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Etude de la suite 𝒖𝒏 définie par 𝒖𝒏!𝟏 =𝒇(𝒖𝒏)
1. Rappels de cours
a. Théorème du point fixe Soit : 𝑢!!!=𝑓(𝑢!) Si :
• f est une fonction définie sur un intervalle I à valeurs dans I
• f est continue sur I
• lim!→!𝑢!=𝑙 Alors : 𝑙=𝑓(𝑙) b. Remarque
Si f est croissante sur I, alors on démontre que 𝑢! est :
• Monotone (ce qui doit être démontré par récurrence)
o On constate, par exemple, que 𝑢!<𝑢! ce qui permet d’intuiter que 𝑢! est strictement décroissante.
o On démontre alors, par récurrence la propriété 𝒫 𝑛 : 𝑢!!!< 𝑢!
§ Initialisation : immédiate car on sait que 𝑢!<𝑢!
§ Hérédité : supposons que 𝒫 𝑛 est vraie. En d’autres termes :
𝑢!!! < 𝑢!. Démontrons que, dans ce cas, 𝒫 𝑛+1 est vraie
aussi c’est-à-dire que : 𝑢!!! < 𝑢!!!. En effet, par hypothèse,
𝑢!!! < 𝑢!. Or, f est croissante donc : 𝑓(𝑢!!!)<𝑓( 𝑢!) soit
encore : 𝑢!!!< 𝑢!!! ce qui achève la démonstration.
• Bornée (ce qui est automatiquement vérifié lorsque I est lui-même borné) : 𝑎≤𝑓 𝑥 ≤𝑏⇒𝑎≤𝑓 𝑢! ≤𝑏⇒𝑎≤𝑢!!!≤𝑏
On en déduit alors que 𝑢! est croissante et majorée ou décroissante et minorée donc convergente. Il suffit alors de résoudre : 𝑙=𝑓(𝑙) pour obtenir sa limite.
2 2. Exemples d’études de suites récurrentes
a. 𝐮𝐧!𝟏 =𝒇 𝐮𝐧 ,𝐮𝟎 =𝟏𝟒 et 𝒇 𝒙 = 𝒙!𝟏𝒙
i. Etudier f sur 𝟎,𝟏 et en déduire que f est à valeurs dans 𝟎,𝟏
𝑓! 𝑥 =
!!!!!
!!!!
! !!!! = !
!!!!! !!!! >0,∀𝑥∈ 0,1 donc f est croissante sur 0,1 𝑓 0 =0 et 𝑓 1 = !!
Ainsi : 0≤𝑥≤1⇒0≤𝑓(𝑥)≤ !!≤1
Donc, si f est définie sur 0,1 , alors f est à valeurs dans 0,1 .
ii. Montrer, par récurrence, que : ∀𝒏∈𝑵,𝒖𝒏∈ 𝟎,𝟏 Initialisation : immédiate car u!=!!∈ 0,1
Hérédité : Supposons que la propriété 𝒫 𝑛 à démontrer ∀𝑛 ∈𝑁,𝑢!∈ 0,1 est vraie.
Démontrons que, dans ce cas, 𝒫 𝑛+1 est vraie aussi, c’est-à-dire que 𝑢!!!∈ 0,1.
On sait, par hypothèse de récurrence que : 0≤𝑢!≤1 Comme f est croissante sur 0,1 :
𝑓(0)≤𝑓(𝑢!)≤𝑓(1)⇔0≤𝑢!!! ≤ 1 2≤1 Ainsi : 0≤𝑢!!! ≤1 ce qui achève la démonstration.
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iii. Calculer 𝒖𝒏 et en déduire que 𝒖𝒏 est croissante puis que 𝒖𝒏 est convergente vers une limite à déterminer
𝑢!=𝑓 𝑢! =𝑓 1 4 =
14
14+1 = 1 5>1
4⇔𝑢! >𝑢!
car : 16=4> 5.
On intuite alors que 𝑢! est croissante. Démontrons cette propriété 𝒫 𝑛 par récurrence, à savoir que : 𝑢!<𝑢!!!.
Initialisation : immédiate car 𝑢!>𝑢!
Hérédité : supposons que 𝒫 𝑛 est vraie. En d’autres termes : 𝑢!!!> 𝑢!. Démontrons que, dans ce cas, 𝒫 𝑛+1 est vraie aussi c’est-à-dire que :
𝑢!!!> 𝑢!!!. En effet, par hypothèse, 𝑢!!! > 𝑢!. Or, f est croissante
donc : 𝑓 𝑢!!! >𝑓( 𝑢!) soit encore : 𝑢!!!> 𝑢!!! ce qui achève la démonstration.
Ainsi 𝑢! est croissante et majorée. Elle est donc convergente vers l qui vérifie, d’après le théorème du point fixe :
𝑙=𝑓 𝑙 ⇔𝑙= 𝑙
𝑙+1⇔𝑙!= 𝑙
𝑙+1⇔𝑙! 𝑙+1 =𝑙 𝑙=𝑓 𝑙 ⇔𝑙!+𝑙!−𝑙=0⇔𝑙. 𝑙!+𝑙−1 =0 Soit : 𝑙!+𝑙−1=0. Δ=1+4=5⇒ 𝑙!=!!! !
!
𝑙!=!!! !
!
Or : 0≤𝑢! ≤1⇒0≤𝑙≤1. Donc 𝑙! doit être exclue.
Il reste 0 et 1. Or, 𝑓 0 =0 et f est croissante donc 𝑙>0.
Finalement :
!→!lim 𝑢! =−1+ 5 2
4 b. 𝐮𝐧!𝟏 =𝒇 𝐮𝐧 ,𝐮𝟎 =𝟓
𝟐 et 𝒇 𝒙 =𝟏+ 𝟒
𝟏!𝒙
i. Etudier f sur 𝟐 ; 𝟐,𝟓 et en déduire que f est à valeurs dans 𝟐 ; 𝟐,𝟓 𝑓! 𝑥 =− !
!!! !<0 donc f est décroissante sur 2 ; 2,5 Ainsi :
2≤𝑥≤2,5⇒𝑓(2,5)≤𝑓(𝑥)≤ 𝑓(2) 2≤𝑥≤5
2⇒1+ 4 1+5
2
≤𝑓(𝑥)≤ 1+ 4 1+2
2≤𝑥≤5
2⇒2≤15
7 ≤𝑓 𝑥 ≤ 7 3≤5
2 car 14≤15
Finalement : 2≤𝑓 𝑥 ≤ 2,5⇒𝑓 est à valeurs dans 2 ; 2,5 .
ii. Montrer que 𝒖𝒏!𝟏−𝒖𝒏 ≤ 𝟒𝟗 𝒏 𝒖𝟏−𝒖𝟎
𝑢!!!−𝑢!=1+ 4
1+𝑢!−1− 4
1+𝑢!!! = 4 𝑢!!!−𝑢! 1+𝑢! 1+𝑢!!!
𝑢!!!−𝑢! = 4 𝑢!!!−𝑢! 1+𝑢! 1+𝑢!!!
Or, par hypothèse : : 2≤𝑓 𝑥 ⇒ 2≤𝑓 𝑢!!! ⇒2≤𝑢! 2≤𝑓 𝑢!!! ⇒2≤𝑢!!!
Par conséquent :
1+𝑢! ≥3 et 1+𝑢!!!≥3, donc : 1+𝑢! 1+𝑢!!! ≥9 et : 𝑢!!!−𝑢! = 4 𝑢!!!−𝑢!
1+𝑢! 1+𝑢!!! ≤4
9 𝑢!!!−𝑢! Ainsi :
𝑢!!!−𝑢! ≤4
9 𝑢!−𝑢!!!
𝑢!−𝑢!!! ≤4
9 𝑢!!!−𝑢!!!
….
𝑢!−𝑢! ≤4
9 𝑢!−𝑢!
Par multiplications membre à membre : 𝑢!!!−𝑢! ≤ 4
9
!
𝑢!−𝑢!
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iii. Montrer que la série de terme général 𝒖𝒏!𝟏−𝒖𝒏 est convergente et en déduire que la suite 𝒖𝒏 est convergente vers une limite à déterminer
!
!∈ 0,1 donc la série géométrique de terme général !
!
!est convergente.
Ainsi, la série de terme général 𝑢!!!−𝑢! est majorée par une série convergente.
Dès lors : 𝑢!!!−𝑢! converge absolument Donc: 𝑢!!!−𝑢! converge.
Par conséquent :
lim!→! 𝑢!!!−𝑢! =0⇒ 𝑢! converge vers l qui vérifie, d’après le théorème du point fixe :
𝑙=𝑓 𝑙 ⇔𝑙=1+ 4
1+𝑙 ⇔𝑙 =5+𝑙
1+𝑙 ⇔𝑙 𝑙+1 =5+𝑙 𝑙=𝑓 𝑙 ⇔𝑙!−5=0⇔𝑙=− 5 ou 𝑙 = 5
Or : 𝑢!≥0⇒𝑙≥0 ce qui exclut 𝑙 =− 5.
Finalement :
!→!lim 𝑢! = 5
