PREPA COURCELLES DEUXIEME ANNEE
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Introduction aux statistiques doubles
1. Exemple de statistique double
On demande à 13 personnes d’indiquer leur taille X (en cm) et leur poids Y (en kg).
Les résultats de cette enquête sont consignés dans le tableau ci-dessous.
Le nuage de 13 points dont les coordonnées sont 𝑥! et 𝑦! est représenté ci-dessous
C’est ce tableau qui permet d’appliquer les formules issues de la méthode des moindres carrés.
Les calculs numériques, qui ne vous seront pas demandés aux concours, sont détaillés ci-dessous :
𝑎=𝑐𝑜𝑣(𝑋,𝑌)
𝑉(𝑋) =𝐸 𝑋𝑌 −𝐸(𝑋)𝐸(𝑌) 𝐸 𝑋! − 𝐸(𝑋)! =
1𝑛 𝑥!𝑦!−1
𝑛 𝑥!.1 𝑛 !!!!𝑦!
!!!!
!!!!
1𝑛 𝑥! !− 1
𝑛 !!!!𝑥! !
!!!!
=12556−174𝑥72 30458−174! 𝑎=0,796
𝑏=𝑦−𝑎𝑥= 1 𝑛 𝑦!
!
!!!
−𝑎1
𝑛 𝑥! =72−0,796 𝑥 174=−67,073
!
!!!
y = 0,7961x - 67,073 R² = 0,5063
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
155 160 165 170 175 180 185 190 195
Référence i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Σ 1/13 x Σ
X=xi 160 162 165 169 170 172 174 178 179 180 183 185 189 2 266 174 =E(X)
Y=yi 60 63 72 62 64 68 72 69 89 74 65 89 85 932 72 =E(Y)
(xi)^2 25 600 26 244 27 225 28 561 28 900 29 584 30 276 31 684 32 041 32 400 33 489 34 225 35 721 395 950 30 458 =E(X^2) xiyi 9 600 10 206 11 880 10 478 10 880 11 696 12 528 12 282 15 931 13 320 11 895 16 465 16 065 163 226 12 556 =E(XY)
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2 2. Présentation dans un tableau à double entrée
3. Regroupement des résultats en classes
4. Prise en compte des centres des classes
5. Prise en compte des fréquences = effectifs/13
Les fréquences 𝑓!" convergent vers des probabilités conjointes 𝑝!" =𝑃(𝑋 =𝑥!∩𝑌=𝑦!)
Taille X
160 162 165 169 170 172 174 178 179 180 183 185 189 Total
60 1 1
62 1 1
63 1 1
64 1 1
65 1 1
Taille Y 68 1 1
69 1 1
72 1 1 2
74 1 1
85 1 1
89 1 1 2
Total 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13
Classes X
160 à 170 170 à 180 180 à 190 Total
60 à 70 3 3 1 7
Classes Y 70 à 80 1 1 1 3
80 à 90 0 1 2 3
Total 4 5 4 13
Centres des classes X=xi
165 175 185 Total = n.j
Centres 65 3 3 1 7
des classes 75 1 1 1 3
Y=yj 85 0 1 2 3
Total = ni. 4 5 4 13
Centres des classes X=xi
165 175 185 Total = f.j
Centres 65 23% 23% 8% 54%
des classes 75 8% 8% 8% 23%
Y=yj 85 0% 8% 15% 23%
Total = fi. 31% 38% 31% 100%
