PREPA COURCELLES DEUXIEME ANNEE
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Couple de variables binomiales
On lance N fois un dé équilibré.
Soit n le nombre de « 6 » obtenus.
On lance alors n fois une pièce truquée dont la probabilité de donner « Pile » est égale à 𝑝∈ 0,1
Soit Z le nombre d’obtentions de « 6 » Soit X le nombre d’obtentions de « Piles » Soit Y le nombre d’obtentions de « Face »
1. Détermination de la loi de Z et rappels de E(Z) et V(Z)
Appelons succès l’obtention de « 6 » lors du lancer du dé et échec l’obtention d’un autre numéro. La probabilité du succès est, par hypothèse égale à !!.
Z correspond à une succession de N épreuves de Bernoulli indentiques (toutes de probabilité de succès égal à !!) et indépendantes. Donc :
𝑍↪𝐵 𝑁,1 6 ⇔
𝑍 Ω = 0,𝑁 𝑃 𝑍=𝑘 = 𝑁
𝑘 1 6
! 5 6
!!!
𝐸 𝑍 =!! et 𝑉 𝑍 = !!.!! =!!!"
2. Détermination de la loi conditionnelle de X sachant que 𝒁= 𝒏
Il s’agit de déterminer la loi de du nombre d’obtentions de « Pile » dans l’hypothèse où
« 6 » a été obtenu n fois.
Or, dans l’hypothèse de l’obtention de n « 6 », la pièce est lancée n fois. Appelons succès l’obtention de « Pile » lors d’un lancer de la pièce et échec l’obtention de « Face ».
𝑋/ 𝑍=𝑛 correspond à une succession de n épreuves de Bernoulli indentiques (toutes
de probabilité de succès égal à 𝑝) et indépendantes. Donc :
𝑋/ 𝑍=𝑛 ↪𝐵 𝑛,𝑝 ⇔ ∀𝑘> 𝑛,𝑃 𝑋= 𝑘/𝑍= 𝑛 = 0
∀𝑘 ≤𝑛,𝑃 𝑋=𝑘/𝑍= 𝑛 = 𝑛
𝑘 𝑝!𝑞!!!
3. Détermination de la loi conjointe du couple (X,Z) 𝑃 𝑋=𝑘∩𝑍= 𝑛 =𝑃 𝑋=𝑘/𝑍=𝑛 .𝑃 𝑍=𝑛
Si 𝑘>𝑛,𝑃 𝑋=𝑘/ 𝑍=𝑛 =0. Dès lors : 𝑃 𝑋=𝑘∩𝑍=𝑛 = 0 Si 𝑘≤𝑛,𝑃 𝑋=𝑘/𝑍=𝑛 = !! 𝑝!𝑞!!!. Dès lors :
Si 𝑘≤𝑛,𝑃 𝑋=𝑘∩𝑍=𝑛 = !! 𝑝!𝑞!!! !! !! ! !! !!!
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2 4. Détermination de 𝑷 𝑿= 𝟎
𝑃 𝑋=0 = 𝑃 𝑋= 0∩𝑍=𝑛
!
!!!
= 𝑛
0 𝑝!𝑞!!! 𝑁 𝑛
1 6
! 5 6
! !!!
!!!
𝑃 𝑋=0 = 𝑞! 𝑁 𝑛
1 6
! 5 6
! !!!
!!!
= 𝑁
𝑛 𝑞 6
! 5 6
!!!
= 𝑞 6+5
6
!
= 𝑞+5 6
! !
!!!
5. Détermination de la loi de X. On utilisera : 𝒏𝒌 𝑵𝒏 = 𝑵𝒌 𝑵!𝒌𝒏!𝒌 𝑃 𝑋=𝑘 = 𝑃 𝑋=𝑘∩𝑍=𝑛
!
!!!
= 𝑃 𝑋=𝑘∩𝑍= 𝑛
!!!
!!!
+ 𝑃 𝑋=𝑘∩𝑍= 𝑛
!
!!!
𝑃 𝑋=𝑘 = 0+ 𝑃 𝑋=𝑘∩𝑍= 𝑛
!
!!!
= 𝑛
𝑘 𝑝!𝑞!!! 𝑁 𝑛
1 6
! 5 6
! !!!
!!!
𝑃 𝑋=𝑘 = 𝑛
𝑘 𝑝!𝑞!!! 𝑁 𝑛
1 6
! 5 6
!!!
=
!
!!!
𝑝! 𝑁 𝑘
𝑁−𝑘
𝑛−𝑘 𝑞!!! 1 6
! 5 6
! !!!
!!!
𝑃 𝑋=𝑘 = 𝑝! 𝑁 𝑘
𝑁−𝑘
𝑛−𝑘 𝑞!!! 1 6
! 5 6
! !!!
!!!
𝑃 𝑋=𝑘 = 𝑝! 𝑁 𝑘
𝑁−𝑘
𝑛−𝑘 𝑞!!! 1 6
! 5 6
! !!!
Soit : 𝑢 =𝑛−𝑘 ⇔𝑛!!!= 𝑢+𝑘. Dès lors :
• si 𝑛= 𝑘 alors 𝑢 =0 ;
• si 𝑛= 𝑁 alors 𝑢 =𝑁−𝑘.
Ainsi :
𝑃 𝑋=𝑘 = 𝑝! 𝑁 𝑘
𝑁−𝑘
𝑢 𝑞! 1 6
!!! 5 6
!!!!!
!!!
!!!
𝑃 𝑋=𝑘 = 𝑝! 𝑁 𝑘
1 6
! 𝑁−𝑘
𝑢 𝑞 6
! 5 6
!!!!!
!!!
!!!
𝑃 𝑋=𝑘 = 𝑁 𝑘
𝑝 6
! 𝑞+5 6
!!!
= 𝑁 𝑘
𝑝 6
! 1−𝑝+5 6
!!!
𝑃 𝑋=𝑘 = 𝑁 𝑘
𝑝 6
! 1−𝑝 6
!!!,∀𝑘 ∈ 0,𝑁
Ainsi : 𝑋↪𝐵 𝑁,!
!
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3 6. Détermination de la loi de Y
On connaît la loi de X qui est la loi du nombre de « Piles ». La loi de Y, qui est la loi du nombre de « Faces » s’obtient en reprenant la loi de X et en remplaçant p par q.
Ainsi : 𝑌↪𝐵 𝑁,!
!
7. Etude de l’indépendance de X et de Y
On constate que : 𝑃 𝑋= 𝑛∩𝑌 =𝑛 = 0 car il n’est pas possible d’avoir à la fois n
« Piles » et n « Faces » en n lancers de la pièce.
Or 𝑃 𝑋= 𝑛 ≠0 et 𝑃 𝑌= 𝑛 ≠0 donc : 𝑃 𝑋=𝑛 𝑃 𝑌= 𝑛 ≠0 Ainsi : 𝑃 𝑋=𝑛∩𝑌 =𝑛 ≠𝑃 𝑋= 𝑛 𝑃 𝑌=𝑛
En d’autres termes, les variables X et Y ne sont pas indépendantes.
8. Détermination de 𝒄𝒐𝒗(𝑿,𝒀) 𝑐𝑜𝑣 𝑋,𝑌 = 1
2 𝑉 𝑋+𝑌 −𝑉 𝑋 −𝑉(𝑌) =1
2 𝑉 𝑍 −𝑉 𝑋 −𝑉(𝑌) 𝑐𝑜𝑣 𝑋,𝑌 = 1
2 5𝑁
36 −𝑁𝑝
6 1−𝑝
6 −𝑁𝑞
36 1−𝑞 6 𝑐𝑜𝑣 𝑋,𝑌 = 𝑁
72 5−𝑝 6−𝑝 −𝑞(6−𝑞) 𝑐𝑜𝑣 𝑋,𝑌 = 𝑁
72 5−6𝑝+𝑝! −6𝑞+𝑞! 𝑐𝑜𝑣 𝑋,𝑌 = 𝑁
72 5−6(𝑝+𝑞)+𝑝!+𝑞! 𝑐𝑜𝑣 𝑋,𝑌 = 𝑁
72 5−6+ 𝑝+𝑞 !−2𝑝𝑞 𝑐𝑜𝑣 𝑋,𝑌 = 𝑁
72 5−6+1−2𝑝𝑞 𝑐𝑜𝑣 𝑋,𝑌 = −𝑁𝑝𝑞
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