des fonctions f :
R→Rqui sont :
1
2π-périodiques,
2
continues par morceaux sur [−π, π]
3
f
0est continue par morceaux sur [−π, π].
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Introduction Les séries de Fourier La convergence uniforme Applications
L’espace ξ
Définition.
On considère l’espace ξ des fonctions f :
R→Rqui sont :
1
2π-périodiques,
2
continues par morceaux sur [−π, π]
3
f
0est continue par morceaux sur [−π, π].
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Introduction Les séries de Fourier La convergence
Théorème de Dirichlet
Théorème.
Soit f
∈ξ. Alors, la série de Fourier S(f ) de f :
1
converge vers f en tout point de continuité de f,
2
converge vers
f(x+)+f2 (x−)en tout point de discontinuité,
3
la convergence est uniforme sur tout segment [a, b] ne
contenant pas de point de discontinuité.
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Théorème de Dirichlet
Théorème.
Soit f
∈ξ. Alors, la série de Fourier S(f ) de f :
1
converge vers f en tout point de continuité de f,
2
converge vers
f(x+)+f2 (x−)en tout point de discontinuité,
3
la convergence est uniforme sur tout segment [a, b] ne
contenant pas de point de discontinuité.
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Introduction Les séries de Fourier La convergence uniforme
Théorème de Dirichlet
Théorème.
Soit f
∈ξ. Alors, la série de Fourier S(f ) de f :
1
converge vers f en tout point de continuité de f,
2
converge vers
f(x+)+f2 (x−)en tout point de discontinuité,
3
la convergence est uniforme sur tout segment [a, b] ne
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Application 1
Théorème de Dirichlet
Exemple.
f (x) =
(
x
2+ 1 si
−π
≤x
≤0
x + 1 si 0
≤x < π
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Application 1
Graphe
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
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Application 1
Graphe
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
Figure:Graphe de f’ sur[−2π,2π].
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Introduction Les séries de Fourier La convergence
Application 1
Résultat
Les points de discontinuité sont les x
∈π + 2π
Z.
En x = π :
S (f )(π) = f (π
+) + f (π
−)
2 = π
2+ 1 + π + 1
2 = 1 + π
2+ π
2 .
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Application 1
Résultat
Les points de discontinuité sont les x
∈π + 2π
Z. En x = π :
S (f )(π) = f (π
+) + f (π
−)
2 = π
2+ 1 + π + 1
2 = 1 + π
2+ π
2 .
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Introduction Les séries de Fourier La convergence uniforme
Application 1
Résultat
Les points de discontinuité sont les x
∈π + 2π
Z. En x = π :
f (π
+) + f (π
−)
= π
2+ 1 + π + 1
2 = 1 + π
2+ π
2 .
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Introduction Les séries de Fourier La convergence uniforme Applications
Application 1
Résultat
Les points de discontinuité sont les x
∈π + 2π
Z. En x = π :
S (f )(π) = f (π
+) + f (π
−)
2 = π
2+ 1 + π + 1 2
= 1 + π
2+ π
2 .
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Introduction Les séries de Fourier La convergence uniforme
Application 1
Résultat
Les points de discontinuité sont les x
∈π + 2π
Z. En x = π :
f (π
+) + f (π
−) π
2+ 1 + π + 1 π
2+ π
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Application 2
Le phénomène de Gibbs
Qu’est-ce que le phénomène de Gibbs ?
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Application 2
Le phénomène de Gibbs
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Application 2
Le phénomène de Gibbs
Figure:Approximation du créneau à l’ordre 50
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Application 2
Le phénomène de Gibbs
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