PREPA COURCELLES DEUXIEME ANNEE
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Exercices dans l’espace vectoriel des fonctions numériques à variables réelles
1. Rappels de cours
a. Famille libre
ℱ est une famille libre de E si : 𝜆!𝑒!
!
!!!
=0⇒𝜆!=𝜆!=⋯=𝜆! =0
Les vecteurs 𝑒!,𝑒!,…,𝑒! sont alors linéairement indépendants Soit x un vecteur de E. La famille (x) est libre si 𝑥≠0𝐸
Soit x et y 2 vecteurs de E. La famille (x,y) est libre si x et y ne sont pas colinéaires. En d’autres termes, x et y ne doivent pas être proportionnels
Toute famille contenue dans une famille libre est libre
Une famille ℱ=(𝑢!,𝑢!,….,𝑢!) d’un espace vectoriel E de dimension n est liée si 𝑘>𝑛
b. Méthodologie
− On écrit : 𝜆!𝑓! 𝑥 +𝜆!𝑓! 𝑥 +⋯+𝜆!𝑓! 𝑥 =0
− On peut choisir des valeurs particulières de x dans o la relation ci-dessus ;
o la relation ci-dessus qu’on aura dérivée ;
o la relation ci-dessus qu’on aura divisée par une quantité non nulle.
− Les valeurs particulières de x peuvent être des limites en +∞ et −∞
− Toutefois, si le nombre de vecteurs de la famille d’un espace vectoriel est strictement supérieur à la dimension de l’espace vectoriel, alors la famille est liée 2. Exemples de démonstration de la liberté de familles 𝓕
a. 𝓕=(𝒆𝒙,𝒙𝒆𝒙,𝒆!𝒙,𝒙𝒆!𝒙)
Soit 𝑎𝑒!+𝑏𝑥𝑒!+𝑐𝑒!!+𝑑𝑥𝑒!! =0 (*)
Pour 𝑥≠0, divisons les 2 membres de l’égalité (*) ci-dessus par 𝑥𝑒! : 𝑎
𝑥+𝑏+ 𝑐 𝑥𝑒!!+ 𝑑
𝑒!!=0
En faisant tendre x vers +∞, 𝑏=0
Pour 𝑥≠0, divisons les 2 membres de l’égalité (*) ci-dessus par 𝑥𝑒!! : 𝑎
𝑥𝑒!!!+ 𝑏 𝑒!!!+𝑐
𝑥+𝑑=0
En faisant tendre x vers −∞, 𝑑=0
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En faisant prendre à x les valeurs 0 puis 1 dans l’égalité (*) : 𝑎+𝑐 =0
𝑎+𝑏+𝑐 𝑒+𝑑
𝑒 =0
Or : 𝑏=𝑑 =0. Le système devient alors : 𝑎+𝑐=0
𝑎+𝑐 𝑒=0
Par substitution : 𝑎=−𝑐 ⇒−𝑐+!! =0⇒𝑐 !!−1 =0⇒𝑐 =0⇒𝑎=0 Finalement : 𝑎=𝑏=𝑐 =𝑑=0 donc ℱ est libre.
b. 𝓕= 𝒆𝒂𝟏𝒙,𝒆𝒂𝟐𝒙,…,𝒆𝒂𝒏𝒙 où 𝒂𝟏<𝒂𝟐<⋯<𝒂𝒏 Soit 𝜆!𝑒!!!+𝜆!𝑒!!!+⋯+𝜆!𝑒!!! =0 (*) Multiplions tous les termes par 𝑒!!!! :
𝜆!𝑒(!!!!!)!+𝜆!𝑒(!!!!!)!+⋯+𝜆!!!𝑒(!!!!!!!)!+𝜆!𝑒(!!!!!)! =0 En faisant tendre x vers +∞, comme 𝑎!<𝑎! <⋯<𝑎!!!<𝑎! :
lim!→!!𝑒(!!!!!)! =lim!→!!𝑒(!!!!!)!=⋯=lim!→!!𝑒(!!!!!!!)! =0 Donc 𝜆! =0. On alors :
𝜆!𝑒!!!+𝜆!𝑒!!!+⋯+𝜆!!!𝑒!!!!! =0 Multiplions tous les termes par 𝑒!!!!!! :
𝜆!𝑒(!!!!!!!)!+𝜆!𝑒(!!!!!!!)!+⋯+𝜆!!!𝑒(!!!!!!!!!)!+𝜆!!!𝑒(!!!!!!!!!)! =0 En faisant tendre x vers +∞, comme 𝑎!<𝑎! <⋯<𝑎!!!<𝑎!!! :
lim!→!!𝑒(!!!!!!!)! =lim!→!!𝑒(!!!!!!!)!=⋯=lim!→!!𝑒(!!!!!!!!!)! =0 Donc 𝜆!!!=0.
Etc…
Quand on n’a plus que 𝜆!𝑒!!!+𝜆!𝑒!!! =0, on multiplie tous les termes par 𝑒!!!! : 𝜆!𝑒(!!!!!)!+𝜆! =0.
En faisant tendre x vers +∞, comme 𝑎!<𝑎!, lim!→!!𝑒(!!!!!)! =0 Donc 𝜆! =0
Et finalement, il reste : 𝜆!𝑒!!!=0 Pour 𝑥=0, on a : 𝜆! =0
Conclusion : 𝜆!=𝜆!=⋯=𝜆!=0 donc ℱ est libre.
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c. 𝓕= 𝟐𝒙𝟐−𝟑,−𝒙+𝟏,−𝒙𝟒−𝟑𝒙𝟐−𝟐𝒙+𝟏
Soit 𝑎. 2𝑥!−3 +𝑏. −𝑥+1 +𝑐.(−𝑥!−3𝑥!−2𝑥+1)=0 (*) Faisons prendre à x successivement les valeurs 0, 1 et -1 :
−3𝑎+𝑏+𝑐 =0
−𝑎−5𝑐 =0
−𝑎+2𝑏−𝑐 =0
⟺ −3𝑎+𝑏+𝑐 =0 𝑎=−5𝑐
−𝑎+2𝑏−𝑐 =0
⟺ 𝑏+16𝑐=0
2𝑏+4𝑐=0⟺ 𝑏=−16𝑐 𝑏=−2𝑐 Donc : −16𝑐 =−2𝑐 ⟺−14𝑐 =0⟺𝑐 =0⇒𝑏=0 et 𝑎 =0
Finalement : 𝑎=𝑏=𝑐 =0 donc ℱ est libre
d. 𝓕=(𝒙,𝒙𝟐,𝐥𝐧𝒙,𝒙.𝐥𝐧𝒙)
Soit 𝑎.𝑥+𝑏.𝑥!+𝑐.ln𝑥+𝑑.𝑥.ln𝑥=0 (*)
Divisons tous les termes de l’égalité (*) ci-dessus par 𝑥! : 𝑎
𝑥+𝑏+𝑐.ln𝑥
𝑥! +𝑑.ln𝑥 𝑥 =0
En faisant tendre x vers +∞, 𝑏=0.
Divisons tous les termes de l’égalité (*) ci-dessus par 𝑥.ln𝑥 (𝑥≠1,𝑥≠0) : 𝑎
ln𝑥+𝑏.𝑥 ln𝑥+𝑐
𝑥+d=0𝑙𝑜 Or : 𝑏=0. Donc :
𝑎 ln𝑥+𝑐
𝑥+d=0
Et, en faisant tendre x vers +∞, 𝑑=0.
On a alors : 𝑎.𝑥+𝑐.ln𝑥=0.
Divisons tous les termes de l’égalité ci-dessus par 𝑥 : 𝑎+𝑐.ln𝑥
𝑥 =0 Dès lors : 𝑎=0.
Il reste alors : 𝑐.ln𝑥=0.
Et, en faisant tendre x la valeur e, on a : 𝑐=0.
Finalement : 𝑎=𝑏=𝑐 =𝑑=0 donc ℱ est libre.
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4 e. 𝓕= 𝑷 𝒙 ,𝑸 𝒙 ,𝑹 𝒙 ,𝑺(𝒙)
avec 𝑷 𝒙 =𝟐𝒙+𝟏,𝑸 𝒙 =𝟑𝒙𝟐,𝑹 𝒙 =𝟓𝒙𝟐+𝟐𝒙,𝑺 𝒙 =𝒙𝟐+𝟒𝒙−𝟏 𝑃 𝑥 ∈𝑅! 𝑥 ,𝑄 𝑥 ∈𝑅! 𝑥 ,𝑅 𝑥 ∈𝑅! 𝑥 ,𝑆 𝑥 ∈𝑅! 𝑥
Et : dim 𝑅! 𝑥 =2+1=3
Donc le Card ℱ =4>3. Par conséquent ℱ est liée
