PREPA COURCELLES DEUXIEME ANNEE

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Démonstrations classiques autour de Ker et Im

1. Rappels de cours

a. Noyau

Soit f une application linéaire de E dans F. Le noyau de f est le sous-ensemble de E défini par : Ker𝑓 = 𝑥∈𝐸,𝑓 𝑥 =0_𝐹

Ker𝑓 =𝐸⟺dimKer 𝑓 =dim𝐸⟺ 𝑓=0 Ker𝑓 = 0_! ⟺𝑑𝑖𝑚𝐾𝑒𝑟 𝑓 =0⟺𝑓 injective

b. Image

Soit f est une application linéaire de E dans F. L’image de f est le sous-ensemble de F défini par : Im𝑓 = 𝑦∈𝐹,∃𝑥∈𝐸,𝑦=𝑓 𝑥

Im𝑓 =𝐹⟺dimIm 𝑓 =dim𝐹⟺ f surjective Im𝑓 = 0_! ⟺𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚 𝑓 =0⟺𝑓=0

c. Ensemble des applications linéaires de E dans F : ℒ(𝐸,𝐹)

− ∀𝑓,𝑔 ∈ ℒ 𝐸,𝐹 ,∀𝜆∈𝑅,𝜆𝑓+𝑔∈ ℒ 𝐸,𝐹

− ∀𝑓∈ ℒ 𝐸,𝐹 ,∀𝑔∈ ℒ 𝐹,𝐺 𝑔o𝑓∈ ℒ 𝐸,𝐺

− f est un isomorphisme de E dans F ⇒𝑓^!! est un isomorphisme de F dans E

− 𝑔o𝑓 ^!!=𝑓^!!o𝑔^!!

d. Démonstration d’une inclusion

Pour démontrer que 𝐴⊂𝐵, on pose 𝑥∈𝐴 et on utilise la définition de A (par exemple 𝐴=𝐾𝑒𝑟𝑓, et dans ce cas, 𝑥∈𝐾𝑒𝑟𝑓). On démontre alors que : 𝑥∈𝐴

⇒𝑥∈𝐵. Ainsi : 𝐴⊂𝐵

e. Démonstration que 𝐹=𝐺 : si 𝐹⊂𝐺 et si 𝑑𝑖𝑚𝐹=𝑑𝑖𝑚𝐺 alors 𝐹=𝐺

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2 2. Exemples

a. Soit E un espace vectoriel sur R, f un endomorphisme de E et g une application linéaire définie sur E par : ∀𝒙∈𝑬,𝒈𝒙 =𝒙−𝒇 𝒙

i. Vérifier que 𝒈∈𝓛(𝑬)

Il s’agit de démontrer g est un endomorphisme de E.

𝑔𝑥 =𝑥−𝑓𝑥 = 𝐼𝑑−𝑓 𝑥.

g est donc une combinaison linéaire d’endomorphismes de E.

Or, la combinaison linéaire d’endomorphismes est un endomorphisme Donc : 𝑔∈ℒ(𝐸)

ii. Montrer que : 𝑲𝒆𝒓 𝒈 ⊂𝑰𝒎 𝒇 Soit : 𝑥∈𝐾𝑒𝑟 𝑔 ⇒𝑔 𝑥 =0

Or : 𝑔𝑥 =𝑥−𝑓 𝑥 ⇒𝑥−𝑓 𝑥 =0⇒𝑓𝑥 =𝑥⇒𝑥∈𝐼𝑚 𝑓 Comme : 𝑥∈𝐾𝑒𝑟 𝑔 ⇒𝑥∈𝐼𝑚 𝑓, on en déduit : 𝐾𝑒𝑟 𝑔 ⊂𝐼𝑚 𝑓 iii. Montrer que : 𝑲𝒆𝒓 𝒇 ⊂𝑰𝒎 𝒈

Soit : 𝑥∈𝐾𝑒𝑟𝑓 ⇒𝑓𝑥 =0⇒𝑔 𝑥 =𝑥⇒𝑥∈𝐼𝑚 𝑔 Comme : 𝑥∈𝐾𝑒𝑟 𝑓 ⇒𝑥∈𝐼𝑚 𝑔, on en déduit : 𝐾𝑒𝑟 𝑓 ⊂𝐼𝑚 𝑔

b. Soit E, F et G des espaces vectoriels sur R, 𝒇∈𝓛𝑬,𝑭 et 𝒈∈𝓛𝑭,𝑮

i. Montrer que : 𝑲𝒆𝒓 𝒇 ⊂𝑲𝒆𝒓 (𝒈𝐨𝒇)

Soit 𝑥∈𝐾𝑒𝑟 𝑓 ⇒𝑓 𝑥 =0⇒ 𝑔𝑜𝑓 𝑥 =𝑔𝑓 𝑥 =𝑔 0 =0 Or : 𝑔𝑜𝑓 𝑥 =0⇒𝑥∈𝐾𝑒𝑟 (𝑔𝑜𝑓)

Comme : 𝑥∈𝐾𝑒𝑟 𝑓 ⇒𝑥∈𝐾𝑒𝑟 (𝑔𝑜𝑓) , on en déduit : 𝐾𝑒𝑟 𝑓 ⊂𝐾𝑒𝑟 (𝑔𝑜𝑓)

ii. Montrer que : 𝑰𝒎 𝒈𝐨𝒇 ⊂𝑰𝒎 𝒈

Soit 𝑦∈𝐼𝑚 𝑔o𝑓 ⇒∃𝑥∈𝐸,𝑦= 𝑔o𝑓 𝑥 =𝑔𝑓(𝑥) Or : 𝑦=𝑔𝑓(𝑥) ⇒𝑦∈𝐼𝑚𝑔

Comme : 𝑦∈𝐼𝑚 𝑔o𝑓 ⇒𝑦∈𝐼𝑚 𝑔 , on en déduit : 𝐼𝑚 𝑔o𝑓 ⊂𝐼𝑚 𝑔 iii. Montrer que : 𝒈𝐨𝒇=𝟎⇔𝑰𝒎 𝒇 ⊂𝑲𝒆𝒓 𝒈

𝑔o𝑓=0⇔∀𝑥∈𝐸,𝑔𝑓 𝑥 =0⇔∀𝑦∈𝐼𝑚 𝑓,𝑔𝑦 =0⇔𝑦∈𝐾𝑒𝑟 𝑔 Comme : 𝑦∈𝐼𝑚 𝑓, on en déduit que 𝐼𝑚 𝑓 ⊂𝐾𝑒𝑟 𝑔

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c. Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E

i. Montrer que la suite des noyaux itérés est croissante c’est-à-dire que :

∀𝒏∈𝑵^∗,𝑲𝒆𝒓 𝒇^𝒏⊂ 𝑲𝒆𝒓 𝒇^𝒏!𝟏

Soit 𝑥∈𝐾𝑒𝑟 𝑓^!⇔ 𝑓^! 𝑥 =0

Dès lors : 𝑓^!!! 𝑥 =𝑓𝑓^! 𝑥 =𝑓 0 =0 𝑓^!!! 𝑥 =0⇒𝑥∈𝐾𝑒𝑟𝑓^!!!

Comme 𝑥∈𝐾𝑒𝑟 𝑓^!⇒𝑥∈𝐾𝑒𝑟𝑓^!!!, 𝐾𝑒𝑟 𝑓^!⊂ 𝐾𝑒𝑟 𝑓^!!!

ii. Montrer que la suite des images itérées est décroissante c’est-à-dire que :

∀𝒏∈𝑵^∗,𝑰𝒎 𝒇^𝒏!𝟏⊂ 𝑰𝒎 𝒇^𝒏

Soit 𝑦∈𝐼𝑚 𝑓^!!!⇔∃𝑥∈𝐸,𝑦=𝑓^!!! 𝑥 =𝑓^! 𝑓 𝑥 ∈𝐼𝑚 𝑓^! Comme 𝑦∈𝐼𝑚 𝑓^!!!⇒𝑦∈𝐼𝑚 𝑓^!, 𝐼𝑚 𝑓^!!!⊂ 𝐼𝑚 𝑓^! iii. On suppose que ∃𝒑∈𝑵^∗,𝑲𝒆𝒓 𝒇^𝒑=𝑲𝒆𝒓 𝒇^𝒑!𝟏.

Montrer que : ∀𝒏≥𝒑,𝑲𝒆𝒓 𝒇^𝒏=𝑲𝒆𝒓 𝒇^𝒑 Soit 𝑥∈𝐾𝑒𝑟 𝑓^!!!!!

𝑥∈𝐾𝑒𝑟 𝑓^!!!!!⇔𝑓^!!!!! 𝑥 = 𝑓^!!! 𝑓^! 𝑥 =0 Dès lors : 𝑓^!(𝑥)∈𝐾𝑒𝑟 𝑓^!!!

Or, d’après l’énoncé : ∃𝑝∈𝑁^∗,𝐾𝑒𝑟 𝑓^!=𝐾𝑒𝑟 𝑓^!!!

Dans ce cas :

𝑓^! 𝑥 ∈𝐾𝑒𝑟 𝑓^!⇔𝑓^!𝑓^! 𝑥 =0⇔𝑓^!!! 𝑥 =0⇔𝑥∈𝐾𝑒𝑟 𝑓^!!!

Comme : 𝑥∈𝐾𝑒𝑟 𝑓^!!!!!⇒𝑥∈𝐾𝑒𝑟 𝑓^!!!, on en déduit que : 𝐾𝑒𝑟 𝑓^!!!!!⊂𝐾𝑒𝑟 𝑓^!!! [1]

Or, d’après le résultat de la question (i), 𝐾𝑒𝑟 𝑓^!⊂ 𝐾𝑒𝑟 𝑓^!!!. En remplaçant n par 𝑝+𝑘 :

𝐾𝑒𝑟 𝑓^!!!⊂𝐾𝑒𝑟 𝑓^!!!!! [2]

En réunissant les résultats [1] et [2] : 𝐾𝑒𝑟 𝑓^!!!!!=𝐾𝑒𝑟 𝑓^!!!. En d’autres termes : ∀𝑛≥𝑝,𝐾𝑒𝑟 𝑓^!=𝐾𝑒𝑟 𝑓^!

iv. On suppose que ∃𝒑∈𝑵^∗,𝑰𝒎 𝒇^𝒑=𝑰𝒎 𝒇^𝒑!𝟏. Montrer que : ∀𝒏≥𝒑,𝑰𝒎 𝒇^𝒏=𝑰𝒎 𝒇^𝒑 𝐼𝑚 𝑓^!!!=𝐼𝑚 𝑓^! 𝑓^! =𝑓^!𝐼𝑚 𝑓^!. Or, d’après l’énoncé, 𝐼𝑚 𝑓^!=𝐼𝑚 𝑓^!!!.

Dès lors : 𝐼𝑚 𝑓^!!!=𝑓^!𝐼𝑚 𝑓^!!! =𝐼𝑚 𝑓^!!!!!.

En d’autres termes : ∀𝑛≥𝑝,𝐼𝑚 𝑓^!=𝐼𝑚 𝑓^! Olivier Levyne 13/10/17 08:48 Commentaire [1]:

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d. Soit 𝒇∈𝓛 𝑹^𝟐 tel que 𝒇−𝟐𝑰𝒅^𝟐=𝟎 et 𝒇≠𝟐𝑰𝒅

i. Montrer que 𝑰𝒎(𝒇−𝟐𝑰𝒅)⊂𝑲𝒆𝒓(𝒇−𝟐𝑰𝒅)

Soit 𝑦∈𝐼𝑚𝑓−2𝐼𝑑 . Dans ce cas, ∃𝑥∈𝑅^!,𝑦= 𝑓−2𝐼𝑑 (𝑥) Dès lors : 𝑓−2𝐼𝑑 𝑦 = 𝑓−2𝐼𝑑 ^! 𝑥 =0

Donc : 𝑦∈𝐾𝑒𝑟 𝑓−2𝐼𝑑

Par conséquent : 𝐼𝑚𝑓−2𝐼𝑑 ⊂𝐾𝑒𝑟(𝑓−2𝐼𝑑)

ii. Montrer que 𝑰𝒎 𝒇−𝟐𝑰𝒅 =𝑲𝒆𝒓(𝒇−𝟐𝑰𝒅)

Pour montrer cette égalité, comme 𝐼𝑚𝑓−2𝐼𝑑 ⊂𝐾𝑒𝑟 𝑓−2𝐼𝑑 , il convient de montrer que 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚 𝑓−2𝐼𝑑 =𝑑𝑖𝑚𝐾𝑒𝑟(𝑓−2𝐼𝑑)

Or, on sait que : 𝑓≠2𝐼𝑑⇒𝑓−2𝐼𝑑≠0⇒𝐼𝑚(𝑓−2𝐼𝑑)≠ 0 Donc : 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚(𝑓−2𝐼𝑑)≥1

Par ailleurs, d’après le théorème du rang :

dim𝐼𝑚𝑓−2𝐼𝑑 +dim𝐾𝑒𝑟 𝑓−2𝐼𝑑 =𝑑𝑖𝑚 𝑅^! =2 Donc, comme 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚𝑓−2𝐼𝑑 ≥1,𝑑𝑖𝑚𝐾𝑒𝑟 𝑓−2𝐼𝑑 ≤1

En d’autres termes, 𝑑𝑖𝑚𝐾𝑒𝑟 𝑓−2𝐼𝑑 =0 ou 𝑑𝑖𝑚𝐾𝑒𝑟 𝑓−2𝐼𝑑 =1.

Or, si 𝑑𝑖𝑚𝐾𝑒𝑟 𝑓−2𝐼𝑑 =0, alors 𝑓−2𝐼𝑑 est injective. De plus 𝑓∈ℒ 𝑅^! donc f et 𝑓−2𝐼𝑑 sont des endomorphismes en dimension finie. Par conséquent, dans ce cas, 𝑓−2𝐼𝑑 est bijective. Dès lors :

𝑓−2𝐼𝑑 ^!=0⇒𝑓−2𝐼𝑑=𝑓^!! 0 =0⇒𝑓=2𝐼𝑑 ce qui est absurde car, par hypothèse, 𝑓≠2𝐼𝑑.

Ainsi : 𝑑𝑖𝑚𝐾𝑒𝑟 𝑓−2𝐼𝑑 =1. Et donc : 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚 𝑓−2𝐼𝑑 =1

Finalement, comme d’une part 𝐼𝑚 𝑓−2𝐼𝑑 ⊂𝐾𝑒𝑟(𝑓−2𝐼𝑑), d’autre part 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚 𝑓−2𝐼𝑑 =𝑑𝑖𝑚𝐾𝑒𝑟(𝑓−2𝐼𝑑), alors 𝐼𝑚 𝑓−2𝐼𝑑 =𝐾𝑒𝑟(𝑓−2𝐼𝑑)