PREPA COURCELLES DEUXIEME ANNEE
1
Loi de somme de variables continues
1. Cas de 2 variables X et Y
Soit X et soit Y deux variables à densité indépendantes et qui suivent la même loi de probabilité.
L’énoncé indique (car la notion est hors programme) que : 𝑓!!! 𝑥 = 𝑓! 𝑦 𝑓! 𝑥−𝑦
!!
!!
𝑑𝑦
La variable d’intégration (muette) est y ; donc c’est bien x qui va se retrouver dans l’expression finale de 𝑓!!! 𝑥 .
Si 𝑓! est définie différemment selon que 𝑥>𝑎 ou 𝑥<𝑎, on décompose, grâce à la relation de Chasles :
𝑓!!! 𝑥 = !!𝑓! 𝑦 𝑓! 𝑥−𝑦
!!
𝑑𝑦= ! 𝑓! 𝑦 𝑓! 𝑥−𝑦
!!
𝑑𝑦+ !!𝑓! 𝑦 𝑓! 𝑥−𝑦
!
𝑑𝑦
Supposons que 𝑓! 𝑥 =0 si 𝑥<𝑎. On peut alors écrire, en remplaçant x par y : 𝑓! 𝑦 =0 si 𝑦<𝑎 Dans ce cas : !!! 𝑓! 𝑦 𝑓! 𝑥−𝑦 𝑑𝑦=0. Ainsi : 𝑓!!! 𝑥 = !!!𝑓! 𝑦 𝑓! 𝑥−𝑦 𝑑𝑦
Par ailleurs, puisque 𝑓! 𝑥 =0 si 𝑥<𝑎, en remplaçant x par x-y : 𝑓! 𝑥−𝑦 =0 si 𝑥−𝑦<𝑎.
En d’autres termes : 𝑓! 𝑥−𝑦 =0 si 𝑦>𝑥−𝑎 car la variable d’intégration est y On décompose alors en : 𝑓!!! 𝑥 = !!!!𝑓! 𝑦 𝑓! 𝑥−𝑦 𝑑𝑦+ !!!!!𝑓! 𝑦 𝑓! 𝑥−𝑦 𝑑𝑦.
Dès lors : !!!!!𝑓! 𝑦 𝑓! 𝑥−𝑦 𝑑𝑦 = 0 et finalement : 𝑓!!! 𝑥 = !!!!𝑓! 𝑦 𝑓! 𝑥−𝑦 𝑑𝑦
Si X et Y définissent des variables exponentielles de paramètre α. Dans ce cas, 𝑎=0 et : 𝑓!!! 𝑥 = !!𝑓! 𝑦 𝑓! 𝑥−𝑦 𝑑𝑦= !!𝛼.𝑒!!"𝛼.𝑒!!(!!!)𝑑𝑦= !!𝛼².𝑒!!"𝑑𝑦= 𝛼²𝑒!!"(𝑥−0)
Donc : 𝑓!!! 𝑥 =𝛼²𝑥𝑒!!"
Si X et Y définissent des variables exponentielles de paramètre 1 :
𝑓! 𝑥 =𝑓! 𝑥 = 𝑒!! si 𝑥≥0 et 𝑓! 𝑥 =𝑓! 𝑥 =0 si 𝑥<0. Donc : 𝑓!!! 𝑥 =si 𝑥<00 Finalement :
𝑓!!! 𝑥 = !!𝑓! 𝑦 𝑓! 𝑥−𝑦 𝑑𝑦= !!𝑒!!.𝑒!(!!!)𝑑𝑦 = !!𝑒!!𝑑𝑦 = 𝑒!!. !!1𝑑𝑦 = 𝑥.𝑒!! si 𝑥≥0 Conclusion : 𝑥<0⇒𝑓!!! 𝑥 =0
𝑥≥0⇒𝑓!!! 𝑥 =𝑥.𝑒!!
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2 2. Cas de n variables
L’énoncé fournit la densité d’une variable 𝑆! égale à la somme de n variables à densité.
Soit 𝑋! !!! une suite de n variables aléatoires indépendantes, de même loi exponentielle de paramètre 𝜆. Dans ce cas : 𝐸 𝑋! =𝐸 𝑋! =⋯𝐸 𝑋! =!! et 𝑉 𝑋! =𝑉 𝑋! =⋯𝑉 𝑋! =!!! Soit :
𝑆!= 𝑋!
!
!!!
a. Calcul de l’espérance et de la variance de 𝑆!
𝐸(𝑆!)=𝐸 𝑋!
!
!!!
= 𝐸
!
!!!
𝑋! = 1 𝜆
!
!!!
=1
𝜆 1=
!
!!!
𝑛 𝜆 𝑉(𝑆!)=𝑉 𝑋!
!
!!!
= 𝑉
!
!!!
𝑋! = 1 𝜆!
!
!!!
= 1
𝜆! 1=
!
!!!
𝑛 𝜆!
b. Démonstration par récurrence de la formule de la densité 𝑓! de 𝑆!, avec 𝑛∈𝑁∗ 𝑓! 𝑡 =𝑓!! 𝑡 =0 𝑠𝑖 𝑡 <0
𝑓! 𝑡 =𝑓!! 𝑡 = 𝜆!
𝑛−1 !𝑒!!"𝑡!!! 𝑠𝑖 𝑡 ≥0 Soit 𝑃(𝑛) cette propriété à démontrer par récurrence.
Initialisation
Soit 𝑛=1. Dans ce cas : 𝑓! 𝑡 =0 𝑠𝑖 𝑡<0 𝑓! 𝑡 = 𝜆!
1−1 !𝑒!!"𝑡!!!=𝜆𝑒!!" 𝑠𝑖 𝑡 ≥0
car 0 != 1 et 𝑡! =1. Ainsi, 𝑓! correspond bien à la densité d’1 variable exponentielle Hérédité
Supposons que 𝑃(𝑛) est vraie. Démontrons que, dans ce cas, 𝑃(𝑛+1) est vraie aussi, c’est-à-dire que :
𝑓!!! 𝑡 =𝑓!!!! 𝑡 =0 𝑠𝑖 𝑡<0 𝑓!!! 𝑡 =𝑓!!!! 𝑡 =𝜆!!!
𝑛! 𝑒!!"𝑡! 𝑠𝑖 𝑡 ≥0
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3 Exprimons 𝑓!!!! 𝑡 .
𝑓!!!! 𝑡 =𝑓!!!!!!! 𝑡 = !!𝑓!! 𝑦 𝑓!!!! 𝑡−𝑦
!!
𝑑𝑦= !!𝑓!! 𝑥 𝑓!!!! 𝑡−𝑥
!!
𝑑𝑥
Si 𝑡−𝑥<0 c’est-à-dire si 𝑥>𝑡 alors 𝑓!!!! 𝑡−𝑥 =0 ; De même, si 𝑥<0, alors 𝑓!! 𝑥 =0
Ainsi, 𝑓!!!! 𝑡 ≠0 si 𝑥∈ 0,𝑡 Donc :
𝑓!!!! 𝑡 = 𝑓!! 𝑥 𝑓!!!! 𝑡−𝑥
!
!
𝑑𝑥= 𝜆!
𝑛−1 !𝑒!!"𝑥!!!
!
!
𝜆𝑒!!(!!!)𝑑𝑥
𝑓!!!! 𝑡 =𝜆!!!𝑒!!"
𝑛−1 ! !𝑥!!!
!
𝑑𝑥=𝜆!!!𝑒!!"
𝑛−1 ! 𝑥!
𝑛 !
!
=𝜆!!!𝑒!!"𝑡! 𝑛!
Ceci correspond bien au résultat recherché et achève la démonstration.
c. Calcul de l’espérance et de la variance de !
!!, !
!! étant une variable à densité D’après le théorème du transfert :
𝐸 1
𝑆! = 1
𝑥.𝑓!! 𝑥 𝑑𝑥
!!
!!
= 1
𝑥.𝑓!! 𝑥 𝑑𝑥
!
!!
+ 1
𝑥.𝑓!! 𝑥 𝑑𝑥
!!
!
𝐸 1
𝑆! =0+ 1 𝑥
𝜆!
𝑛−1 !𝑒!!"𝑥!!!𝑑𝑥=
!!
!
𝜆!
𝑛−1 ! 𝑒!!"𝑥!!!𝑑𝑥
!!
!
Or, on peut démontrer que cette intégrale est convergente donc que !!
! admet une espérance et (cf. : 1er cours de 1ère année) que :
𝑒!!"𝑥!𝑑𝑥
!!
!
= 𝑛!
𝑎!!!
Dès lors : 𝐸 1
𝑆! = 𝜆! 𝑛−1 !
𝑛−2 !
𝜆!!! = 𝜆 (𝑛−1)
Ainsi 𝐸 1
𝑆! = 𝜆 (𝑛−1)
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4 De même :
𝐸 1
𝑆!! = 1
𝑥!.𝑓!! 𝑥 𝑑𝑥
!!
!! = 1
𝑥!.𝑓!! 𝑥 𝑑𝑥
!
!! + 1
𝑥!.𝑓!! 𝑥 𝑑𝑥
!!
!
𝐸 1
𝑆!! =0+ 1 𝑥!
𝜆!
𝑛−1 !𝑒!!"𝑥!!!𝑑𝑥=
!!
!
𝜆!
𝑛−1 ! !!𝑒!!"𝑥!!!𝑑𝑥
!
Or, on peut démontrer que cette intégrale est convergente, donc que 𝐸 !!
!! et, de facto, 𝑉 !
!! existent.
𝐸 1
𝑆!! = 𝜆! 𝑛−1 !
𝑛−3 !
𝜆!!! = 𝜆! (𝑛−1)(𝑛−2) Ainsi :
𝑉 1
𝑆! =𝐸 1
𝑆!! − 𝐸 1 𝑆!!
!
= 𝜆!
𝑛−1 𝑛−2 − 𝜆! (𝑛−1)! 𝑉 1
𝑆! =𝜆! 𝑛−1 −𝜆!(𝑛−2)
(𝑛−1)! 𝑛−2 =𝑛𝜆!−𝜆!−𝑛𝜆!+2𝜆! (𝑛−1)! 𝑛−2 Ainsi :
𝑉 1
𝑆! = 𝜆! (𝑛−1)! 𝑛−2
