FORMULAIRE DE MATHEMATIQUES – TERMINALES
I) PROBABILITES ET STATISTIQUES: A. Généralités
Si A et B sont incompatibles : P(AB) = P(A) + P(B) Dans le cas général :
P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) P( = 1 – P(A) ; P(Ω) = 1 ; P(Ø) = 0
Dans le cas équiprobable, P(A) =
Probabilité conditionnelle de B sachant A
PA(B) est défini par P(AB) = PA(B)P(A)
Cas où A et B sont indépendants :
P(AB) = P(A)P(B)
Formule des probabilités totales
Si A1 ; … ; An forment une partition de Ω,
P(B) = + + … + B. Variable aléatoire
Espérance mathématique : E(X) = ∑ Variance : V(X) = ∑ Ecart type σ(X) =
C. Combinaisons et formule du binôme
! "et pour ! ", 0 + + , n! = 1,2,3,…,n ; 0! = 1 -. = /…/121! = ! 1!/1! -. 4 - . ; 5 6 1 6 18 4 -. 6 - 6 1.
Le nombre de sous ensembles à p éléments d’un ensemble à n éléments est -.
(a + b)n = ∑;=- 9.:/;<;
D. Lois de probabilités
Loi de Bernoulli de paramètre ! [0 ; 1] X peut prendre les valeurs 0 et 1 avec les probabilités P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 – p
E(X) = p ; V(X) = p(1 – p)
Loi binomiale B(n,p), n ! *, p! [0 ; 1] X peut prendre les valeurs entières 0, 1,…, n pour 0 + 9 + , P(X = k) =- 9.pk(1 –p)n - k
E(X) = np ; V(X) = np(1 – p)
Loi uniforme sur [0 ; 1]
J étant un intervalle inclus dans [0 ; 1], P(J) = longueur de J
Loi exponentielle de paramètre λ sur [0;+∞? dite aussi loi de durée de vie sans vieillissement
Pour 0 + : + <, ?: ; <A 4 B λeG /DE dt Pour 0 + c, P([c ; +∞?4 1 B λe=H /DE dt
E. Statistiques
Moyenne, variance, écart-type N = ∑ 1 ; = I∑ 1 ; V(x) = I∑ 1 = I∑ 1 σ(X) = Droite de régression de y en x σxy = ∑ J JK y = ax + b où a = LMN OP
II) NOMBRES COMPLEXES ET GEOMETRIE : A. Nombres complexes
Dans le repère orthonormal (O ; QR, SR) le point M(x ; y) où x et y sont deux réels, a pour affixe z.
Forme algébrique z = x + iy x = Re(z) = ρcosθ y = Im(z) = ρsinθ Module de z : ρ = OM = |U| 4 6 J 4 √UU Argument de z : arg z = θ [2π] Forme trigonométrique : z = ρ(cosθ + i sinθ) = WXY, ρ>0 Conjugué U = x – iy = WX/Y ; U 6 UKKKKKKKK 4 U 6 UZ [ Z Produit et quotient zz’ = WXYWZ\]^_ = WWZ\]`a^_ b b_4 c\ ]` c_d]`_ = e e_XfY/Y _g
zn = (WXY)n = (WXY), n entier relatif Propriétés des modules
|UU| 4 |U||UZ|; |U| 4 |U|; hb
b_h 4 |b|b|_|
Inégalité triangulaire |U 6 UZ| + |U| 6 |UZ| Propriétés des arguments
arg(zz’) = arg(z) + arg(z’) [2π] arg-b
b_. = arg(z) – arg(z’) [2π]
Formules de Moivre et applications Pour tout entier n non nul, XY)n = XY soit (cosθ + i sinθ)n = cos nθ + i sin nθ
Formules d’Euler cos α =
(Xi6 X/i, sin α =
(Xi X/i
Si A et B ont pour affixe zA et zB alors QQQQQR a pour
affixe zB – zA et AB = jUk – U j
(QQQQQR; mnQQQQQR) = arg-bo/pq
pr/ps. [2π]
Caractérisation complexe des transformations M(z)tM’(z’)
Translation de vecteur QR(t), t! : z’=z + t Rotation de centre Ω(ω), ω ! , et d’angle θ ! : z’ – ω = XY(z – ω)
Homothétie de centre Ω(ω) ω ! , et de rapport
k ! * : z’ – ω = k(z – ω) B. Géométrie
Produit scalaire de deux vecteurs non nuls du plan u QQQQQR · uQQQQQR = OA ,OB,cosθ u QQQQQR · uQQQQQR 4 w u , ux yz uQQQQQR X{ uxQQQQQQR { |X }X}X yX y u , ux yz uQQQQQR X{ uxQQQQQQR y { ~X yX y { :z X
Produit scalaire et coordonnées Si QR et SR admettent pour coordonnées
respectives (x ; y ; z) et (x’ ; y’ ; z’) dans un repère orthonormal de l’espace alors
QR · SR = xx’ + yy’ + zz’ et QR=√ QR · QR
QR et SR sont orthogonaux si et seulement si
xx’ + yy’ + zz’ = 0
Si M(x ; y ; z) et M’(x’ ; y’ ; z’) alors
MM’ = fZ– g6 fJZ– Jg 6 fUZ– Ug Une équation de la sphère de centre Ω de coordonnées (a ; b ; c) et de rayon R est (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2
Une équation cartésienne du plan P, de vecteur normal QR (a ; b ; c) est
ax + by + cx + d = 0
La droite D de vecteur directeur QR (α ;β ;γ) passant par A(α’ ;β’ ;γ’) a pour représentation
paramétrique
4 { 6 J 4 { 6 U 4 { 6
III) ALGEBRE, TRIGONOMETRIE : A. Identités remarquables
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2;(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
a2 – b2 = (a + b)(a – b); a2 + b2 = (a +ib)(a –ib) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
B. Equations du second degré
Soient a, b, c des réels, a 0, et Δ = b2 – 4ac L’équation az2 + bz + c = 0 admet :
- si Δ > 0, deux solutions réelles
z1 = /G2 √∆ et z2 = /G/ √∆
- si Δ = 0, une solution réelle double
z1 = z2 = /G
- si Δ < 0, deux solutions complexes conjuguées
z1 = /G2 √/∆
et z2 =
/G/ √/∆
Dans tous les cas :
az2 + bz + c = a(z – z1)(z – z2) z1 + z2 = /G ; z1z2 = H
C. Trigonométrie
Dans le repère (O; uQQQQQQR,uQQQQQR) M a pour coordonnées (cos α , sin α), soit x = cos α , y = sin α.
sin² α + cos² α = 1 tan α = i Hi, α ?2πA Formules d’addition
cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a sin(a – b) = sin a cos b – sin b cos a Formules de duplication
cos 2a = cos²a – sin²a
= 2cos²a – 1 = 1 – 2sin²a sin 2a = 2sin a cos a
cos2a = ( 1 + cos2a), sin 2 a = (1 – cos2a) Valeurs remarquables 0 6 4 3 2 π sin 0 1 2 √22 √32 1 0 cos 1 √3 2 √22 1 2 0 -1 tan 0 √3 3 1 √3 0
IV) ANALYSE :
A. Dérivées et primitives
1. Dérivées et primitives des fonctions usuelles
f(x) f’(x) k 0 x 1 xn n xn 1 1 P, n * - Pa √ 1 2√ ln x 1 XP XP :P :Pln a cos x - sin x sin x cos x tan x 1 y
2.Opérations sur les dérivées
(u + v) ‘ = u’ + v’ ; (ku)’ = k u’, k constante réelle (uv)’ = u’v + uv’ ;
4
Z ; -.
Z
4 _ –Z
(v◦u)’ = (v’◦u)u’ ; (eu)’ = u’eu ; (un)’ = nu’un – 1
(ln u)’ = Z
si u > 0 ; (ln u)’ = – Z si u < 0
B. Propriétés algébriques des fonctions usuelles
1. Fonctions logarithme et exponentielle ln x = B P , x >0 ; ln 1 = 0 ; ln e = 1 ln ab = ln a + ln b ; ln(a/b) = ln a – ln b Si ]-∞; 6∞? et y]0; 6∞?, y = XP x = ln y X= 4 1 X2G 4 XXG ; X/G 4 \ \ ; XG= XG :P4 XP , (a > 0) ; log x = P = ; ln:P = x ln a 2. Racine n-ième Si n ! *, ! [0 ; 6∞?, y[0; 6∞?, y = √ x = yn Si n ! *, x ! [0 ; 6∞?, = √
C. Limites usuelles de suites et de fonctions
1. Fonctions Comportement à l’infini lim Pt2¤ln x = +∞ ; limPt2¤XP = +∞ ; limPt/¤XP = 0 si a > 0, lim Pt2¤= +∞ , si a < 0, limPt2¤= 0 Comportement à l’origine lim Pt= ln x = -∞ si a > 0, lim Pt== 0 , si a < 0, limPt== +∞
Croissances comparées à l’infini lim Pt2¤ \ P P = +∞ ; lim Pt/¤XP = 0 ; Pt2¤lim P P = 0 Si a > 0, lim Pt2¤ \M P = +∞ ; limPt2¤X/P = 0 Si a > 0, lim Pt2¤ P P = 0 Limites particulières lim Pt= 2P P = 1 ; Pt=lim \M/ P = 1 ; limPt= P P = 1 2. Suites Si q > 1, lim t2¤¥ = +∞ ; si -1 < q < 1, limt2¤¥=0 D. Calcul intégral
Si F est une primitive de f, alors B ¦{~{G = F(b) – F(a) Si g(x) = B ¦{~{P , alors g’(x) = f(x) Relation de Chasles B ¦{~{H = B ¦{~{G + B ¦{~{GH B ¦{~{G = –B ¦{~{G Linéarité B 9¦{ 6 9 §{~{G = kB ¦{~{G + k’B §{~{G Positivité Si a + b et 0 + f alors 0 + B ¦{~{G Ordre Si a + b et f + g alors B ¦{~{G + B §{~{G Inégalité de la moyenne Si a + b et m + f + M alors m(b – a) + B ¦{~{G + M(b – a)
La valeur moyenne de f sur [a ; b] est
G/B ¦{~{ G
Intégration par parties B {SG Z{~{
= ? S{AG – B G Z{S{~{ E. Equations différentielles
Pour tout réel a non nul, pour tout réel b, les solutions de l’équation différentielle y’ = ay + b sont les fonctions définies sur par
f(x) = CXP – G
, C étant une constante réelle. F. Suites arithmétiques et géométriques
Suites arithmétiques Premier terme u0 ; un+1 = un + r ; un = u0 + nr ∑ = = 6 1¨2 Suites géométriques Premier terme u0 ; un+1 = qun ; un = u0 qn si q1, ∑ = = u0/© a /©
V) SPECIALITE : A. TS Congruences
Pour tout entier relatif a et b et tout entier naturel non nul p ; n entier naturel supérieur ou égal à 2,
si a ≡ b [n] et a’ ≡ b’ [n] alors
a + a’ ≡ b + b’ [n] ; a – a’ ≡ b – b’ [n] ; aa’ ≡ bb’ [n] ; ap ≡ bp [n]
B. TS Caractérisation complexe des similitudes
- directe : z’ = az + b ; a ! * et b ! - indirecte : z’ = aU + b ; a ! * et b !
Dans les deux cas, le rapport de la similitude est |:|
C. TS - TES Ensembles de points
Dans un repère orthonormal de l’espace
fu; ªR, «R, 9QRg, une équation du cylindre d’axe fu; 9QRg et de rayon r > 0 est x2 + y2 = r2
Une équation d’un cône d’axe fu; 9QRg est
