SUITES USUELLES

C.B. N° 7

SUITES USUELLES

CORRECTION

Math Sup ICAM Toulouse CB07-Correction

1- Soient

( )

^u_{n n∈}ℕ et

( )

^v_{n n∈}ℕ deux suites réelles définies par :

1

0 0

1

4 2

1, 2 et , .

3 3

n n n

n n n

u u v

u v n

v v u

+ +

= −

= − = ∀ ∈ 

= −

 ℕ

a) Montrer que

(

un+vn n

)

_∈ℕ est constante.

1 1

, _{n n} 4 _n 2 _n 3 _n 3 _{n n n}

n u ₊ v ₊ u v v u u v

∀ ∈ℕ + = − + − = + ,

La suite

(

un+vn n

)

_∈ℕ est donc constante, et ∀ ∈n ℕ, u_n+ = + =v_n u₀ v₀ 1.

b) Montrer que

( )

un n_∈ℕ est arithmético-géométrique.

D’après la question précédente : ∀ ∈n ℕ,v_n= −1 u_n, donc ∀ ∈n ℕ,u_n+1=4u_n−2 1

(

−u_n

)

= − +2 6u_n. La suite

( )

un n_∈ℕest donc arithmético-géométrique.

c) En déduire un et vn en fonction de n∈ℕ_. Soit l tel que l = -2 + 6l, c’est-à-dire l = 2

5.

( ) ( )

, _n 2 6 _n 2 6 6 _n

n u l u l u l

∀ ∈ℕ − = − + − − + = − , ainsi la suite

(

un−l

)

n_∈ℕest géométrique, de raison

r = 6 et de terme initial : ₀ 7 u − =l −5 .

On en déduit que : 2 7

, 6

5 5

n

n un

∀ ∈ℕ = − × , et par suite : 3 7

, 1 6 .

5 5

n

n n

n v u

∀ ∈ℕ = − = + ×

d) Expliciter

0 n

k k

u

=

∑

en fonction de n∈ℕ_.

( )

¹

( ) (

¹

)

0 0

2 7 2 7 1 6 2 7

, 6 1 1 6 1 .

5 5 5 5 1 6 5 25

n n n

n n

k

k k

n u n n

+ +

= =

−

 

∀ ∈^ℕ

∑

=

∑

 − = + − × − = + − −

2- Soit

( )

un n_∈ℕ une suite réelle définie par :

( )

0 1, 1 1 et , _n 2 4 _n 1 _n .

u = − u = ∀ ∈n ℕ u ₊ = − u ₊ +u Expliciter un en fonction de n∈ℕ_.

La suite

( )

un n_∈ℕest une suite linéaire d’ordre 2, d’équation caractéristique : r² + 4r + 4 = 0, qui admet -2 pour solution double.

On a donc : ^{∀ ∈n} ℕ^,un= λ + µ × −

(

ⁿ

) ( )

^{2 n}, avec λ µ et déterminées par les valeurs de u0 et u1 :

( )

1 2

2 1 1

2 µ = − µ = − 

 

⇔

 

− λ + µ = λ =

  ; on a donc : ^{, 1 1}

( )

²

2

n

n un  n 

∀ ∈ = − × −

 

ℕ .

C.B. N° 7

SUITES USUELLES

CORRECTION

Math Sup ICAM Toulouse CB07-Correction

1- Soient

( )

un n_∈ℕ et

( )

vn n_∈ℕ deux suites réelles définies par :

1

0 0

1

3 2

1, 2 et , .

2 3

n n n

n n n

u u v

u v n

v u v

+ +

= +

= = ∀ ∈ 

= +

 ℕ

a) Montrer que

(

un−vn n

)

_∈ℕ est constante.

1 1

, _{n n} 3 _n 2 _n 2 _n 3 _{n n n}

n u ₊ v₊ u v u v u v

∀ ∈ℕ − = + − − = − ,

La suite

(

un−vn n

)

_∈ℕ est donc constante, et ∀ ∈n ℕ, u_n− = − = −v_n u₀ v₀ 1. b) Montrer que

( )

un n_∈ℕ est arithmético-géométrique.

D’après la question précédente : ∀ ∈n ℕ,v_n= +1 u_n, donc ∀ ∈n ℕ,u_n+1=3u_n+2 1

(

+u_n

)

= +2 5 .u_n La suite

( )

un n_∈ℕest donc arithmético-géométrique.

c) En déduire un et vn en fonction de n∈ℕ_. Soit l tel que l = 2 + 5l, c’est-à-dire l = 1

2

− .

( ) ( )

, _n 2 5 _n 2 5 5 _n

n u l u l u l

∀ ∈ℕ − = + − + = − , ainsi la suite

(

un−l

)

n_∈ℕest géométrique, de raison r = 5 et de terme initial : ₀ 3

u − =l 2.

On en déduit que : 1 3

, 5

2 2

n

n un −

∀ ∈ℕ = + × , et par suite : 1 3

, 1 5 .

2 2

n

n n

n v u

∀ ∈ℕ = + = + ×

d) Expliciter

0 n

k k

u

∑

= en fonction de n∈ℕ_.

( )

¹

( ) (

¹

)

0 0

1 3 1 3 1 5 1 3

, 2 1 1 5 1 .

2 2 2 2 1 5 2 8

n n n

n n

k

k k

n u n n

+ +

= =

− − − −

 

∀ ∈^ℕ

∑

=

∑

 + = + + × − = + + −

2- Soit

( )

un n_∈ℕ une suite réelle définie par :

0 2, 1 1 et , _n 2 2 _{n n} 1. u = − u = ∀ ∈n ℕ u ₊ = u −u ₊ Expliciter un en fonction de n∈ℕ_.

La suite

( )

un n_∈ℕest une suite linéaire d’ordre 2, d’équation caractéristique : r² + r – 2 = 0, qui admet -2 et 1 pour solutions.

On a donc : ^{∀ ∈n ℕ,un= λ + µ −}

( )

^{2 n, avec λ µ et} déterminées par les valeurs de u0 et u1 :

2 1

2 1 1

λ + µ = − µ = −

 

⇔

 

λ − µ = λ = −

  ; on a donc : ^{∀ ∈n ℕ,un= − − −1}

( )

^{2 n.}