Ensemble des réels, suites usuelles

Ensemble des réels, suites usuelles

Cours de É. Bouchet ECS1 4 octobre 2018

Table des matières

1 Ensemble des nombres réels 2

1.1 Théorème de la borne supérieure . . . 2

1.2 Valeur absolue . . . 3

1.3 Partie entière . . . 4

2 Exemples de suites de réels 5 2.1 Suites arithmétiques . . . 5

2.2 Suites géométriques . . . 5

2.3 Suites arithmético-géométriques . . . 5

2.4 Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 . . . 6

1 Ensemble des nombres réels

1.1 Théorème de la borne supérieure

Soit Aun sous-ensemble de R. Un majorant (resp. minorant) deA est un élémentM de R tel que

∀x∈A, x6M (resp.x>M).

Dénition (Majorant, minorant).

Soit Aun sous-ensemble de R. On dit queM est le maximum (resp. minimum) de A siM ∈A et

∀x∈A, x6M (resp.x>M).

Dénition (Maximum, minimum).

Remarque. Un ensembleA ne possède pas nécessairement de majorant ou minorant, et s'ils existent, il ne sont pas uniques. De même,An'admet pas nécessairement de maximum ou minimum. Par contre, s'ils existent, ils sont uniques.

Exemple 1. R et [0,+∞[ ne possèdent pas de majorants, ni de maximum. Par contre, [0,5] et [0,5[ possèdent des majorants :5,6,10, ou plus généralement tout réelx>5. L'ensemble[0,5]possède également un maximum :5, alors que[0,5[ne possède pas de maximum.

Tout sous-ensembleAdeRnon vide et majoré (resp. minoré) admet un plus petit majorant (resp. un plus grand minorant). Il est appelé borne supérieure de A (resp. borne inférieure) et noté supA (resp.

infA).

Théorème (Théorème de la borne supérieure).

Remarque. Dans le cas oùA est non vide et majoré,

supA n'est pas forcément un élément de A, à la diérence de maxA qui, s'il existe, est nécessairement un élément de A.

si maxA existe, alorsmaxA= supA.

supAest unique, il y a par contre une innité de majorants.

Exemple 2. SoitA={¹_n|n∈N^∗}. Déterminer (s'ils existent) : la borne supérieure deA, le maximum de A, la borne inférieure deA, le minimum de A.

A est non vide (il contient 1), est majoré par 1et minoré par 0. Donc par le théorème de la borne supérieure, il admet une borne supérieure et une borne inférieure, à déterminer ultérieurement.

1∈A(cas n= 1) et1 majore A, donc 1est à la fois le maximum et la borne supérieure de A.

Supposons queAadmet un minimumα. C'est un minorant deA, donc∀n∈N^∗,α6 _n¹. Par passage à la limite, on trouve α60. De plus,α∈A, donc il existe un entiern₀ tel queα= _n¹

0 >0. Absurde. Donc An'admet pas de minimum.

Soit β la borne inférieure de A (dont on a déjà montré l'existence). C'est un minorant de A, donc ∀n ∈ N^∗, β 6 ¹_n. Par passage à la limite, on trouve β 6 0. De plus 0 est minorant de A et β est le plus grand des minorants : on en déduit 06β. Doncβ = 0 et0est la borne inférieure de A.

Soit I un ensemble de réels. On dit queI est un intervalle deR quand :

∀(x, y)∈I², ∀z∈R, (x6z6y=⇒z∈I).

Dénition (Intervalle).

Exemple 3. R,R+,[0,5[,]3,18[ sont des intervalles deR.R^∗ n'en est pas un car il ne contient pas0.

Remarque. Si un intervalle non vide est borné, il contient alors tous les réels compris entre sa borne inférieure et sa borne supérieure.

1.2 Valeur absolue

Pour tout réel x, le maximum de l'ensemble{x,−x} est la valeur absolue dex, notée|x|. Dénition (Valeur absolue).

Pour manipuler des valeurs absolues, on cherchera le plus souvent à raisonner par séparation des cas.

Exemple 4.

1. Soitn∈N, calculer S =

n

X

j=0 n

X

i=0

|i−j|.

S=

n

X

j=0





j

X

i=0

(j−i) +

n

X

i=j+1

(i−j)





=

n

X

j=0

j

j

X

i=0

1−

j

X

i=0

i+

n−j

X

k=1

k

!

avec k=i−j

=

n

X

j=0

j(j+ 1)−j(j+ 1)

2 +(n−j)(n−j+ 1) 2

= n(n+ 1) 2

n

X

j=0

1−n

n

X

j=0

j+

n

X

j=0

j² en développant et par linéarité

= n(n+ 1)²

2 −nn(n+ 1)

2 +n(n+ 1)(2n+ 1) 6

= n(n+ 1)(n+ 2) 3

2. CalculerI = Z 1

−1

exp (−|x|+ 1)dx.

I = Z 0

−1

exp (x+ 1)dx+ Z 1

0

exp (−x+ 1)dx

= [exp (x+ 1)]⁰₋₁+ [−exp (−x+ 1)]¹₀

=e−1 + (−1)−(−e)

= 2(e−1)

Pour tout (x1, x2, . . . , xn)∈Rⁿ, on a :

n

X

k=1

x_k

6

n

X

k=1

|x_k|.

Proposition (Inégalité triangulaire).

Démonstration. (démonstration à connaître) On montre le résultat dans le cas d'une somme de deux termes (le principe est le même pour une somme dentermes). On commence par élever|x₁+x₂|et|x₁|+|x₂|au carré pour les comparer :

(|x₁+x2|)²−(|x₁|+|x₂|)² = (x1+x2)²− |x₁|²− |x₂|²−2|x₁||x₂|

=x²₁+x²₂+ 2x₁x₂−x²₁−x²₂−2|x₁||x₂|

= 2 (x1x2− |x₁x2|) 60

D'où (|x₁+x2|)² 6 (|x₁|+|x₂|)². En composant par la fonction racine carrée, qui est croissante sur R+, on trouve l'inégalité désirée.

1.3 Partie entière

Pour tout réel x, il existe un unique entier n ∈Z tel quen6x < n+ 1. L'entier n est appelé la partie entière de x, que l'on notebxc.

Dénition (Partie entière).

Démonstration. On admet l'existence (nécessite d'utiliser que R est archimédien, ce qui n'est pas au programme), montrons l'unicité. Supposons quenetn⁰ sont deux entiers qui conviennent. On an6x < n⁰+ 1, et doncn6n⁰. De même,n⁰ 6n, et donc n=n⁰. D'où l'unicité.

Remarque. Soitx∈R. On a donc bxc6x <bxc+ 1.

Exemple 5. On a :b2,5c=2,b2c=2,b−2,5c=−3,b0,8c=0.

Soit n∈Z, etx∈R. On a :

bn+xc=n+bxc. Proposition (Partie entière de la somme d'un réel et un entier).

Démonstration. (démonstration à connaître) On cherche l'encadrement den+xpar deux entiers successifs qui pourra permettre d'utiliser la dénition. Par dénition de bxc,bxc 6x < bxc+ 1. Donc en ajoutant n à tous les membres, bxc+n6x+n <bxc+n+ 1, avecbxc+n∈Z. Donc par dénition de la partie entière den+x,bn+xc=n+bxc.

Remarque. Attention : la plupart des autres opérations que l'on pourrait vouloir eectuer avec la partie entière sont fausses. On ne peut notamment pas sommer dans le cas général, ni multiplier par un scalaire.

Exemple 6. Chercher un contre-exemple qui montre quebλxc 6=λbxc. En eet,

2¹₂

=b1c= 1 alors que2₁

2

= 2×0 = 0.

Exemple 7. 1. Soity ∈R. Déterminer un encadrement debycen fonction dey.

On sait par dénition quebyc6y ety <byc+ 1. Doncbyc6y ety−1<byc, ce qui donney−1<byc6y. 2. Soitx∈R. Déduire de la question précédente la limite de la suite

bnxc n

n∈N^∗

.

Soitn∈N^∗, on applique la question précédente ày=nx: nx−1

n < bnxc n 6 nx

n . On a doncx−1

n < bnxc n 6x, et la suite converge versx par théorème d'encadrement.

2 Exemples de suites de réels

2.1 Suites arithmétiques

Dénition récurrente en fonction de n : u_n+1=u_n+r.

Expression deun en fonction de n et d'un terme quelconque up : un=up+ (n−p)r.

2.2 Suites géométriques

Dénition récurrente en fonction de n : u_n+1=u_nr.

Expression deun en fonction de n et d'un terme quelconque up : un=upr^n−p. 2.3 Suites arithmético-géométriques

On dit que la suite(un)n∈N est arithmético-géométrique lorsqu'il existe deux réels a6= 1 etb tels que, pour tout n∈N,

un+1 =aun+b.

Dénition (Suite arithmético-géométrique).

Soit(u_n)n∈N une suite arithmético-géométrique qui vérie pour toutn∈N,u_n+1=a·u_n+b. Alors, pour tous entiers netptels que p6n,

u_n=a^n−p(u_p−c) +cavec c= b 1−a. Proposition (Terme général d'une suite arithmético-géométrique).

Démonstration. (démonstration à connaître) Soitpxé. Le réelcest bien déni, car par hypothèsea6= 1. On commence par montrer que la suite(u_n−c)n∈N est géométrique de raison a. Soit nun entier plus grand quep,

un+1−c=aun+b− b

1−a =aun+b−ab−b

1−a =aun−a b

1−a =a(un−c).

Il sut ensuite d'appliquer les formules pour les suites géométriques : pour tous entiersnetp tels quep6n, u_n−c=a^n−p(u_p−c).

D'où le résultat.

Remarque. Si on oublie la valeur dec, on peut la retrouver facilement en remarquant que c'est l'unique solution sur Rde l'équation x=ax+b.

Exemple 8. u0= 1 et∀n∈N,un+1=−2u_n+ 3. Donner l'expression de unen fonction de n. En utilisant la formule précédente pourp= 0, on trouve :∀n>0,

un= (−2)ⁿ

1− 3 1 + 2

+ 3

1 + 2 = 1.

2.4 Suites récurrentes linéaires d'ordre 2

On dit que la suite(un)n∈N est récurrente linéaire d'ordre 2 ou récurrente linéaire double lorsqu'il existe (a, b)∈R²\ {(0,0)} tels que pour tout n∈N,

un+2 =aun+1+bun. Dénition (Suite récurrente linéaire d'ordre 2).

Exemple 9. Soitq ∈R etu la suite dénie par :∀n∈N,u_n=qⁿ. Pour quelles valeurs de q cette suite vérie-t-elle la relation de récurrence∀n∈N,un+2 =aun+1+bun?

∀n∈N, u_n+2 =au_n+1+bu_n⇐⇒ ∀n∈N, qⁿ⁺² =aqⁿ⁺¹+bqⁿ

⇐⇒

q²=aq+b si q6= 0

b= 0 sinon

Dans le premier cas, le résultat s'obtient en divisant les deux membres parqⁿ6= 0. Le deuxième cas s'obtient avec la valeur particulièren= 0.

Soit u une suite récurrente linéaire d'ordre 2 vériant ∀n ∈ N, u_n+2 = au_n+1 +bu_n. Son équation caractéristique est :

q² =aq+b. (Ec)

Dénition (Équation caractéristique).

On suppose que pour toutn∈N,un+2 =aun+1+bun. Soit∆le discriminant de l'équation caractéristique.

Si∆>0, (E_c) admet deux solutions distinctes réellesq₁ etq₂ et∃!(α, β)∈R² tels que :

∀n∈N, un=αq₁ⁿ+βqⁿ₂.

Si∆ = 0, (Ec) admet une unique solution réelleq et∃!(α, β)∈R² tels que :

∀n∈N, u_n= (αn+β)qⁿ.

Si∆<0, (E_c) admet deux solutions complexes conjuguéesz₁etz₂. On posez₁ =ρe^iθ,∃!(α, β)∈R² tels que :

∀n∈N, un=ρⁿ(αcos(nθ) +βsin(nθ)).

Théorème (Étude d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2).

Remarque. Les réelsα etβ sont déterminés à partir des conditions initiales.

Remarque. Dans le cas ∆< 0, le choix de z1 ou z2 n'a pas d'importance : le résultat nal sera le même après la prise en compte des conditions initiales.

Exemple 10. Soit u la suite dénie par u₀ = 0, u₁ = 1 et ∀n ∈ N, u_n+2 = u_n+1+u_n. Soit n ∈ N, déterminer l'expression deu_n en fonction den.

On identie une suite récurrente linéaire d'ordre2d'équation caractéristiqueq²−q−1 = 0. On a alors∆ = 1+4 = 5>0.

L'équation a donc deux solutions réelles,q1 = ¹⁺

√5

2 etq2= ¹⁻

√5 2 . Donc∃(α, β)∈R² tels que ∀n∈N,

un=αqⁿ₁ +βq₂ⁿ.

Comme u0 = 0, u1 = 1, on doit nécessairement avoir α+β = 0 etαq1+βq2 = 1. Donc en remplaçant, β = −α et α

1+√ 5 2 −¹⁻

√ 5 2

= 1, ce qui donneα= ^√1

5 etβ =−^√1

5. Conclusion :∀n∈N,

u_n= 1

√5

1 +√ 5 2

!n

− 1

√5

1−√ 5 2

!n

.