PREPA COURCELLES DEUXIEME ANNEE
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Endomorphismes nilpotents
1. Rappel de cours
Si une famille ℱ =(𝑣!,𝑣!,…,𝑣!) d’un espace vectoriel E de dimension n. Si 𝑘>𝑛 alors la famille est liée
2. Soit E un espace vectoriel de dimension n. 𝒇∈𝓛(𝑬) (avec 𝒇≠𝟎) est nilpotent si ∃𝒌≥𝟏, tel que 𝒇𝒌=𝟎
a. Montrer que f n’est pas bijective
Si f est bijective, alors 𝑓!! existe. Dans ce cas 𝑓! =0⇒ 𝑓!! 𝑓! =𝑓!! 0 =0 Ainsi : 𝑓!!!=0. Dès lors : 𝑓!! 𝑓!!! =𝑓!! 0 =0⇒𝑓!!!=0
….
𝑓!=0. Dès lors : 𝑓!! 𝑓! =𝑓! 0 =0⇒𝑓=0 ce qui est absurde car, par hypothèse, 𝑓≠0. Donc f n’est pas bijective
b. Soit p le plus petit entier tel que 𝒇𝒑=𝟎. Justifier que ∃𝒙𝟎 ∈𝑬,𝒇𝒑!𝟏 𝒙𝟎 ≠𝟎
p est le plus petit entier tel que 𝑓! =0. Par conséquent : 𝑓!!!≠0 En d’autres termes, ∃𝑥! ∈𝐸,𝑓!!! 𝑥! ≠0
c. Montrer que 𝒙𝟎,𝒇 𝒙𝟎 ,…,𝒇𝒑!𝟏 𝒙𝟎 est une famille libre de E.
Soit 𝑎!,𝑎!,…,𝑎!!! ∈𝑅! tel que : 𝑎!𝑥!+𝑎!𝑓 𝑥! +⋯+𝑎!!!𝑓!!! 𝑥! =0 En composant par 𝑓!!! :
𝑓!!!(𝑎!𝑥!+𝑎!𝑓 𝑥! +⋯+𝑎!!!𝑓!!! 𝑥! )= 𝑓!!!(0)=0
En considérant la linéarité de f donc de 𝑓!!! : 𝑎!𝑓!!! 𝑥! +𝑎!𝑓! 𝑥! +⋯+𝑎!!!𝑓!!!! 𝑥! =0 Or : 𝑓! =0⇒𝑓!!! =0⇒⋯⇒𝑓!!!!=0
Et, comme 𝑓!!! 𝑥! ≠0, 𝑎!=0.
On a donc : 𝑎!𝑓 𝑥! +⋯+𝑎!!!𝑓!!! 𝑥! =0
En composant par 𝑓!!! et en utilisant la linéarité de 𝑓!!!: 𝑎!𝑓!!! 𝑥! +𝑎!𝑓! 𝑥! …+𝑎!!!𝑓!!!! 𝑥! =0
Or : 𝑓! =0⇒𝑓!!! =0⇒⋯⇒𝑓!!!!=0.
Et, comme 𝑓!!! 𝑥! ≠0, 𝑎!=0
….
On réitère ce procédé en composant ensuite par 𝑓!!!,𝑓!!!,…,𝑓 ce qui permet d’en déduire que 𝑎!=0,𝑎! =0,…𝑎!!!=0.
Ainsi 𝑥!,𝑓 𝑥! ,…,𝑓!!! 𝑥! est une famille libre de E
d. En déduire que 𝒑≤𝒏
La famille ℱ = 𝑥!,𝑓 𝑥! ,…,𝑓!!! 𝑥! a p éléments. Or ℱ est une famille libre de E et 𝑑𝑖𝑚𝐸=𝑛. Donc 𝑝≤𝑛
