PREPA COURCELLES PREMIERE ANNEE 1 SUITES USUELLES 1. Suites arithmétiques u

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SUITES USUELLES 1. Suites arithmétiques

un+1= un + r, où r (raison) est une constante réelle additive, indépendante de n (entier naturel) On peut alors écrire tous les termes de un à u1 :

un = un-1 + r un-1 = un-2 + r un-2 = un-3 + r

…

u2 + r u2 = u1 + r u1 = u0 + r

Finalement, cette présentation montre que, en additionnant les différents termes membre à membre, la plupart des termes se simplifient ; il ne subsiste que :

un = u0+ nr.

La justification du terme nr est la suivante : r apparaît à toutes les lignes ; il ne donne lieu à aucune simplification et il y a n lignes (la première est associée à u1 et la dernière à un).

2. Suites géométiques

un+1= q.un, où q (raison) est une constante réelle multiplicative, indépendante de n (entier naturel)

On peut alors écrire tous les termes de un à u1 : un = q.un-1

un-1 = q.un-2 un-2 = q.un-3

…

u2 = q.u1

u1 = q.u0

Finalement, cette présentation montre que, en multipliant les différents termes membre à membre, la plupart des termes se simplifient ; il ne subsiste que :

un = qⁿ u0

La justification du terme qⁿ est la suivante : q apparaît à toutes les lignes et ne donne lieu à aucune simplification et il y a n lignes (la première est associée à u1 et la dernière à un).

Exemple TRES CLASSIQUE repris dans de nombreux sujets de concours.

Exprimer un en fonction de n et de u0 dans l’hypothèse où : un+1= (n+1).un où n est un entier naturel.

Cette suite ressemble à une suite géométrique. Mais n n’est pas une constante (contrairement à l’hypothèse faite sur q précédemment). On ne peut donc pas appliquer le résultat un= qⁿ u0.

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Toutefois, il est possible de reprendre la démonstration de cette formule dans le cas particulier de cet exemple :

On peut écrire tous les termes de un à u1 : un = n.un-1

un-1 = (n-1).un-2 un-2 = (n-2).un-3

…

u2 = 2.u1

u1 = 1.u0.

En multipliant les différents termes membre à membre, la plupart des termes se simplifient ; il ne subsiste que :

un = n (n-1) (n-2)… 2 .1 . u0 soit finalement : un = n !.u0.

3. Somme des n premiers termes d’une suite géométrique Soit u une suite géométrique de raison q. Calculons

∑

= n i

ui 0

= u0+u1+…+un

Soit Sn cette somme. On peut alors écrire : Sn = u0 + u1 + u2… + un-1 + un

qSn = qu0 + qu1 + … qun-2+ qun-1 + qun. Soustrayons membre à membre :

Sn – qSn = u0 - qun. Or un = qⁿ u0. Donc : Sn – qSn = u0 - q qⁿ u0. Au total : Sn (1-q) = u0(1-qⁿ⁺¹) d’où : Sn = u0

q - 1

q -

1 ⁿ⁺¹ . Enfin, comme u0 = q⁰= 1, on en déduit que :

Sn = q⁰ + q¹ +… + qⁿ = q⁰ q - 1

q -

1 ⁿ⁺¹ = q - 1

q -

1 ⁿ⁺¹ (1ère somme très classique)

NB très important : on remarque que : Sn = Premier terme .

raison - 1 raison -

1 ^{nombrede termes}

Cette somme comporte en effet n+1 terme : si la Somme Sn avait été

∑

= n i

ui 1

soit :

u1 + u2… + un-1 + un il y aurait eu n termes. Comme la somme part de i=0 ce qui revient à ajouter le terme u0, on en compte en tout n+1 :

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3 Ainsi pour calculer

∑

= n i

qi 1

il convient de remarquer que :

• le premier terme est q¹ = q ;

• le nombre de termes = n.

D’où :

∑

= n i

qi 1

= q¹ q - 1

q -

1 ⁿ (2ème somme très classique)

4. Suites arithmético-géométriques

un+1= aun + b, où a et b sont des constantes réelle indépendantes de n (entier naturel).

On peut alors écrire tous les termes de u1 à un et prévoir une colonne à gauche pour inscrire les multiplicateurs de lignes permettant d’effectuer des simplifications :

Multiplicateurs :

un = a.un-1 + b (égalité 1) a¹ un-1 = a.un-2 + b (égalité 2) a² un-2 = a.un-3 + b (égalité 3)

…

a^n-2 u2 = a.u1 + b

a^n-1 u1 = a.u0 + b (dernière égalité)

JUSTIFICATION DES MULTIPLICATEURS :

En additionnant membre à membre les 2 premières égalités, les termes un-1 se simplifient à condition d’avoir aun-1 dans la seconde égalité. Ceci est possible à condition de mutiplier tous les termes de l’égalité (un-1 d’une part, aun-2+b d’autre part), par a. Au total, l’égalité 2 devient :

aun-1 = a²un-2+b. Par conséquent, pour pouvoir simplier le terme un-2 de l’égalité 3, il convient de multiplier l’ensemble de la ligne par a².

Ainsi, chaque ligne est multipliée par un coefficient (encore appelé multiplicateur) dont l’esposant, ajouté à l’indice de la suite (exprimée en fonction du terme précédent, de a et de b) donne toutjours n :

• Egalité 1 : exposant 0 car 0+n=n

• Egalité 2 : exposant 1 car 1+(n-1) =n

• …

• Dernière égalité : exposant n-1 car (n-1)+1=n

Cette présentation montre que, en additionnant les différents termes membre à membre, la plupart des termes se simplifient ; il ne subsiste que :

un = a^n-1.a.u0+ b(a⁰+a¹+a²+…+a^n-1) = aⁿu0+b.

∑

= 1 0 n i

ai

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4 Le montant

∑

−

= 1 0 n i

aiest la somme des n premiers termes d’une suite géométrique de raison a, le premier terme étant a⁰. NB : il y a bien n termes car :

• si la somme avait été

∑

= 1 1 n i

ai= a¹+a²+…+a^n-1, il y aurait eu n-1 termes ;

• comme on part de i=0, on ajoute le terme a⁰, ce qui conduit bien à n termes.

Donc :

∑

= 1 0 n i

ai = a⁰ . a aⁿ

−

− 1

1 . Finalement : un = aⁿu0 + b.

a aⁿ

−

− 1

1 soit : un = aⁿ(u0- a b 1− ) +

a b 1−

DEMONSTRATION ALTERNATIVE (recommandée par le nouveau programme de prépa) Partons du principe selon lequel :

𝑢_!!! = 𝑎.𝑢_!+𝑏 et posons :q

𝑥= 𝑎𝑥+𝑏 (1)

Soustrayons membre à memnbre les deux précédentes égalités : 𝑢_!!!−𝑥=𝑎.𝑢_!+𝑏−𝑎𝑥−𝑏

En simplifiant par b et en factorisant par a : 𝑢_!!!−𝑥=𝑎.(𝑢_!−𝑥) (2)

Soit : 𝑣_! = 𝑢_!−𝑥 (3)

On reconnaît alors, dans l’équation (2) : 𝑣_!!! = 𝑎.𝑣_!

(v) est donc une suite géométrique de raison a. Ainsi : 𝑣_! =𝑣_!.𝑎^!

Par ailleurs, la résolution de l’équation du premier degré (1) conduit à : 𝑥=_!!!^! Ainsi, en reportant la valeur de x dans l’équation (3) : : 𝑣_! = 𝑢_!−_!!!^!

Donc : 𝑢_! = 𝑣_!+_!!!^! = 𝑣_!.𝑎^! +_!!!^! = (𝑢_!−𝑥).𝑎^! +_!!!^! Finalement, on retrouve bien :

𝑢_!= (𝑢_!−_!!!^! ).𝑎^!+_!!!^!