PREPA COURCELLES DEUXIEME ANNEE
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Algèbre et formule de Taylor
1. Rappels et complément de cours
a. Polynômes étagés ou échelonnés
Une famille de polynômes est dite à degrés étagés ou échelonnés si tous les polynômes de cette famille ont des degrés différents. Cette famille est alors une famille libre de l'espace vectoriel des polynômes R[X].
b. Cardinal d’une famille de vecteurs de E, dimE et base
Soit ℱ une famille à n vecteurs de l’espace vectoriel E de dimension n. En d’autres termes : Card ℱ =dim 𝐸. Dans ce cas :
ℱ est une base de E ⇔ ℱ est une famille libre ⇔ ℱ est une famille génératrice En d’autres termes, dans ce cas, pour montrer que ℱ est une base, il suffit de montrer que ℱ est libre ou que ℱ est génératrice
Cette méthode est praticable si dimE est connue, c’est-à-dire si cette dimension est fournie par l’énoncé ou si elle a été établie dans une question précédente ou si F est un espace vectoriel de référence dont la dimension est connue dans le cadre du programme.
2. Soit 𝒂∈𝑹 et 𝒇:𝑹𝒏 𝑿 →𝑹𝒏!𝟏 définie par 𝒇 𝑷 = 𝑷 𝒂 ,𝑷! 𝒂 ,…,𝑷 𝒏(𝒂) Soit, ∀𝒌∈ 𝟎,𝒏 , les polynômes : 𝑸𝒌 𝑿 = 𝑿!𝒂𝒌
𝒌!
a. Montrer que f est linéaire
Soit 𝜆∈𝑅 ; soit 𝑃!∈𝑅! 𝑋 et soit 𝑃!∈𝑅! 𝑋
𝑓 𝜆𝑃!+𝑃! = 𝜆𝑃!+𝑃! 𝑎 , 𝜆𝑃!+𝑃! ! 𝑎 ,…, 𝜆𝑃!+𝑃! ! (𝑎) 𝑓 𝜆𝑃!+𝑃! = 𝜆𝑃! 𝑎 +𝑃! 𝑎 ,𝜆𝑃′! 𝑎 +𝑃′! 𝑎 ,…,𝜆𝑃!(!) 𝑎 +𝑃!(!) 𝑎
𝑓 𝜆𝑃!+𝑃! =𝜆 𝑃! 𝑎 ,𝑃′! 𝑎 ,…,𝑃!(!) 𝑎 + 𝑃! 𝑎 ,𝑃′! 𝑎 ,…,𝑃!(!) 𝑎
𝑓 𝜆𝑃!+𝑃! =𝜆𝑓 𝑃! +𝑓 𝑃! Donc f est bien linéaire
b. Montrer que (𝑸𝟎, 𝑸𝟏,…,𝑸𝒏) est une base de 𝑹𝒏 𝑿
La famille de polynômes ℱ=(𝑄!, 𝑄!,…,𝑄!) est à degré étagés car tous les
polynômes ont des degrés différents : (𝑑𝑒𝑔𝑄! =0, 𝑑𝑒𝑔𝑄!=1,…,𝑑𝑒𝑔𝑄!=𝑛). Par conséquent la famille ℱ est libre.
Par ailleurs, 𝐶𝑎𝑟𝑑ℱ =𝑛+1=𝑑𝑖𝑚𝑅! 𝑋 . Donc : ℱ est une base de 𝑅! 𝑋
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2 c. Déterminer 𝒇 𝑸𝒌 ,∀𝒌∈ 𝟎,𝒏
𝑓 𝑄! = 𝑄! 𝑎 ,𝑄!! 𝑎 ,…,𝑄! ! (𝑎) Avec :
𝑄! 𝑋 = 𝑋−𝑎 ! 𝑘!
𝑄!! 𝑋 =𝑘 𝑋−𝑎 !!!
𝑘! = 𝑋−𝑎 !!!
𝑘−1 ! 𝑄′′! 𝑋 =𝑘(𝑘−1) 𝑋−𝑎 !!!
(𝑘−1)! = 𝑋−𝑎 !!!
(𝑘−2)!
…
𝑄!(!) 𝑋 = 𝑋−𝑎 !!!
(𝑘−𝑖)!
Cette dernière expression
− est valable si 0≤𝑖≤𝑘 ; sinon (c’est-à-dire si 𝑖 >𝑘, 𝑄!(!) 𝑋 =0. En effet, si un polynôme de degré égal à k est dérivé k fois, on résultat obtenu est une constante. Si cette constante est dérivée à son tour, c’est-à-dire si le polynôme est dérivé plus de k fois, le résultat obtenu est 0.
− se démontre par récurrence. La propriété est déjà initialisée pour 𝑘=1. Pour établir l’hérédité, si l’hypothèse de récurrence est vraie, alors :
𝑄!(!!!) 𝑋 = 𝑄!! 𝑋 != 𝑋−𝑎 !!!
𝑘−𝑖 !
!
=(𝑘−𝑖) 𝑋−𝑎 !!!!!
(𝑘−𝑖)!
𝑄!!!! 𝑋 = 𝑋−𝑎 !!!!!
𝑘−𝑖−1 ! = 𝑋−𝑎 !!!!!
𝑘− 𝑖+1 !
La propriété est donc vérifiée pour 𝑘=𝑖+1 ce qui achève la preuve.
Or :
𝑄! 𝑋 = 𝑋−𝑎 !
𝑘! ⇒ 𝑄! 𝑋 = 𝑋−𝑎 ! 0! =1
∀𝑘>0,𝑄! 𝑋 = 𝑎−𝑎 ! 𝑘! =0 Et :
𝑓 𝑄! = 𝑄! 𝑎 ,𝑄!! 𝑎 ,…,𝑄! ! (𝑎) Par ailleurs :
𝑄!(!) 𝑋 = 𝑋−𝑎 !!!
(𝑘−𝑖)! =𝑄!!! 𝑋 Ainsi :
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𝑓 𝑄! = 𝑄! 𝑎 ,𝑄!!! 𝑎 ,…,𝑄! 𝑎 ,𝑄! 𝑎 ,0,0,…,0
Donc :
𝑓 𝑄! = 𝑄! 𝑎 ,0,0,…,0 = 1,0,0,…,0 =𝑒! 𝑓 𝑄! = 𝑄! 𝑎 ,𝑄! 𝑎 ,0,…,0 = 0,1,0,…,0 =𝑒!
…
𝑓 𝑄! = 𝑄! 𝑎 ,𝑄!!! 𝑎 ,…,𝑄! 𝑎 ,𝑄! 𝑎 ,0,0,…,0 = 0,…0,1,0…,0 =𝑒!
…
𝑓 𝑄! = 𝑄! 𝑎 ,𝑄!!! 𝑎 ,…,𝑄! 𝑎 ,𝑄! 𝑎 = 0,0,...,0,1 =𝑒! 𝑜ù (𝑒!,𝑒!,…,𝑒!) forme la base canonique de 𝑅!!!
d. En déduire que f est un isomorphisme
!!,!!,…!mat!,(!!,!!,…,!!)𝑓=
1 0 … 0
0 1
… 0 ⋱
0 … 0 1
=𝐼
Or I est inversible. Donc la matrice de f est inversible et f est bijectif ; f est donc un isomorphisme.
e. Montrer que ∀𝑷∈𝑹𝒏 𝑿 : 𝒇 𝑷 = 𝑷𝒌 𝒂 .𝒆𝒌
𝒏
𝒌!𝟎
où (𝒆𝟎,𝒆𝟏,…,𝒆𝒏) 𝐟𝐨𝐫𝐦𝐞 𝐥𝐚 𝐛𝐚𝐬𝐞 𝐜𝐚𝐧𝐨𝐧𝐢𝐪𝐮𝐞 𝐝𝐞 𝑹𝒏!𝟏 Par hypothèse : 𝑓 𝑃 = 𝑃 𝑎 ,𝑃! 𝑎 ,…,𝑃 !(𝑎) Donc :
𝑓 𝑃 =𝑃 𝑎 .𝑒!+𝑃′ 𝑎 .𝑒!+⋯+𝑃! (𝑎).𝑒! 𝑓 𝑃 = 𝑃 ! 𝑎 .𝑒!
!
!!!
f. En déduire que :
𝑷(𝑿)= 𝑷 𝒌 𝒂 .𝑸𝒌 𝑿
𝒏
𝒌!𝟎
On sait que :
𝑓 𝑃 = 𝑃 ! 𝑎 .𝑒!
!
!!!
Dès lors, en composant par 𝑓!! qui existe puisque f est un isomorphisme :
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4 𝑃(𝑋)=𝑓!! 𝑃 ! 𝑎 .𝑒!
!
!!!
f, donc 𝑓!! étant des applications linéaires : 𝑃(𝑋)= 𝑃 ! 𝑎 .𝑓!!(𝑒!)
!
!!!
Finalement :
𝑃(𝑋)= 𝑃 ! 𝑎 .𝑄! 𝑋
!
!!!
g. Déterminer, dans 𝑹𝒏 𝑿 , l’unique polynôme P tel que : 𝑷 𝟏 =𝑷! 𝟏 =𝑷"(𝟏)=𝑷′′′(𝟏)=𝟏
𝑃 𝑋 = 𝑃 ! 1 .𝑄! 𝑋 =
!
!!!
1.𝑄! 𝑋 +1𝑄! 𝑋 +1𝑄! 𝑋 +1𝑄! 𝑋
𝑃 𝑋 = 𝑋−1 !
0! + 𝑋−1 !
1! + 𝑋−1 !
2! + 𝑋−1 ! 3!
𝑃 𝑋 =1+𝑋−1+ 𝑋−1 !
2 + 𝑋−1 ! 6 𝑃 𝑋 =𝑋+𝑋!−2𝑋+1
2 +𝑋!−3𝑋!+3𝑋−1 6
𝑃 𝑋 =1 3+𝑋
2+𝑋! 6
