PREPA COURCELLES DEUXIEME ANNEE
1 Loi Gamma
On dit que X suit une loi Gamma de paramètres 𝑎 et ν strictement positifs si sa densité f vérifie :
• Si 𝑥≤ 0, alors 𝑓 𝑥 =0
• Si 𝑥> 0, alors 𝑓 𝑥 =!!
!!.!!!!
! ! .!!
On note alors : 𝑋↪Γ(𝑎,𝜈)
1. f est bien une densité de probabilité
Les fonctions 𝑥⟼𝑒!!! et 𝑥⟼ 𝑥!!! sont définies et continues sur R*+. Leur produit est donc aussi positif et continu.
Ainsi, 𝑥⟼𝑒!!!.𝑥!!! est intégrable sur R*+. Le problème de la convergence de l’intégrale généralisée permettant de montrer que f est bien une densité se pose donc seulement en 0 et en +∞.
Or, on a vu, dans le cadre de la loi de Weibull que l’intégrale I définie par : 𝐼= Γ(𝑥) = !!𝑡!!!𝑒!!𝑑𝑡
!
,∀𝑥∈𝑅
est convergente. En posant 𝑥= 𝜈 :
Γ(𝜈)= !!𝑒!!𝑡!!!𝑑𝑡
!
,∀𝑥 ∈𝑅
Considérons le changement de variable :
𝑡 =𝑢
𝑎 =𝜑 𝑢 ⇒𝜑! 𝑢 = 1 𝑎 Ainsi :
Γ(𝜈)= 𝑒!!! 𝑢 𝑎
!!!1 𝑎𝑑𝑢
!!
!
= 𝑒!!!𝑢!!!
𝑎! 𝑑𝑢
!!
!
Finalement :
𝑒!!!𝑢!!!
𝑎!.Γ(𝜈) 𝑑𝑢
!!
!
= 1 Ainsi :
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
!!
!!
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
!
!!
+ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥=
!!
!
0+1=1
PREPA COURCELLES DEUXIEME ANNEE
2 2. Calcul de l’espérance de X
𝐸 𝑋 = !!𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
!!
𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥
!
!!
+ !!𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥
!
= 0+ 𝑥𝑒!!!.𝑥!!!
Γ 𝜈 .𝑎! 𝑑𝑥
!!
Ainsi : !
𝐸 𝑋 = 𝑒!!!.𝑥! Γ 𝜈 .𝑎!𝑑𝑥
!!
!
Considérons le changement de variable :
𝑢 =𝑥
𝑎 ⟹𝑥= 𝑎𝑢= 𝜑 𝑢 ⇒𝜑! 𝑢 = 𝑎 Ainsi :
𝐸 𝑋 =𝑎 𝑒!!. 𝑎𝑢 ! Γ 𝜈 .𝑎! 𝑑𝑢
!!
!
=𝑎 𝑒!!.𝑢! Γ 𝜈 𝑑𝑢
!!
!
= 1 𝑎
1
Γ 𝜈 !!𝑒!!.𝑢!𝑑𝑢
!
𝐸 𝑋 =𝑎 1
Γ 𝜈 Γ 𝜈+1
Or, on a vu, dans le cadre de la loi de Weibull, que : Γ 𝜈+1 =𝜈 Γ 𝜈 Donc :
Γ 𝜈+1 Γ 𝜈 =𝜈 Finalement : 𝐸 𝑋 =𝑎𝜈
PREPA COURCELLES DEUXIEME ANNEE
3 3. Calcul de la variance de X
D’après le théorème de Koenug-Huyghens : 𝑉 𝑋 = 𝐸 𝑋! − 𝐸(𝑋) !
𝐸 𝑋! = !!𝑥!𝑓 𝑥 𝑑𝑥=
!!
𝑥!𝑓 𝑥 𝑑𝑥
!
!!
+ !!𝑥!𝑓 𝑥 𝑑𝑥
!
= 0+ 𝑥!𝑒!!!.𝑥!!!
Γ 𝜈 .𝑎! 𝑑𝑥
!!
Ainsi : !
𝐸 𝑋! = 𝑒!!!.𝑥!!!
Γ 𝜈 .𝑎! 𝑑𝑥
!!
!
Considérons le changement de variable :
𝑢 =𝑥
𝑎 ⟹𝑥= 𝑎𝑢= 𝜑 𝑢 ⇒𝜑! 𝑢 = 𝑎 Ainsi :
𝐸 𝑋! =𝑎 𝑒!!. 𝑎𝑢 !!!
Γ 𝜈 .𝑎! 𝑑𝑢=
!!
!
𝑎! 𝑒!!.𝑢!!!
Γ 𝜈 𝑑𝑢
!!
!
= 𝑎!
Γ 𝜈 !!𝑒!!.𝑢!!!𝑑𝑢
!
𝐸 𝑋! = 𝑎!
Γ 𝜈 Γ 𝜈+2 Or :
Γ 𝜈+1 =𝜈 Γ 𝜈 . Donc
Γ 𝜈+2 = 𝜈+1 Γ 𝜈+1 = 𝜈+1 𝜈 Γ 𝜈 Ainsi :
𝐸 𝑋! = 𝑎!
Γ 𝜈 𝜈+1 𝜈 Γ 𝜈 = 𝜈 𝜈+1 Par conséquent :
𝑉 𝑋 =𝐸 𝑋! − 𝐸 𝑋 ! = 𝑎!𝜈 𝜈+1 − 𝑎𝜈 ! =𝑎!𝜈 Finalement :
𝑉 𝑋 =𝑎!𝜈
