Fonctions Usuelles

(1)

Fonctions usuelles

Pr´erequis :

– notion de fonction (variation, courbe repr´esentative).

– idée intuitive de limite (à droite et à gauche).

Notation :

– Le plan P est muni d’un repère (O;#»ı ,#») orthonormal direct. Toutes les courbes sont tracées dans ce repère.

Remarque :

– Les propriétés des fonctions polynômiales et rationnelles, des fonctions exponentielle et logarithme népérien, sinus et cosinus sont rappelées sans démonstra- tion.

1 Fonctions polynˆomiales et rationnelles 2

1.1 Fonctions polynˆomiales . . . 2

1.2 Fonctions rationnelles . . . 2

2 Fonction exponentielle, fonction logarithme n´ep´erien 3 2.1 Fonction exponentielle . . . 3

2.2 Fonction logarithme n´ep´erien . . . 4

3 Fonctions exponentielles et logarithmes de base a, fonctions puissances 6 3.1 Puissance d’exposant r´eel . . . 6

3.2 Fonctions exponentielles de basea . . . 7

3.3 Fonctions logarithmes de basea. . . 8

3.4 Fonctions puissances . . . 9

3.5 Croissances compar´ees . . . 11

4 Fonctions circulaires et circulaires r´eciproques 12 4.1 Fonctions cosinus, sinus et tangente . . . 12

4.2 Fonction exponentielle complexe . . . 14

4.3 Fonctions cosinus, sinus et tangente r´eciproques . . . 15

5 Fonctions hyperboliques et hyperboliques r´eciproques 16 5.1 Fonctions cosinus, sinus et tangente hyperbolique . . . 16

5.2 Fonctions cosinus, sinus et tangente hyperboliques r´eciproques . . . 19

St´ephanePasserat– TSI1 – Lyc´ee LouisVincent

(2)

1 Fonctions polynˆ omiales et rationnelles

1.1 Fonctions polynˆ omiales

D´efinitions 1.1.1

(i) On appelle fonction polynˆomiale toute fonction P de R dans R telle qu’il existe p ∈ N et (a₀, a₁, . . . , a_p)∈R^p+1 tels que :

∀x∈R, P(x) =a₀+a₁x+a₂x²+· · ·+a_px^p

(ii) Ledegréd’une fonction polynômiale P non nulle est le plus grand des entiers naturelsk tels queak soit non nul. Par convention, le degré de la fonction polynômiale nulle est−∞. Il est noté degP.

(iii) Chaque terme de la fonction polynômiale (de la formeakx^k) est appelé unmonôme.

Remarques 1.1.2

(i) Les fonctionslinéaires et affinessont des fonctions polynômiales. Leurs courbes représentatives sont des droites.

(ii) On noteR[x]l’ensemble des fonctions polynômiales etRp[x]l’ensemble des fonctions polynômiales de degré inférieur ou égal à p.

Propriété 1.1.3 Deux fonctions polynômiales sont égales si et seulement si leurs degrés et leurs coeffi- cients sont égaux. Autrement dit, P et Q étant deux fonctions polynômiales de degrés p et q définies par P(x) =a₀+. . .+a_px^p etQ(x) =b₀+. . .+b_qx^q où(a₀, . . . a_p, b₀, . . . , b_q)∈R^p+q+2 :

P =Q

⇐⇒

∀x∈R, P(x) =Q(x)

⇐⇒

ß p=q

∀k∈J0, pK, a_k =b_k

D´efinition 1.1.4 On appelleracined’une fonction polynˆomialeP toutα∈Ctel queP(α) = 0.

Propri´et´e 1.1.5 SoitP ∈Rp[x](p∈N^∗) etα∈R.

αest une racine r´eelle deP si et seulement s’il existeQ∈Rp−1[x]tel que :

∀x∈R, P(x) = (x−α)Q(x)

Exercice 1.1.6 Soitf une fonction polynômiale du second degré dont on noteCla courbe représentative.

1. (a) D´eterminerf sachant qu’elle admet pour racines1 et3 et quef⁰(1) = 4.

(b) ´Etudier les variations de f et tracerC.

2. Déterminer les équations des tangentes à Cpassant par A(0,2).

Théorème 1.1.7 La limite d’une fonction polynômiale en±∞est donnée par la limite de son monôme de plus haut degré. Avec les notations précédentes, sidegP =p:

x→−∞lim P(x) = lim

x→−∞apx^p et _x→+∞lim P(x) = lim_x→+∞apx^p Exercice 1.1.8

1. R´esoudre l’´equation 2x³−6x²+x+ 6 = 0.

2. En d´eduire les variations et les limites def :x7→x⁴−4x³+x²+ 12x−3.

1.2 Fonctions rationnelles

Définition 1.2.1 On appelle fonction rationnelletoute fonction définie par R(x) = _Q^P^(x)₍_x₎ où P est une fonction polynômiale etQune fonction polynômiale non nulle. Si on noteE l’ensemble des racines réelles deQ alorsRest définie surR\E.

(3)

Exercice 1.2.2 On consid`ere la fonctionf d´efinie par : f(x) = (x−1)³

2x³−3x²+x 1. D´eterminer l’ensemble de d´efinition def.

2. Étudier les limites defen0, ¹₂et1et préciser la présence d’asymptotes verticales à la courbe représentative def.

Théorème 1.2.3 La limite en ±∞ d’une fonction rationnelle est donnée par la limite du quotient des monômes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. Autrement dit, siRest une fonction rationnelle définie parR(x) =^P_Q(x)^(x), avec les notations précédentes, on a :

x→−∞lim R(x) = lim

x→−∞

ap

b_qx^p−q et _x→+∞lim R(x) = lim_x→+∞ap

b_qx^p−q Exercice 1.2.4 On consid`ere la fonctionf d´efinie parf(x) = ^x²⁺³_x₊₁^x⁺⁴.

1. (a) PréciserDf, ensemble de définition def et étudier les variations et les limites def. (b) Démontrer que la courbe représentative def admet une asymptote verticale.

2. (a) D´emontrer qu’il existe trois r´eelsa,bet ctels que :

∀x∈ Df, f(x) =ax+b+ c x+ 1 (b) Comment interpréter graphiquement l’égalité précédente ?

3. Démontrer que la courbe représentative def admet un centre de symétrie.

2 Fonction exponentielle, fonction logarithme n´ ep´ erien

2.1 Fonction exponentielle

Définition et propriété 2.1.1 On appelle fonctionexponentiellel’unique fonction notéeexpdéfinie et dérivable surRtelle que : ß

∀x∈R, exp⁰(x) = exp(x) exp(0) = 1

Propri´et´e 2.1.2 (i) ∀x∈R, exp(x)>0.

(ii) La fonctionexpest strictement croissante.

(iii) limx→−∞exp(x) = 0 etlimx→+∞exp(x) = +∞.

Exercice 2.1.3 Démontrer que la courbe représentative de la fonction exponentielle est située«au dessus» de chacune de ses tangentes (on dit que la fonction exponentielle estconvexe).

Propriété 2.1.4 – Propriété fondamentale

∀(a, b)∈R², exp(a+b) = exp(a)×exp(b)

Remarques 2.1.5

(i) L’image parexpde1 est le r´eel not´ee:e≈2,71828.

(ii) En particulierexp(2) = exp(1)×exp(1) = exp(1)²= e²et plus g´en´eralement, pour toutn∈N,exp(n) = eⁿ ce qui justifie la notation :

∀x∈R, exp(x) = e^x La propriété 2.1.4 peut donc s’écrire comme le point (i) ci-dessous :

(4)

Propriété 2.1.6 Soit(a, b)∈R². (i) eâ+b= eâe^b.

(ii) e^−a =_e¹a. (iii) eâ−b=ê_eâb. (iv) eâ² =√

e^a.

(v) ∀n∈Z, e^na= e^an

.

Exercice 2.1.7 Déterminer suivant les valeurs du paramètre a∈Rles solutions du système suivant d’in-

connu(x, y)∈R² : ß

e^xe^y= e^2a xy= 1

Propri´et´e 2.1.8

x→0lim e^x−1

x = 1 Exercice 2.1.9 On consid`ere la fonctionf d´efinie par :

f(x) = e^x−1 e^3x−1

1. Préciser l’ensemble de définition def et calculer les limites def aux bornes de son ensemble de définition.

2. (a) ´Etudier les variations de f.

(b) Tracer la courbe représentative def. Rappelons enfin que les deux droites d’équations y = x+ 1 et y = ex sont tangentes à la courbe représentative de la fonction exponentielle.

Propriété 2.1.10 Soit u une fonction dérivable d’un intervalle I dans R alorsx7→eû(x)est dérivable surI et :

∀x∈I, (e^u)⁰(x) =u⁰(x) e^u(x)

Exercice 2.1.11

1. ´Etudier les variations et les limites def :x7→e^x−x.

2. Mˆeme question :

g:x7→e^2x−e^x−x+ 2

y=x+1 y=ex

C^exp

1

2.2 Fonction logarithme n´ ep´ erien

Propri´et´e 2.2.1 Soitf une fonction strictement monotone d’un intervalleI dansJ =f(I).

f est alors bijective et la fonction, notée f⁻¹, qui à y ∈ J associe l’unique x∈ I tel que y = f(x) est la fonction réciproque def (cf.Annexe B).

Propriété 2.2.2 f étant une fonction strictement monotone d’un intervalle I dans J = f(I), f⁻¹ est caractérisée par :

∀(x, y)∈I×J, y=f(x)⇔x=f⁻¹(y) En particulier :

∀x∈I, f⁻¹ f(x)=x et ∀y∈J, f f⁻¹(y)=y

(5)

Théorème 2.2.3 – Théorème de la bijection

Soitf une fonction strictement monotone d’un intervalleI dansJ=f(I).

(i) f⁻¹est strictement monotone et de mˆeme sens de variation quef.

(ii) Les courbes représentatives def etf⁻¹ sont symétriques par rapport à la droite d’équationy=xappelée première bissectrice.

(iii) Sif est d´erivable surI et sif⁰ ne s’annule pas alorsf⁻¹ est d´erivable surJ et :

∀x∈J, f⁻¹⁰(x) = 1 f⁰(f⁻¹(x))

Définition 2.2.4 En vertu de la propriété 2.1.2, la fonction exponentielle est strictement croissante sur I = R et étant donnée la monotonie de exp et ses limites aux bornes de son ensemble de défintion on a J = exp(R) ⊂ R^∗₊. On admet que J = R^∗₊ ainsi la fonction exponentielle admet une fonction réciproque de J =R^∗₊ dansI=Rappelée fonctionlogarithme népérienet notéeln.

Propri´et´e 2.2.5

(i) ∀(x, y)∈R^∗+×R, y= lnx⇔x= e^y. (ii) ∀x∈R^∗+, e^ln^x=x.

(iii) ∀x∈R, ln e^x=x.

(iv) ln 1 = 0et ln e = 1.

Exercice 2.2.6

1. On consid`ere la fonctionf d´efinie parf(x) = e^2x−5e^x+ 6.

(a) R´esoudre l’´equationf(x) = 0.

(b) ´Etudier les variations et les limites de la fonctionF d´efinie surRpar :F(x) = ¹₂e^2x−5e^x+ 6x+ 2.

2. La fonctiongd´efinie sur Rparg(x) = e^2x−4e^x−4x+ 5 admet-elle un minimum en1?

Propri´et´e 2.2.7

(i) La fonctionlnest strictement croissante.

(ii) La fonctionlnest d´erivable et :

∀x∈R^∗₊, ln⁰x= 1 x

(iii) Si 0 < x < 1 alors lnx < 0 et si x > 1 alors lnx >0.

(iv) limx→0

x>0lnx=−∞etlimx→+∞lnx= +∞.

Rappelons que les droites d’équations y =x−1 et y= ^x_e sont deux tangentes à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien.

La courbe représentative de la fonction logarithme népérien est symétrique à la courbe représentative de la fonction exponentielle par rapport à la droite d’équation y=x.

L’allure de la courbe représentative de la fonction logarithme népérien est donnée ci-contre.

C_ln y=x

−1

y=^x^e

1 Exercice 2.2.8 D´emontrer que :

∀(a, b)∈[1,+∞[², |lnb−lna|6|b−a|

On dit que la fonction lnestlipschitzienne sur[1,+∞[.

On déduit de la propriété 2.1.6 que :

(6)

Propri´et´e 2.2.9 Soit(a, b)∈R^∗₊². (i) ln(ab) = ln(a) + ln(b).

(ii) ln¹_a =−lna.

(iii) ln^a_b = ln(a)−ln(b).

(iv) ln√

a=¹₂lna.

(v) ∀n∈Z, lnaⁿ =nlna.

Exercice 2.2.10 R´esoudre les deux ´equations suivantes :

ln(2x+ 3) = ln(1−3x) ln(5x−7) = ln(x+ 1) + ln(x−4)

Propri´et´e 2.2.11

x→0lim

ln(1 +x)

x = 1

Propriété 2.2.12 Soituune fonction dérivable d’un intervalleI dansR+^∗ alorsx7→ln(u(x))est dérivable surI et :

∀x∈I, (lnu)⁰(x) = u⁰(x) u(x)

Exercice 2.2.13

1. ´Etudier les variations et limites def :x7→ ^ln_x^x.

2. En d´eduire les entiers naturels distincts netptels que n^p=pⁿ.

3 Fonctions exponentielles et logarithmes de base a, fonctions puis- sances

3.1 Puissance d’exposant r´ eel

Définition 3.1.1 Soita∈R^∗₊ et b∈R. On appellea puissance b le nombre réel suivant : a^b= e^b^lnâ

Exercice 3.1.2 Soient(a, a⁰)∈R^∗₊² et(b, b⁰)∈R². 1. (a) Comparera^ba^b⁰ et a^b+b⁰

(b) Qu’obtient-on si on remplaceb⁰ par−b⁰? 2. (a) Comparer(aa⁰)^b eta^ba^0b.

(b) Qu’obtient-on si on remplacea⁰ par _a¹0? 3. D´emontrer enfin que a^b^b⁰ =a^bb⁰.

Propri´et´e 3.1.3 Soient(a, a⁰)∈R₊^∗² et(b, b⁰)∈R². (i) 1^b= 1.

(ii) a^ba^b⁰ =a^b⁺^b⁰. (iii) a^−b=_a¹b. (iv) _a^a_b^b0 =a^b−b⁰.

(v) (aa⁰)^b=a^ba^0b. (vi) _a^a0b^b = _a^a0

b

. (vii) a^b^b⁰ =a^bb⁰.

(7)

Exercice 3.1.4 R´esoudre le syst`eme suivant dansR²: ß 8^x= 10y

2^x= 5y

3.2 Fonctions exponentielles de base a

D´efinition 3.2.1 Soit a ∈ R^∗+. On appelle fonction exponentielle de base a la fonction not´ee expa

d´efinie par :

∀x∈R, expa(x) =a^x Exercice 3.2.2 Soita∈R^∗₊.

1. Quel est le signe deexpa? 2. (a) D´eterminerexp⁰a.

(b) En d´eduire le sens de variation deexpa. (c) D´eterminer les limites deexpa en−∞et +∞.

Propri´et´e 3.2.3 (i) ∀x∈R, expax >0.

(ii) ∀x∈R, (expa)⁰(x) = lna a^x.

(iii) Sia >1 alors la fonction exponentielle de baseaest strictement croissante.

Si 0< a <1alors elle est strictement d´ecroissante.

Si a= 1alors elle est constante.

(iv) Sia >1 alorslimx→−∞a^x= 0 etlimx→+∞a^x= +∞.

Si 0< a <1alorslimx→−∞a^x= +∞etlimx→+∞a^x= 0.

On a tracé ci-dessous les courbes représentatives des fonctions exp¹₂,exp₂, exp₄. Si a= 1 alors la fonction expa est constante et sa courbe représentative est la droite d’équationy= 1.

y= 1 C_exp

4 C_exp C_exp₁ 2

2

1 Exercice 3.2.4

1. R´esoudre l’´equation 4×9^x−19×3^x+ 15 = 0.

2. R´esoudre l’´equation 4×8^x−19×2^x+ 15 = 0.

(8)

3.3 Fonctions logarithmes de base a

Définitions 3.3.1 Soita∈]0,1[∪]1,+∞[. On appellefonction logarithme de base a la fonction notée loga définie surR^∗₊par :

loga(x) =lnx lna

Pour a= e,log_e = ln. Par ailleurs le logarithme en base10est appelélogarithme décimal, il est souvent noté abusivementlog.

Propri´et´e 3.3.2 Soita∈]0,1[∪]1,+∞[.

(i) loga est la fonction r´eciproque deexpa et :∀(x, y)∈R+^∗ ×R, y= logax⇔x=a^y. (ii) ∀x∈R^∗+, a^log^a^x=x.

(iii) ∀x∈R, logaa^x=x. (iv) loga1 = 0et logaa= 1.

Démonstration : Pour touta∈]0,1[∪]1,+∞[, la fonctionexpa est strictement monotone (croissante ou décroissante selon a) sur I =R. Étant données la monotonie de expa et ses limites aux bornes de son ensemble de définition, on aJ = expa(R)⊂R^∗₊ et on admettra queJ =R^∗₊.

∀(x, y)∈R^∗₊×R, y= log_ax⇔y= lnx

lna ⇔ylna= lnx⇔e^y^ln^a= e^ln^x⇔a^y =x

loga est donc la fonction r´eciproque deexpa. Les points (ii) et (iii) d´ecoulent de 2.2.2 et le point (iv) est trivial.

C.Q.F.D.

Exercice 3.3.3 Soita∈]0,1[∪]1,+∞[.

1. D´eterminerlog⁰a.

2. (a) En d´eduire le sens de variation de loga. (b) D´eterminer les limites deloga en0et +∞.

Propri´et´e 3.3.4

(i) La fonctionloga est d´erivable et :∀x∈R^∗₊, log⁰ax=_x_ln¹_a. (ii) Sia >1 alors la fonctionloga est strictement croissante.

Si 0< a <1alors la fonctionloga est strictement d´ecroissante.

(iii) Sia >1 alorslimx→0

x>0logax=−∞etlimx→+∞logax= +∞.

Si 0< a <1alorslimx→0

x>0logax= +∞etlimx→+∞logax=−∞.

On a tracé en page suivante les courbes représentatives des fonctionslog¹₂,log₂,log₁₀. Propriété 3.3.5 Soienta∈]0,1[∪]1,+∞[et(x, y)∈R^∗₊².

(i) loga(xy) = loga(x) + loga(y).

(ii) loga1

x =−logax.

(iii) logax

y = loga(x)−loga(y).

(iv) loga

√x= ¹₂logax.

(v) ∀α∈R, logax^α=αlogax.

Exercice 3.3.6

1. Démontrer la propriété précédente.

2. On considère l’équation logax−loga²x+ loga⁴x= ³₄ d’inconnuex. Préciser pour quelles valeurs dexet acette équation est définie puis la résoudre.

(9)

C_log₁

2

C_log

2

C_log

10

1

3.4 Fonctions puissances

D´efinition 3.4.1 Soitα∈R. On appellefonction puissanced’exposantαla fonction d´efinie par : R^∗₊ −→ R

x 7−→ x^α Exercice 3.4.2 Soitα∈R.

1. Quel est le signe dex^α?

2. (a) Déterminer la dérivée de la fonction puissanceα.

(b) En d´eduire le sens de variation de la fonction puissanceα.

(c) D´eterminer les limites de la fonction puissanceαen0et +∞.

Propri´et´e 3.4.3 (i) ∀x∈R^∗+, x^α>0.

(ii) La fonction puissance d’exposantαest d´erivable et :∀x∈R^∗₊, x^α0

=αx^α−1. (iii) Siα >0 alors la fonction puissance d’exposantαest strictement croissante.

Si α <0 alors la fonction puissance d’exposantαest strictement d´ecroissante.

Si α= 0 alors la fonction puissance d’exposantαest constante.

(iv) Siα >0 alorslimx→0

x>0x^α= 0 etlimx→+∞x^α= +∞.

Si α <0 alorslimx→0

x>0x^α= +∞etlimx→+∞x^α= 0.

Remarques 3.4.4

(i) Soitx∈R^∗+. De la relation(x¹²)²=xon d´eduit que la fonction puissance d’exposant ¹₂ est la restriction

`

a R^∗+de la fonction racine carr´ee :

∀x∈R+, √ x=ß

x¹² six >0 0six= 0

De même, la fonction cube étant strictement croissante deRdansR, elle admet une bijection réciproque, la fonction racine cubique définie sur R, dont la fonction puissance d’exposant ¹₃ est la restriction à

(10)

R^∗₊ :

∀x∈R, √³ x=







x¹³ six >0 0six= 0

−(−x)¹³ six <0

(ii) Plus généralement sin∈N^∗ alors lafonction racinen-ièmeest définie surR+ sinest pair et surRsi nest impair et la fonction puissance d’exposant _n¹ est sa restriction à R^∗₊ :

Sinest pair : ∀x∈R+, √ⁿ x=ß

xⁿ¹ six >0 0six= 0 et si nest impair : ∀x∈R, √ⁿ

x=







xⁿ¹ six >0 0 six= 0

−(−x)ⁿ¹ six <0

(iii) Dans le cas oùα=navecn∈N, la fonction puissance d’exposantαest la restriction à R^∗+ de la fonction polynômialex7→xⁿ (définie sur R).

Dans le cas où α = −n avec n ∈ N^∗, la fonction puissance d’exposant α est la restriction à R^∗₊ de la fonctionx7→_x¹n (définie surR^∗).

On a tracé ci-dessous les courbes représentatives des fonctions puissances d’exposant −³₂, ¹₂, 3. La courbe représentative de la fonctionx7→x⁰ est la demi-droite d’équationsy= 1et x >0.

y=x³ y=x⁻

32

y=x

12

y= 1

1 Exercice 3.4.5

1. Étudier la position relative des courbes représentatives des deux fonctions définies parf(x) = (x+ 1)¹³ et g(x) =−^x₉² +^x₃ + 1.

2. R´esoudre dansRl’´equation : √³

x+ 2−√³ x= ¹₂.

Propriété 3.4.6 Soituune application définie et dérivable d’un intervalleI dansR^∗₊ etv une application définie et dérivable deI dansR. Alorsx7→u(x)^v⁽^x⁾ est définie et dérivable surI :

∀x∈I, (u^v)⁰(x) =

u⁰(x)v(x) +v⁰(x)u(x) ln(u(x))ev(x) ln(u(x))

u(x) Exercice 3.4.7 Démontrer la propriété précédente.

(11)

Exercice 3.4.8

1. ´Etudier (limites et variations) les fonctionsf et gd´efinies par : f(x) =x

√x g(x) =√ x^x

2. R´esoudre l’´equation f(x) =g(x).

3.5 Croissances compar´ ees

Exercice 3.5.1 On consid`ere la fonctionf d´efinie par : f(x) = lnx−2√

x 1. (a) Pr´eciser l’ensemble de d´efinition def.

(b) D´eterminer la limite def en0. Peut-on d´eterminer la limite def en+∞? (c) Dresser le tableau des variations def.

2. (a) En d´eduire que :

∀x∈[1,+∞[, 06 lnx x 6 2

√x (b) En d´eduire enfinlimx→+∞lnx

x puislimx→+∞f(x).

Propri´et´e 3.5.2

x→+∞lim lnx

x = 0

Propriété 3.5.3 – Comparaison logarithme népérien et puissances Soit(α, β)∈R^∗+2.

(i) limx→+∞ln^αx x^β = 0 (ii) limx→0⁺|lnx|^αx^β = 0

D´emonstration : Pour toutx∈]1,+∞[, ^ln_x^αβ^x =Å

lnx x^βα

ãα

. Or ^ln^x

x^βα

= ^α_β^ln^x^β^α

x^βα

et : limx→+∞x^α^β = +∞car ^β_α >0

limX→+∞lnX X = 0







⇒ limx→+∞α β

lnx^βα

x^βα

= 0 limX→0X^α= 0carα >0







⇒limx→+∞ln^αx

x^β = 0d’o`u (i).

Pour toutx∈]0,1[,|lnx|^αx^β= ^ln(x¹^α)^x¹^β et : limx→0⁺ 1

x= +∞ limX→+∞ln^αX

X^β = 0 )

⇒ lim

x→0⁺|lnx|^αx^β= 0d’o`u le point (ii).

C.Q.F.D.

Exercice 3.5.4

1. Étudier les limites aux bornes de son ensemble de définition dex7→ ^ln(1+x)^√_x . 2. Étudier les limites aux bornes de son ensemble de définition dex7→ ^ln(1+x_x₊_x₂²⁾.

Propri´et´e 3.5.5 – Comparaison puissances et exponentielles Soita∈]1,+∞[et α∈R.

(i) limx→+∞ a^x

x^α = +∞.

(ii) limx→−∞a^x|x|^α= 0.

(12)

Démonstration : Concernant le point (i), â_x^xα = e^x^lnâ−α^ln^x= e^x(^lnâ−α^lnx^x)et en vertu de la propriété 3.5.2 :

x→+∞lim lna−αlnx

x = lna >0⇒ limx→+∞x lna−α^ln_x^x= +∞

limX→+∞e^X = +∞

™

⇒limx→+∞e^x^ln^a−αln^x= +∞

Démontrons enfin le point (ii) : pour toutx <0,a^x|x|^α= e^x^lnâ⁺^α^ln^|x|= e^x ^lnâ−α^ln^|x|^|x|

. limx→−∞|x|= +∞

limX→+∞lnX X = 0

)

⇒limx→−∞lna−α^ln_|x|^|x| = lna⇒ limx→−∞xÄ

lna−α^ln_|x|^|x|ä

=−∞car lna >0 limX→−∞e^X= 0

| {z }

⇓

limx→−∞e^x^ln^a+α^ln^|x|= 0

C.Q.F.D.

Exercice 3.5.6

1. On consid`ere la fonctionf d´efinie par :

f(x) =x^x

(a) Préciser l’ensemble de définition def et préciser ses limites aux bornes de son ensemble de définition.

(b) Dresser le tableau des variations def. (c) Tracer la courbe repr´esentative def. 2. Mˆemes questions pourg:x7→2^x−2x.

4 Fonctions circulaires et circulaires r´ eciproques

4.1 Fonctions cosinus, sinus et tangente

D´efinitions 4.1.1

(i) On appelle fonction cosinusla fonction qui à x ∈R associe l’abscisse du point M_x situé sur le cercle trigonométrique et tel que :

(#»ı ,OM# »x) =x(2π)

(ii) On appellefonction sinusla fonction qui àxassocie l’ordonnée du pointMxsitué sur le cercle trigono- métrique et tel que :

(#»ı ,OM# »_x) =x(2π)

Propri´et´e 4.1.2

(i) ∀x∈R, −16cosx61.

(ii) La fonctioncosest d´erivable et :∀x∈R, cos⁰x=−sinx. (iii) La fonctioncosest croissante sur[−π,0]et d´ecroissante sur[0, π].

La courbe repr´esentative de la fontion cosinus est la suivante :

−π π 2π

−2π

C_cos

1

(13)

Exercice 4.1.3 D´emontrer que :

∀x∈R, 1−x²

2 6cosx61−x² 2 +x⁴

24

Propri´et´e 4.1.4

(i) ∀x∈R, −16sinx61.

(ii) La fonctionsinest d´erivable et :∀x∈R, sin⁰x= cosx.

(iii) La fonctionsinest d´ecroissante sur

−π,−^π₂

, croissante sur

−^π₂,^π₂

et d´ecroissante surπ 2, π

. La courbe repr´esentative de la fontion sinus est la suivante :

−π π 2π

−2π

C_sin

1 Remarques 4.1.5

(i) On a déjà vu (cf.Nombres complexes : Annexe B) de nombreuses propriétés des fonctionscos etsin. En particulier elles sont 2π-périodiques, cosest paire (c’est-à-dire que pour tout x∈R,cos(−x) = cosx) et sin est impaire (c’est-à-dire que pour toutx∈R,sin(−x) =−sinx).

(ii) La propriété B.2.1 s’interprète géométriquement puisqu’elle permet d’obtenir une représentation para- métrique du cercle trigonométrique C (cf. remarque B.2.2). Les fonctions présentées sontcirculaires en référence à cette propriété.

Exercice 4.1.6

1. R´esoudre les ´equations suivantes : sinx=

√2

2 2 cosx−1 = 0 sin 2x= 0 cos 2x−1 = 1

2 cosx−√

3 sinx= 1 2. R´esoudre les in´equations suivantes :

sinx60 1 + 2 cosx >0

D´efinition 4.1.7 On appellefonction tangentela fonction d´efinie pour toutx∈Rtel quecosx6= 0par :

∀x∈R\ [

k∈Z

nπ 2 +kπo

, tanx= sinx cosx

Propri´et´e 4.1.8

(i) La fonctiontanest π-p´eriodique et impaire.

(ii) La fonctiontanest d´erivable surR\S

k∈Z

π

2 +kπ et :

∀x∈R\[

k∈Z

nπ 2 +kπo

, tan⁰x= 1 + tan²x= 1 cos²x (iii) La fonctiontanest croissante sur

−^π₂,^π₂ .

La courbe repr´esentative de la fontion tangente est donn´ee ci-dessous :

(14)

−π π 2π

−2π

C_tan

1 Exercice 4.1.9 R´esoudre l’in´equationtanx>√

3.

4.2 Fonction exponentielle complexe

Définition 4.2.1 Soit ϕ une fonction d’un intervalle I dans C dont les parties réelle et imaginaire sont dérivables. On dit alors queϕest unefonction à valeurs complexes dérivableet on a :

∀t∈I, ϕ⁰(t) = (Reϕ)⁰(t) + i (Imϕ)⁰(t)

Ainsi la dérivée d’une fonction à valeurs complexes est définie par dérivation des parties réelle et imaginaire.

Exercice 4.2.2 Déterminer les dérivées des fonctionsf :t7→(1 + i)t³+ 2it² etg:t7→eⁱ^t.

Propriété 4.2.3 Soitϕune fonction à valeurs complexes dérivable sur un intervalle I alorst 7→e^ϕ⁽^t⁾ est une fonction à valeurs complexes dérivable surI et :

∀t∈I, (e^ϕ)⁰(t) =ϕ⁰(t) e^ϕ(t)

Exercice 4.2.4

1. Démontrer la propriété précédente.

2. Déterminer les dérivées des fonctionsf :t7→eâtet g:t7→eⁱ^θt.

(15)

4.3 Fonctions cosinus, sinus et tangente r´ eciproques

Définition et propriété 4.3.1

(i) La fonction cosinus est strictement décroissante de I = [0, π] dans J = [−1,1]. Elle admet donc une application réciproque notéearccos, définie de J dansI, également strictement décroissante.

(ii) arccosest d´erivable sur]−1,1[et :

∀x∈]−1,1[, arccos⁰x=− 1

√1−x²

D´emonstration : La fonction cosinus est strictement d´ecroissante deI = [0, π] dans J= cos([0, π])⊂[−1,1] et on admettra queJ = [−1,1]. Concernant le point (ii), on a :

∀x∈]0, π[, cos⁰x=−sinx6= 0

Donc arccos est d´erivable sur ] −1,1[ et pour tout x∈]−1,1[, arccos⁰x=−_sin(arccos¹ _x₎.

Puisque, pour toutx∈ R, on acos²x+ sin²x= 1 on en d´eduit que sinx = ±√

1−cos²x. En particulier, pour tout x ∈]−1,1[, arccosx ∈]0, π[ donc sin arccosx > 0 etsin arccosx=√

1−cos²arccosx. Par ailleurs pour tout x∈]−1,1[, cos arccosx = xdonc sin arccosx= √

1−x² et :

∀x∈]−1,1[, arccos⁰x=− 1

√1−x²

C.Q.F.D.

La courbe repr´esentative de la fonction arccos est donn´ee ci- contre.

π

C_Arccos

b

1

−1

1 Exercice 4.3.2 A l’aide de l’exercice 4.1.3, d´emontrer que :`

∀x∈[−1,1], »

2(1−x)6arccosx

(i) La fonction sinus est strictement croissante de I =

−^π₂,^π₂

dans J = [−1,1]. Elle admet donc une application réciproque notéearcsin, définie deJ dansI, également strictement croissante.

(ii) arcsin est d´erivable sur]−1,1[et :

∀x∈]−1,1[, arcsin⁰x= 1

√1−x² Exercice 4.3.4 Démontrer la propriété précédente.

(16)

Remarque 4.3.5 Il est important de constater que la fonctionarccos(respectivementarcsin) est d´efinie sur[−1,1]

mais non dérivable en −1 et 1; cela est du au fait qu’en arccos(−1) = π et arccos(1) = 0, la dérivée de cos est nulle (respectivement enarcsin(−1) =−^π₂ etarcsin(1) = ^π₂, la dé- rivée desinest nulle).

On a par exemple le même phénomène pour la fonction racine carrée, réciproque de la fonction carré. La fonction racine carrée est définie sur[0,+∞[mais non dérivable en0car la fonction carré a une dérivée nulle en0.

La courbe repr´esentative de la fonction arcsin est donn´ee ci-contre.

Exercice 4.3.6

1. ´Etudier les variations de x7→arccosx+ arcsinx.

2. En d´eduire que :

∀x∈[−1,1], arccosx+ arcsinx= π 2

π2

−^π₂

C_Arcsin

b

1

−1

1 Définition et propriété 4.3.7

(i) La fonction tangente est strictement croissante deI=

−^π₂,^π₂

dansJ =R. Elle admet donc une application réciproque notéearctan, définie de J dansI, également strictement croissante.

(ii) arctanest d´erivable surRet :

∀x∈R, arctan⁰x= 1 1 +x² Exercice 4.3.8 Démontrer la propriété précédente.

La courbe repr´esentative de la fonction arctanest la suivante :

π 2

−^π

2

C_Arctan

1

−1

1

Exercice 4.3.9 Etudier les variations de´ x7→arctanx+ arctan_x¹. Que peut-on en d´eduire ?

5 Fonctions hyperboliques et hyperboliques r´ eciproques

5.1 Fonctions cosinus, sinus et tangente hyperbolique

D´efinitions 5.1.1

(i) On appellecosinus hyperbolique la fonction not´eechet d´efinie surRpar :

∀x∈R, chx=e^x+ e^−x 2

(ii) On appellesinus hyperboliquela fonction not´eesh et d´efinie surRpar :

∀x∈R, shx= e^x−e^−x 2

(17)

(iii) On appelletangente hyperboliquela fonction not´eethet d´efinie surR(car pour toutx∈R,chx >0) par :

∀x∈R, thx= shx chx

Exercice 5.1.2

1. (a) ´Etudier la parit´e dech.

(b) ´Etudier les variations de ch.

(c) D´eterminer les limites dechen±∞.

2. Mˆemes questions poursh.

Propri´et´e 5.1.3

(i) La fonctionchest paire.

(ii) La fonctionchest d´erivable et : ∀x∈R, ch⁰(x) = shx. (iii) La fonctionchest croissante surR+ et d´ecroissante surR−.

Propri´et´e 5.1.4

(i) La fonctionshest impaire.

(ii) La fonctionshest d´erivable et :∀x∈R, sh⁰(x) = chx.

(iii) La fonctionshest croissante surR.

Propri´et´e 5.1.5

(i) Pour toutx∈R:ch²x−sh²x= 1.

(ii) Pour toutx∈R:e^x= chx+ shx.

Exercice 5.1.6 Démontrer la propriété précédente.

Les courbes repr´esentatives des fonctions cosinus et sinus hyperbolique sont les suivantes :

C_sh C_ch

1

(18)

Remarque 5.1.7 De même que dans la remarque 4.1.5, la propriété 5.1.5 s’interprète géométriquement puisqu’on peut démontrer que l’ensemble des points de coordonnées (cht,sht) (où t ∈R) est une branche de l’hyperbole H(cf. chapitre Courbes paramétrées. Coniques) ; celle-ci est représentée ci-dessous. Les fonctions présentées sonthyperboliques en référence à cette propriété.

H

1 Exercice 5.1.8

1. Démontrer les relations suivantes (oùaetb sont des réels quelconques) : ch(a+b) = chachb+ shashb ch(a−b) = chachb−shashb sh(a+b) = shachb+ shbcha sh(a−b) = shachb−shbcha 2. Démontrer les relations suivantes (oùaest un réel quelconque) :

ch(2a) = ch²a+ sh²a sh(2a) = 2 chasha th(2a) = 2 tha 1 + th²a

Propri´et´e 5.1.9

(i) La fonctionthest impaire.

(ii) La fonctionthest d´erivable et :∀x∈R, th⁰(x) = 1−th²x= _ch¹2x. (iii) La fonctionthest croissante surR.

Exercice 5.1.10 Démontrer la propriété précédente.

La courbe repr´esentative de la fonction thest la suivante :

C_th

1

(19)

5.2 Fonctions cosinus, sinus et tangente hyperboliques r´ eciproques

(i) La fonction cosinus hyperbolique est strictement croissante deI=R+ dansJ= [1,+∞[. Elle admet donc une application réciproque notéeargch, définie deJ dansI, et également strictement croissante.

(ii) argchest d´erivable sur]1,+∞[et :

∀x∈]1,+∞[, argch⁰x= 1

√x²−1

D´emonstration : La fonction cosinus hyperbolique est strictement croissante de I = [0,+∞[ dans J = ch([0,+∞[)⊂[1,+∞[ (ce qu’un simple calcul de limites permet de justifier) et on admettra que J= [1,+∞[. Concernant le point (ii), on a :

∀x∈R^∗+, ch⁰x= shx6= 0

Doncargchest d´erivable sur]1,+∞[et :∀x∈]1,+∞[, argch⁰x= 1 sh (argchx). Puisque, pour toutx∈R, on ach²x−sh²x= 1on en d´eduit queshx=±p

ch²x−1. En particulier, pour toutx∈]1,+∞[, argchx > 0 doncsh argchx > 0 et sh argchx=»

ch²argchx−1. Enfin, pour toutx∈]1,+∞[,ch argchx=xdoncsh argchx=√

x²−1et :

∀x∈]1,+∞[, argch⁰x= 1

√x²−1

C.Q.F.D.

La courbe repr´esentative de la fonction argchest la suivante :

C_Argch

1 Définition et propriété 5.2.2

(i) La fonction sinus hyperbolique est strictement croissante de I = R dans J = R. Elle admet donc une application réciproque notéeargsh, définie de J dansI, et également strictement croissante.

(ii) argshest d´erivable surRet :

∀x∈R, argsh⁰x= 1

√ x²+ 1 Exercice 5.2.3 Démontrer la propriété précédente.

La courbe repr´esentative de la fonction argshest donn´ee en page suivante.

(i) La fonction tangente hyperbolique est strictement croissante deI=RdansJ =]−1,1[. Elle admet donc une application réciproque notéeargth, définie de J dansI, et également strictement croissante.

(ii) argthest d´erivable sur]−1,1[et :

∀x∈]−1,1[, argth⁰x= 1 1−x²

(20)

C_Argsh

1 Exercice 5.2.5 Démontrer la propriété précédente.

La courbe repr´esentative de la fonction argthest la suivante :

C_Argth

1 Exercice 5.2.6

1. Pour tout(x, y)∈R×]−1,1[, r´esoudre l’´equationthx=y d’inconnuex.

2. En d´eduire une expression deargth.