Etude de suites récurrentes du type 𝒖𝒏!𝟏= 𝒇(𝒖𝒏) 1. Introduction
Les exercices et problèmes relatifs aux suites récurrentes du type 𝑢!!! =𝑓(𝑢!) abordent en priorité la question de la convergence de la suite (u).
On sait qu’une suite est convergente :
• si elle est croissante et majorée ;
• ou si elle est décroissante et minorée.
Pour mémoire, on peut aussi démontrer qu’elle est convergente :
• si elle est adjacente à une autre suite ;
• et/ou si elle correspond au terme général d’une série convergente1
Une fois la convergence établie (le cas échéant), il est généralement demandé de calculer la limite l de 𝑢!lorsque n tend vers l’infini. Pour cela on a recours au théorème du point fixe et on résout l’équation : 𝑙= 𝑓(𝑙).
Cette équation peut avoir plusieurs solutions. En particulier, s’il s’agit d’une équation du second degré dont le discriminant est strictement positif, elle a 2 solutions. Si l’une est positive et l’autre négative et si 𝑢! !∈! ≥0, sa limite doit alors être positive. La solution positive de l’équation doit alors être retenue.
2. Méthode pour établir la convergence a. 1er cas : f est une fonction croissante Dans ce cas, il convient :
• d’une part de déterminer le sens de variation de (u). Pour cela : o On calcule 𝑢!
o Si 𝑢! >𝑢!, on démontre par récurrence que 𝑢!!! >𝑢!. Soit 𝑃(𝑛) cette propriété à démontrer.
Initialisation : 𝑃(0) est vraie car on est dans l’hypothèse où 𝑢! > 𝑢!
Hérédité : Supposons que 𝑃(𝑛) est vraie. Démontrons que, dans ce cas, 𝑃(𝑛+1) est aussi vraie c’est-à-dire que 𝑢!!! >𝑢!!!
En effet : 𝑃 𝑛 étant vraie par hypthèse de récurrence : 𝑢!!! >𝑢!
Or f est croissante. Donc : 𝑓(𝑢!!!)> 𝑓(𝑢!)⟺ 𝑢!!! >𝑢!!! ce qui achève la preuve
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o Si 𝑢! <𝑢!, on démontre par récurrence que 𝑢!!! <𝑢!. Soit 𝑃(𝑛) cette propriété à démontrer
Initialisation : 𝑃(0) est vraie car on est dans l’hypothèse où 𝑢! < 𝑢!
Hérédité : Supposons que 𝑃(𝑛) est vraie. Démontrons que, dans ce cas, 𝑃(𝑛+1) est aussi vraie c’est-à-dire que 𝑢!!! <𝑢!!!
En effet : 𝑃 𝑛 étant vraie par hypthèse de récurrence : 𝑢!!! <𝑢!
Or f est croissante. Donc : 𝑓 𝑢!!! < 𝑓(𝑢!)⟺ 𝑢!!! <𝑢!!! ce qui achève la preuve
• d’autre part de montrer que (u) est majorée si (u) est croissante ou de démontrer que (u) est minorée si (u) est décroissante
Pour cela, on peut démontrer que (u) est bornée sur 𝐼 =𝐷!. Pour cela, il convient de démontrer :
o le cas échéant, que I est stable par f c’est-à-dire que 𝑓(𝐼) ⊂𝐼. Le tableau de variations de f permet en général de conclure ;
o puis, en général, que 𝑎 ≤𝑢! ≤𝑏 où a et b sont fournis par l’énoncé et tels que 𝐼⊂ 𝑎,𝑏 ou encore 𝑎 ≤𝐼 ≤𝑏. Ce résultat se démontre par récurrence :
Initilisation : on constate que 𝑎≤𝑢! ≤𝑏
Hérédité : soit 𝑃(𝑛) la propriété à démontrer. On suppose alors que 𝑃(𝑛) et que, dans ce cas, 𝑃(𝑛+1) est vraie aussi c’est-à-dire que 𝑎 ≤𝑢!!! ≤𝑏.
Or, par hypothèse de récurrence, 𝑎 ≤𝑢! ≤𝑏. Comme f est croissante, on a : 𝑓(𝑎) ≤𝑓(𝑢!)≤ 𝑓(𝑏).
Et, si I est stable par f, 𝑓(𝐼)⊂ 𝐼. Donc : 𝑎 ≤𝑓(𝑎) ≤𝑓(𝑢!)≤ 𝑓(𝑏)≤ 𝑏.
Finalement : 𝑎≤ 𝑢!!! ≤ 𝑏 ce qui achève la preuve
Si (u) est croissante, on peut aussi démontrer par récurrence que la suite (u) est majorée par sa limite l. En d’autres termes : 𝑢! ≤𝑙. Soit 𝑃(𝑛) cette propriété à démontrer.
Initilisation : 𝑢! ≤𝑙
Hérédité : Supposons que 𝑃(𝑛). Démontrons que, dans ce cas, 𝑃 𝑛+1 est vraie aussi, c’est-à-dire que : 𝑢!!! ≤𝑙. En effet :
Par hypothèse de récurrence : 𝑢! ≤ 𝑙
Or f est croissante. Donc : 𝑓 𝑢! ≤𝑓 𝑙 =𝑙 Finalement : 𝑢!!! ≤ 𝑙 ce qui achève la preuve
b. 2ème cas : f n’est pas une fonction croissante sur 𝑫𝒇 : f peut être décroissante ou croissante sur un sous-intervalle de 𝑫𝒇 et décroissante par ailleurs
Dans ce cas, on peut essayer de majorer 𝑢!!!−𝑙 , par exemple à l’aide de l’inégalité des accroissements finis (mais l’énoncé peut proposer une autre approche). Ceci suppose que f soit dérivable I
Rappel de l’inégalité des accroissements finis
Si, sur un intervalle I stable par f, 𝑓′(𝑥) ≤𝑘 ∈ 0,1 , et si l est un point fixe de f sur I alors : 𝑢!!!−𝑙 = 𝑓(𝑢!)−𝑓(𝑙) ≤ 𝑘 𝑢!−𝑙
Ainsi :
𝑢!−𝑙 ≤ 𝑘 𝑢!−𝑙 𝑢!−𝑙 ≤𝑘 𝑢!−𝑙
…
𝑢!−𝑙 ≤𝑘 𝑢!!! −𝑙
Par multiplication membre à membre : 𝑢!−𝑙 ≤𝑘! 𝑢!−𝑙
Or : 𝑘∈ 0,1 , donc lim!→!!𝑘! = 0
Comme 0≤ 𝑢!−𝑙 , le théorème des encadrements permet d’en déduire que lim!→!! 𝑢!−𝑙 =0.
Finalement :
!→!!lim 𝑢! =𝑙
4 3. Exemples
a. Etude de 𝒖𝒏 𝒏∈𝑵 définie sur N par : 𝒖𝒏!𝟏 = 𝟏+𝒖𝒏 et 𝒖𝟎= 𝟎
i. Etude de 𝑓 𝑥 = 1+𝑥 pour 𝑥≥ 0
𝑓! 𝑥 = ! !!!! > 0,∀𝑥≥0 donc f est croissante sur 𝑅!
ii. Etude du sens de variations de 𝑢! !∈!
Calculons 𝑢! = 1+𝑢! = 1+0=1> 𝑢!
On démontre alors par récurrence que u!!! > u!. Soit 𝑃(𝑛) cette propriété à démontrer.
Initialisation : 𝑃(0) est vraie car on est dans l’hypothèse où 𝑢! >𝑢! Hérédité : Supposons que 𝑃(𝑛) est vraie. Démontrons que, dans ce cas, 𝑃(𝑛+1) est aussi vraie c’est-à-dire que 𝑢!!! >𝑢!!!
En effet : 𝑃 𝑛 étant vraie par hypthèse de récurrence : 𝑢!!! >𝑢! Or f est croissante. Donc : 𝑓(𝑢!!!)> 𝑓(𝑢!) ⟺𝑢!!! >𝑢!!! ce qui achève la preuve
Ainsi 𝑢! !∈! est croissante.
iii. Démonstration que 𝑢! !∈! ≥0 Soit 𝑃(𝑛) cette propriété à démontrer.
Initialisation : 𝑃(0) est vraie car 𝑢! =0≥ 0
Hérédité : Supposons que 𝑃(𝑛) est vraie. Démontrons que, dans ce cas, 𝑃(𝑛+1) est aussi vraie c’est-à-dire que 𝑢!!! ≥0
En effet : 𝑃 𝑛 étant vraie par hypthèse de récurrence : 𝑢! ≥ 0
Or f est croissante. Donc : 𝑓(𝑢!)≥ 𝑓(0)⟺𝑢!!! ≥0 ce qui achève la preuve
Ainsi 𝑢! !∈!≥ 0.
iv. Détermination de la limite de 𝑢! !∈! dans l’hypothèse où 𝑢! !∈!
converge
Si 𝑢! !∈! converge, elle converge vers l qui vérifie 𝑙=𝑓(𝑙) Ainsi : 𝑙= 1+𝑙⟺𝑙!−𝑙−1=0
Δ=5 donc les 2 solutions de l’équation du second degré sont : 𝑙! = !!! !< 0 et 𝑙! =!!!!> 0
Comme 𝑢! !∈! ≥ 0, sa limite – si elle existe – doit être positive. On retient donc 𝑙! =!!!!
v. Démonstration de la majoration de 𝑢! !∈! dans l’hypothèse où 𝑢! !∈!
par sa limite
Comme 𝑢! !∈! est croissante, 𝑢! !∈! doit être majorée par sa limite.
Montrons alors par récurrence que : ∀𝑛 ∈𝑁,𝑢! ≤𝑙!. Soit 𝑃(𝑛) cette propriété à démontrer.
Initialisation : 𝑃(0) est vraie car on est dans l’hypothèse où u! = 0<1+ 5
2 = 𝑙!
Hérédité : Supposons que 𝑃(𝑛) est vraie. Démontrons que, dans ce cas, 𝑃(𝑛+1) est aussi vraie c’est-à-dire que 𝑢!!! ≤𝑙!
En effet : 𝑃 𝑛 étant vraie par hypthèse de récurrence : u! ≤ 𝑙!
Or f est croissante. Donc : 𝑓(𝑢!)≤ 𝑓(𝑙!)⟺𝑢!!! ≤𝑙! ce qui achève la preuve.
vi. Conclusion
Ainsi 𝑢! !∈! est croissante et majorée donc convergente et elle converge vers 𝑙! = !!! !
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b. Etude de 𝒖𝒏 𝒏∈𝑵 définie sur N par : 𝒖𝒏!𝟏 =𝟏!𝒖𝟏
𝒏 et 𝒖𝟎 =𝟏
i. Etude de 𝑓 𝑥 =!!!! pour 𝑥 ≠−1
𝑓! 𝑥 = − !!!! !,∀𝑥≠ −1 donc f est décroissante sur son domaine de définition
ii. Démonstration que 𝑢! !∈! ≥0 Soit 𝑃(𝑛) cette propriété à démontrer.
Initialisation : 𝑃(0) est vraie car 𝑢! =1≥ 0
Hérédité : Supposons que 𝑃(𝑛) est vraie. Démontrons que, dans ce cas, 𝑃(𝑛+1) est aussi vraie c’est-à-dire que 𝑢!!! ≥0
En effet : 𝑃 𝑛 étant vraie par hypthèse de récurrence : 𝑢! ≥ 0 Aussi : 1+𝑢! ≥1≥0.
Donc : !
!!!! ≥0
Finalement : 𝑢!!! ≥ 0 ce qui achève la preuve
iii. Détermination de la limite de 𝑢! !∈! dans l’hypothèse où 𝑢! !∈!
converge
Si 𝑢! !∈! converge, elle converge vers l qui vérifie 𝑙=𝑓(𝑙) Ainsi : 𝑙= !!!! ⟺ 𝑙!+𝑙−1= 0
Δ=5 donc les 2 solutions de l’équation du second degré sont : 𝑙! = !!!! ! <0 et 𝑙! =!!!! !>0
Comme 𝑢! !∈! > 0, sa limite – si elle existe – doit être positive. On retient donc 𝑙! =!!!! !
iv. Détermination de 𝑘∈ −1,1 tel que ∀𝑛 ∈𝑁, 𝑢! −𝑙 ≤𝑘! 𝑢!−𝑙 𝑢!!!−𝑙 = 𝑓(𝑢!)−𝑓(𝑙) = 1
1+𝑢!− 1
1+𝑙 = 1+𝑙−1−𝑢! 1+𝑢! 1+𝑙 𝑢!!!−𝑙 = 𝑢!−𝑙
1+𝑢! 1+𝑙 Or : 1+𝑢! ≥ 1 donc !
!!!! ≤ 1. De même : !
!!!! ≤1 Ainsi :
𝑢!!!−𝑙 ≤ 𝑢!−𝑙 1+𝑙
En remplaçant l par sa valeur !!!! ! au dénominateur : 𝑢!!!−𝑙 ≤ 𝑢!−𝑙
1+−1+ 5 En d’autres termes : 2
𝑢!!!−𝑙 ≤ 𝑢!−𝑙 1+ 5 Soit encore : 2
𝑢!!!−𝑙 ≤ 2
1+ 5 𝑢!−𝑙
Or : 5≥ 4= 2. Donc : 1+ 5≥3⟺ !
!! ! ≤!
!. Ainsi : −1< 0<!!!! ≤!! <1
Finalement : 𝑘 = 2
1+ 5∈ −1,1 On a donc :
𝑢!!!−𝑙 ≤ 𝑘 𝑢! −𝑙 Ainsi :
𝑢!−𝑙 ≤ 𝑘 𝑢!−𝑙 𝑢!−𝑙 ≤𝑘 𝑢!−𝑙
…
𝑢!−𝑙 ≤𝑘 𝑢!!! −𝑙
Par multiplication membre à membre : 𝑢!−𝑙 ≤𝑘! 𝑢!−𝑙
v. Conclusion
Or : 𝑘∈ −1,1 , donc lim!→!!𝑘! =0
Comme 0≤ 𝑢!−𝑙 , le théorème des encadrements permet d’en déduire que lim!→!! 𝑢! −𝑙 =0
Finalement : lim!→!!𝑢! = 𝑙 Conclusion : lim!→!!𝑢! =!!!! !
