PREPA COURCELLES PREMIERE ANNEE
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SUITES USUELLES 1. Suites arithmétiques
un+1= un + r, où r (raison) est une constante réelle additive, indépendante de n (entier naturel) On peut alors écrire tous les termes de un à u1 :
un = un-1 + r un-1 = un-2 + r un-2 = un-3 + r
…
u2 + r u2 = u1 + r u1 = u0 + r
Finalement, cette présentation montre que, en additionnant les différents termes membre à membre, la plupart des termes se simplifient ; il ne subsiste que :
un = u0+ nr.
La justification du terme nr est la suivante : r apparaît à toutes les lignes ; il ne donne lieu à aucune simplification et il y a n lignes (la première est associée à u1 et la dernière à un).
2. Suites géométiques
un+1= q.un, où q (raison) est une constante réelle multiplicative, indépendante de n (entier naturel)
On peut alors écrire tous les termes de un à u1 : un = q.un-1
un-1 = q.un-2 un-2 = q.un-3
…
u2 = q.u1
u1 = q.u0
Finalement, cette présentation montre que, en multipliant les différents termes membre à membre, la plupart des termes se simplifient ; il ne subsiste que :
un = qn u0
La justification du terme qn est la suivante : q apparaît à toutes les lignes et ne donne lieu à aucune simplification et il y a n lignes (la première est associée à u1 et la dernière à un).
Exemple TRES CLASSIQUE repris dans de nombreux sujets de concours.
Exprimer un en fonction de n et de u0 dans l’hypothèse où : un+1= (n+1).un où n est un entier naturel.
Cette suite ressemble à une suite géométrique. Mais n n’est pas une constante (contrairement à l’hypothèse faite sur q précédemment). On ne peut donc pas appliquer le résultat un= qn u0.
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Toutefois, il est possible de reprendre la démonstration de cette formule dans le cas particulier de cet exemple :
On peut écrire tous les termes de un à u1 : un = n.un-1
un-1 = (n-1).un-2 un-2 = (n-2).un-3
…
u2 = 2.u1
u1 = 1.u0.
En multipliant les différents termes membre à membre, la plupart des termes se simplifient ; il ne subsiste que :
un = n (n-1) (n-2)… 2 .1 . u0 soit finalement : un = n !.u0.
3. Somme des n premiers termes d’une suite géométrique Soit u une suite géométrique de raison q. Calculons
∑
= n i
ui 0
= u0+u1+…+un
Soit Sn cette somme. On peut alors écrire : Sn = u0 + u1 + u2… + un-1 + un
qSn = qu0 + qu1 + … qun-2+ qun-1 + qun. Soustrayons membre à membre :
Sn – qSn = u0 - qun. Or un = qn u0. Donc : Sn – qSn = u0 - q qn u0. Au total : Sn (1-q) = u0(1-qn+1) d’où : Sn = u0
q - 1
q -
1 n+1 . Enfin, comme u0 = q0= 1, on en déduit que :
Sn = q0 + q1 +… + qn = q0 q - 1
q -
1 n+1 = q - 1
q -
1 n+1 (1ère somme très classique)
NB très important : on remarque que : Sn = Premier terme .
raison - 1 raison -
1 nombrede termes
Cette somme comporte en effet n+1 terme : si la Somme Sn avait été
∑
= n i
ui 1
soit :
u1 + u2… + un-1 + un il y aurait eu n termes. Comme la somme part de i=0 ce qui revient à ajouter le terme u0, on en compte en tout n+1 :
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3 Ainsi pour calculer
∑
= n i
qi 1
il convient de remarquer que :
• le premier terme est q1 = q ;
• le nombre de termes = n.
D’où :
∑
= n i
qi 1
= q1 q - 1
q -
1 n (2ème somme très classique)
4. Suites arithmético-géométriques
un+1= aun + b, où a et b sont des constantes réelle indépendantes de n (entier naturel).
On peut alors écrire tous les termes de u1 à un et prévoir une colonne à gauche pour inscrire les multiplicateurs de lignes permettant d’effectuer des simplifications :
Multiplicateurs :
un = a.un-1 + b (égalité 1) a1 un-1 = a.un-2 + b (égalité 2) a2 un-2 = a.un-3 + b (égalité 3)
…
an-2 u2 = a.u1 + b
an-1 u1 = a.u0 + b (dernière égalité)
JUSTIFICATION DES MULTIPLICATEURS :
En additionnant membre à membre les 2 premières égalités, les termes un-1 se simplifient à condition d’avoir aun-1 dans la seconde égalité. Ceci est possible à condition de mutiplier tous les termes de l’égalité (un-1 d’une part, aun-2+b d’autre part), par a. Au total, l’égalité 2 devient :
aun-1 = a2un-2+b. Par conséquent, pour pouvoir simplier le terme un-2 de l’égalité 3, il convient de multiplier l’ensemble de la ligne par a2.
Ainsi, chaque ligne est multipliée par un coefficient (encore appelé multiplicateur) dont l’esposant, ajouté à l’indice de la suite (exprimée en fonction du terme précédent, de a et de b) donne toutjours n :
• Egalité 1 : exposant 0 car 0+n=n
• Egalité 2 : exposant 1 car 1+(n-1) =n
• …
• Dernière égalité : exposant n-1 car (n-1)+1=n
Cette présentation montre que, en additionnant les différents termes membre à membre, la plupart des termes se simplifient ; il ne subsiste que :
un = an-1.a.u0+ b(a0+a1+a2+…+an-1) = anu0+b.
∑
−= 1 0 n i
ai
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4 Le montant
∑
−
= 1 0 n i
aiest la somme des n premiers termes d’une suite géométrique de raison a, le premier terme étant a0. NB : il y a bien n termes car :
• si la somme avait été
∑
−= 1 1 n i
ai= a1+a2+…+an-1, il y aurait eu n-1 termes ;
• comme on part de i=0, on ajoute le terme a0, ce qui conduit bien à n termes.
Donc :
∑
−= 1 0 n i
ai = a0 . a an
−
− 1
1 . Finalement : un = anu0 + b.
a an
−
− 1
1 soit : un = an(u0- a b 1− ) +
a b 1−
DEMONSTRATION ALTERNATIVE (recommandée par le nouveau programme de prépa) Partons du principe selon lequel :
𝑢!!! = 𝑎.𝑢!+𝑏 et posons :q
𝑥= 𝑎𝑥+𝑏 (1)
Soustrayons membre à memnbre les deux précédentes égalités : 𝑢!!!−𝑥=𝑎.𝑢!+𝑏−𝑎𝑥−𝑏
En simplifiant par b et en factorisant par a : 𝑢!!!−𝑥=𝑎.(𝑢!−𝑥) (2)
Soit : 𝑣! = 𝑢!−𝑥 (3)
On reconnaît alors, dans l’équation (2) : 𝑣!!! = 𝑎.𝑣!
(v) est donc une suite géométrique de raison a. Ainsi : 𝑣! =𝑣!.𝑎!
Par ailleurs, la résolution de l’équation du premier degré (1) conduit à : 𝑥=!!!! Ainsi, en reportant la valeur de x dans l’équation (3) : : 𝑣! = 𝑢!−!!!!
Donc : 𝑢! = 𝑣!+!!!! = 𝑣!.𝑎! +!!!! = (𝑢!−𝑥).𝑎! +!!!! Finalement, on retrouve bien :
𝑢!= (𝑢!−!!!! ).𝑎!+!!!!
